ஏற்றக் கோணக் கணக்குகள்

உயரங்களும் தொலைவுகளும் (Heights and Distances) 

இந்தப் பாடப்பகுதியில், வெவ்வேறான பொருட்களின் உயரங்களையும், தொலைவுகளையும் நேரிடையாக அளந்து பார்க்காமல் முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கணக்கிடலாம் என்பதைப் பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, கோபுரம், மலை, கட்டிடம் அல்லது மரம் ஆகியவற்றின் உயரத்தையும், கலங்கரை விளக்கத்திலிருந்து கடலில் மிதக்கும் கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு மற்றும் ஆற்றின் அகலம் போன்றவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முக்கோணவியல் சார்ந்த அறிவு பயன்படுகிறது. இதன்படி உயரங்களையும், தொலைவுகளையும் கண்டறிவதற்கு அன்றாட வாழ்வில் முக்கோணவியல் பயன்படுகிறது என்பதை அறியலாம். இதனை விளக்குவதற்கு ஒருசில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைக் காண்போம். உயரங்களையும் தொலைவுகளையும் கற்பதற்கு முன்னர் நாம் ஒருசில அடிப்படை வரையறைகளை அறிந்துகொள்வோம்.

பார்வைக் கோடு (Line of Sight)

நாம் ஒரு பொருளை உற்று நோக்கும் போது நமது கண்ணிலிருந்து அப்பொருளுக்கு வரையப்படும் நேர்கோட்டை பார்வைக் கோடு என அழைக்கிறோம்.

தியோடலைட்

தியோடலைட் என்ற கருவி ஒரு பொருளை உற்று நோக்குபவரின் கிடைநிலைப் பார்வைக் கோட்டிற்கும், பார்வைக் கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தை அளவிடப் பயன்படுகிறது. தியோடலைட்டில் இரண்டு சக்கரங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகத் தொலை நோக்கியுடன் பொருத்தப்பட்டிருக்கும். இந்தச் சக்கரங்களைக் கொண்டு கிடைமட்டக்கோணம் மற்றும் நேர்குத்துக் கோணங்களை அளக்க முடியும். விரும்பிய புள்ளியின் கோணத்தை அளப்பதற்கு, தொலைநோக்கியை அப்புள்ளி நோக்கி அமையுமாறு வைத்தால், அக்கோணத்தின் அளவைத் தொலைநோக்கியின் அளவுகோலில் காணமுடியும்.

ஏற்றக்கோணம் (Angle of Elevation)

ஒரு பொருள் நம் கிடைநிலைப் பார்வைக் கோட்டிற்கு மேலே இருக்கும்போது, கிடைநிலைப் பார்வைக் கோட்டிற்கும், பார்வைக் கோட்டிற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் ஏற்றக்கோணம் எனப்படும். அதாவது அப்பொருளைப் பார்க்க, நாம் தலையை சற்றே உயர்த்தும் நிலையே ஆகும் (படம் 6.7ஐ பார்க்கவும்). 

இறக்கக் கோணம் (Angle of Depression)

ஒரு பொருள் நம் கிடைநிலைப் பார்வைக்கோட்டிற்குக் கீழே இருக்கும்போது, பார்வைக்கோட்டிற்கும் கிடைநிலைப் பார்வைக் கோட்டிற்கும் இடையேயுள்ள கோணம் இறக்கக் கோணம் எனப்படும். அதாவது அப்பொருளைப் பார்க்க நாம் தலையை சற்றே தாழ்த்தும் நிலையே ஆகும் (படம் 6.8ஐ பார்க்கவும்).

கிளைனோ மீட்டர் (Clinometer)

பொதுவாக ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக் கோணங்களைக் கிளைனோ மீட்டர் என்ற கருவியின் மூலம் கண்டறியலாம்.

குறிப்பு 

· கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு பொருளின் உயரம் அதிகரிக்கும் போது அதன் ஏற்றக் கோணத்தின் அளவும் அதிகரிக்கும். 

h1 > h2 எனில், α > β ஆகும்.

· செங்குத்தாக உள்ள கோபுரம் அல்லது கட்டிடம் போன்றவற்றின் அடியை நோக்கி நகரும்போது அதன் ஏற்றக்கோணம் அதிகரிக்கும். 

d2 < d1 எனில், β > α ஆகும்.

செயல்பாடு 2 

கொடுக்கப்பட்ட சூழ்நிலைக்கு செங்கோண முக்கோணம் வரையவும். 

ஏற்றக் கோணக் கணக்குகள் (Problems involving Angle of Elevation)

இப்பகுதியில், ஏற்றக் கோணம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அக்கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணும் முறையை அறிவோம். 

எடுத்துக்காட்டு 6.18 

பின்வரும் முக்கோணங்களில் ∠BAC -ஐ காண்க. (tan 38.7° = 0.8011, tan 69.4° = 2.6604)

தீர்வு

(i) செங்கோண Δ ABC -ல் (படம் 6.12 (i) பார்க்கவும்)

tan θ = எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = 4/5

tan θ = 0.8 

⇒ θ = 38.7° (⸪ tan 38.7° = 0.8011)

⸫ ∠BAC = 38.7° 

(ii) செங்கோண Δ ABC -ல் (படம் 6.12 (ii) பார்க்கவும்)

tan θ = 8/3 

tan θ = 2.66 

⇒ θ = 69.4° (⸪ tan 69.4° = 2.6604)

⸫ ∠BAC = 69.4° 

எடுத்துக்காட்டு 6.19 

ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48 மீ. தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு 

கோபுரத்தின் உயரம் PQ என்க. PQ = h என்க. கோபுரத்திற்கும் தரையில் உள்ள புள்ளி R - க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு QR என்க. 

செங்கோண Δ PQR-ல் ∠PRQ = 30° 

ஆகவே, கோபுரத்தின் உயரம் 16√3 மீ ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 6.20 

தரையிலிருந்து ஒரு பட்டம் 75 மீ உயரத்தில் பறக்கிறது. ஒரு நூல் கொண்டு தற்காலிகமாகத் தரையின் ஒரு புள்ளியில் பட்டம் கட்டப்பட்டுள்ளது. நூல் தரையுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் 60° எனில், நூலின் நீளம் காண்க. (நூலை ஒரு நேர்க்கோடாக எடுத்துக்கொள்ளவும்). 

தீர்வு 

தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் AB = 75 மீ என்க.

நூலின் நீளம் AC என்க. 

செங்கோண Δ ABC-ல், ∠ACB = 60°

sin θ = AB/AC

sin 60° = 75/AC

√3/2 = 75/AC ஆகவே, AC = 150/√3 = 50√3

எனவே, நூலின் நீளம் 50√3 மீ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.21 

இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45° ஆகும் கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க. (√3=1.732) 

தீர்வு 

கலங்கரை விளக்கம் AB என்க. C மற்றும் D என்பன இரு கப்பல்கள் இருக்கும் இடங்கள் என்க.

மேலும், AB = 200 மீ. 

∠ACB = 30°, ∠ADB = 45°

செங்கோண Δ BAC-ல் 

tan 30° = AB/AC

1/√3 = 200/AC ⇒ AC = 200√3      ...(1)

செங்கோண Δ BAD-ல் tan 45° = AB/AD

1 = 200/AD    ⇒  AD = 200     ...(2)

தற்போது, CD = AC + AD  = 200√3 + 200 [(1) , (2) -லிருந்து]

CD = 200(√3 + 1) = 200 × 2. 732 = 546.4

இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 546.4 மீ ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.22 

தரையின்மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (√3=1.732) 

தீர்வு 

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க.

கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க. மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ 

செங்கோண Δ CBP-ல் ∠CPB = 60° 

செங்கோண Δ ABP-ல், ∠APB = 45° 

h = − 30(√3 - 1) = 30 (1.732 – 1) = 30(0.732) = 21.96

எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

எடுத்துக்காட்டு 6.23 

ஒரு கால்வாயின் கரையில் ஒரு தொலைக்காட்சிக் கோபுரம் செங்குத்தாக உள்ளது. கால்வாயின் மறு கரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து காணும் பொழுது கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 58° ஆக உள்ளது. அப்புள்ளியிலிருந்து விலகி ஒரே நேர்க்கோட்டில் 20 மீ தொலைவில் சென்றவுடன் கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தையும், கால்வாயின் அகலத்தையும் காண்க. (tan 58° = 1.6003) 

தீர்வு 

தொலைக்காட்சிக் கோபுரத்தின் உயரம் AB என்க. 

கால்வாயின் அகலம் BC என்க.

இங்கு, CD = 20 மீ. 

செங்கோண Δ ABC -ல்

AB = 18.07 

எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 18.07 மீ கால்வாயின் அகலம் = 11.29 மீ.

எடுத்துக்காட்டு 6.24 

ஒரு விமானம் G-யிலிருந்து 24° கோணத்தைத் தாங்கி 250 கி.மீ தொலைவிலுள்ள H-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது. மேலும் H-லிருந்து 55° விலகி 180 கி.மீ தொலைவிலுள்ள J-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது எனில்,

(i) G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு என்ன? 

(ii) G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு என்ன? 

(iii) H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு என்ன? 

(iv) H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு என்ன? 

தீர்வு

(i) செங்கோண Δ GOH-ல், cos 24° = OG/GH

0.9135 = OG/250; OG = 228.38 கி.மீ

G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு = 228.38 கி.மீ. 

(ii) செங்கோண Δ GOH -ல்,

sin 24° = OH/GH

0. 4067 = OH/250; OH= 101. 68 

G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு = 101.68 கி.மீ. 

(iii) செங்கோண Δ HIJ-ல்

sin 11° = IJ/HJ

0. 1908 = IJ/180; IJ = 34. 34 கி.மீ.

H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 34.34 கி.மீ. 

(iv) செங்கோண Δ HIJ-ல்,

cos 11° = HI/HJ

0. 9816 = HI / 180; HI = 176. 69 கி.மீ

H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 176.69 கி.மீ.

எடுத்துக்காட்டு 6.25 

படத்தில் உள்ளவாறு ஒரு சமதளத் தரையில் இரண்டு மரங்கள் உள்ளன. தரையில் உள்ள X என்ற புள்ளியிலிருந்து இரு மர உச்சிகளின் ஏற்றக்கோணமும் 40° ஆகும். புள்ளி X -லிருந்து சிறிய மரத்திற்கான கிடைமட்டத் தொலைவு 8 மீ மற்றும் இரண்டு மரங்களின் உச்சிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவு 20 மீ எனில்,

(i) புள்ளி X-க்கும் சிறிய மரத்தின் உச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு

(ii) இரண்டு மரங்களுக்கும் இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு (cos 40° = 0.7660) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக. 

தீர்வு 

பெரிய மரத்தின் உயரம் AB என்க. சிறிய மரத்தின் உயரம் CD என்க. தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளி X என்க.

(i) செங்கோண Δ XCD-ல் 

cos 40°= CX/XD

XD = 8 / 0.7660 = 10. 44 மீ

எனவே, புள்ளி X - க்கும் சிறிய மரத்தின் உச்சிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு

XD = 10.44 மீ 

(ii) செங்கோண Δ XAB-ல்

இரண்டு மரங்களுக்கு இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு AC = 15.32 மீ.

சிந்தனைக் களம் 

1. உயரங்களையும், தொலைவுகளையும் கணக்கிடுவதற்கு எந்த வகையான முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்? 

2. கட்டடத்தின் உயரம் மற்றும் கட்டடத்தின் அடியிலிருந்து ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்குமிடையே உள்ள தொலைவு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், அதன் ஏற்றக்கோணம் காண்பதற்கு எந்த முக்கோணவியல் விகிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்? 

3. பார்வைக்கோட்டின் நீளம் மற்றும் ஏற்றக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால்,

(i) கட்டடத்தின் உயரத்தைக் காண்பதற்கும் 

(ii) கட்டடத்தின் அடியிலிருந்து பார்க்கும் இடத்திற்குமிடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்பதற்கும் 

எந்த முக்காணவியல் விகிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.