அறிமுகம்

முக்கோணவியல்

இயற்கையை ஆழமாகப் புரிந்துகொள்வதே கணிதக் கண்டுபிடிப்புகளின் பயன்தரு மூலமாகும். -ஜோசப் ஃபோரியோ

பிரஞ்சு கணித மேதை பிரான்கோயிஸ் வியாட்டா இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருத்தமான முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பயன்படுத்தினார். அவருடைய புகழ்பெற்ற π சூத்திரமானது முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமாகப் பெறப்பட்டது. அவர் இயற்றிய "Canon Mathematics" என்ற புகழ்மிக்க நூல் முக்கோணவியல் பற்றி விவரிக்கிறது. மேலும் இந்நூல் முக்கோணவியல் சார்ந்த அட்டவணைகளைக் கணித ரீதியாக எவ்வாறு உருவாக்கலாம் என்ற குறிப்பையும் தள மற்றும் கோள முக்கோணங்களின் தீர்வைப்பற்றியும் கூறுகிறது. அதிகபட்சம் அறுபடித்தான சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காண்பது, மூலங்களைக் கண்டறிவது ஆகிய முறைகளைக் கோயிஸ் அளித்துள்ளார். கணிதத்தில் ‘கெழு’ என்ற சொல்லை முதன் முதலில் பயன்படுத்தியவர் இவரே. சமன்பாடுகளின் மூலங்களுக்கும், கெழுக்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பை, ஒரு சாதாரணச் சூத்திரத்தின் மூலம் இவர் நமக்கு விளக்கியுள்ளார். மேலும், வடிவியல் முறையில் கனச் சதுரத்தை இரு மடங்காக்குவது, ஒரு கோணத்தை மூன்று சமபாகமாகப் பிரிப்பது போன்ற கணக்குகளையும் இவர் வழங்கியுள்ளார். இரகசியக் குறியீடு செய்திகளிலிருந்து தேவையான செய்தியைக் கண்டறியும் கணித முறையை வழங்கியுள்ளார்.

கற்றல் விளைவுகள் 

· முக்கோணவியல் விகிதங்களை நினைவு கூர்தல்.

· முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கு இடையேயுள்ள அடிப்படைத் தொடர்புகளை நினைவுபடுத்துதல்.

· நிரப்பு கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்களை நினைவு கூர்தல். 

· முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் புரிந்துகொள்ளல். 

· பல்வேறு வகையான பொருட்களின் உயரம் மற்றும் தொலைவுகள் சார்ந்த கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணும் வழிமுறைகளை அறிதல்.

அறிமுகம் (Introduction)

பழங்காலத்தில் நில அளவையாளர்கள், மாலுமிகள் மற்றும் விண்வெளி ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஆகியோர் நேரடியாகக் கண்டறிய முடியாத தொலைவுகளை முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்திக் கண்டறிந்துள்ளனர். இதுவே கணிதவியலின் கிளையான முக்கோணவியல் உருவாகுவதற்குக் காரணமாக அமைந்தது.

ரோட்ஸ் தீவில் கி.மு. (பொ.ஆ.மு) 200 இல் வாழ்ந்த ஹிப்பார்கஸ், மிகப்பெரிய நாணுடைய 360 × 60 = 21600 அலகுகள் சுற்றளவு (அதாவது, சுற்றளவின் 1 அலகானது வில்லின் ஒவ்வொரு நிமிடத்திற்கும் சமமாக) கொண்ட வட்டத்தை உருவாக்கினார். இது முக்கோணவியலின் வளர்ச்சிக்குப் பெரும் அடித்தளமாக அமைந்தது. எனவே ஹிப்பார்கஸ் “முக்கோணவியலின் தந்தை” என அழைக்கப்படுகிறார்.

கி.பி. (பொ.ஆ) ஐந்தாம் நூற்றாண்டின் இந்திய அறிஞர்கள், அரைக் கோணத்திற்கான அரை நாண்களை எடுத்துக்கொண்டு தீர்வு கண்டபோது அது வானியல் கணிதத்தின் சுருங்கிய வடிவமே என்பதை உணர்ந்தனர். கணித மேதைகளான ஆரியபட்டா, பாஸ்கரா -I, II மற்றும் சிலரும் அரை நாண்களின் (Jya) மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கு எளிய வழிமுறைகளைக் கொண்டு வந்தனர்.

பாக்தாத்தின் கணித மேதை அபு-அல்-வஃபா என்பவர் தொடுகோட்டுச் (tangent) சார்புகளை உருவாக்கினார். அவர் அதை நிழல் (Shadow) என அழைத்தார். அரேபிய அறிஞர்களுக்கு ஜியா (Jya) எனும் சொல்லை எவ்வாறு மொழிபெயர்த்து எழுதுவது எனத் தெரியவில்லை. ஆகவே அவர்கள் தோராயமாக ஜிபா (Jiba) என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தினர்.

அரேபியச் சொல் ஜிபா (Jiba)வானது காவ் (cove) அல்லது பே (bay) என மாற்றம் பெற்று இலத்தீன் மொழியில் சைனஸ் ('sinus') என அழைக்கப்பட்டது. சைனஸ் என்ற சொல் அரைநாணைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்தச் சொல்லையே இன்று நாம் சைன் (sine) என அழைக்கிறோம். "முக்கோணவியல்" என்ற சொல்லானது கி.பி (பொ.ஆ) 17ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஜெர்மன் கணித மேதை பார்தோலோமஸ் பிடிஸ்கஸ் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

நினைவு கூர்தல் 

முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

இங்கு 0° < θ < 90° என்க.

மேற்கண்ட இரண்டு முக்கோண விகிதங்களிலிருந்து மற்ற நான்கு முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

குறிப்பு

θ - வை ஒரு கோணமாகக் கொண்ட எல்லா செங்கோண முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவையாக இருக்கும். எனவே, இவ்வாறான செங்கோண முக்கோணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் விகிதங்களானது தேர்ந்தெடுக்கப்படும் முக்கோணங்களைப் பொருத்து அமையாது. 

நிரப்புக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

முக்கோணவியல் நிரப்பு கோணங்களுக்கான காட்சி மெய்ம்மை நிரூபணம் 

படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு ஓர் அலகு ஆரமுடைய அரைவட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்.

∠QOP = θ என்க.

எனவே, ∠QOR =90° − θ, இங்கு, OPQR என்பது ஒரு செவ்வகம் ஆகும். 

முக்கோணம் OPQ -லிருந்து, OP/OQ = cos θ

ஆனால், OQ = ஆரம் = 1

எனவே, OP = OQ × cos θ = cos θ

இதேபோல, PQ/OQ = sin θ

எனவே, PQ = OQ × sin θ = sin θ (ஏனெனில் OQ = 1)

OP = cosθ, PQ = sinθ  … (1)

இப்பொழுது முக்கோணம் QOR, -லிருந்து நாம் பெறுவது,

OR/OQ = cos(90° − θ)

எனவே, OR = OQ cos(90° − θ)

ஆகவே, OR = cos(90° − θ)

இதுபோலவே, RQ/OQ = sin(90° − θ)

மேலும், RQ = sin(90° − θ)

OR = cos(90° − θ) , RQ = sin(90° − θ) … (2)

OPQR என்பது செவ்வகம் என்பதால், OP = RQ and OR = PQ

எனவே (1) , (2) -லிருந்து கிடைக்கப்பெறுவன,

0°, 30°, 45°, 60°, 90° - க்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களின் அட்டவணை

சிந்தனைக் களம்

1. sin θ மற்றும் cos θ - வின் மதிப்புகள் எப்போது சமமாக இருக்கும்?

2. sin θ = 2 எனில், θ -ன் மதிப்பு என்ன? 

3. θ -ன் மதிப்பு 0° -லிருந்து 90° வரை அதிகரிக்கிறது எனில், ஆறு முக்கோணவியல் விகிதங்களில் எவை வரையறுக்கப்படாத மதிப்புகளைப் பெற்றிருக்கும்? 

4. எட்டு முக்கோணவியல் விகிதங்கள் இருப்பதற்குச் சாத்தியமுண்டா? 

5. 0° ≤ θ ≤ 90° என்க. θ -ன் மதிப்புகளுக்கு பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையாகும்? – 

(i) sin θ > cos θ (ii) cos θ > sin θ (iii) sec θ = 2tan θ (iv) cosec θ = 2 cot θ