அமைப்புகள்

அமைப்புகள்

அமைப்புகளை ஆராய்ந்து கற்றுக்கொள்ளும்போது, கணிதம் எளிதாகத் தோன்றும். இத்தகைய அமைப்புகள் காரண காரியத்தோடு ஊகிக்கின்ற திறனை வளர்க்கின்றன. அமைப்புகளைச் சரியாக புரிந்து கொண்டால் அது தீர்வு காணும் திறனைப் பெற அடிப்படையாக அமைகிறது. இவ்வியலில் எண்களைப் பயன்படுத்தும் போது ஏற்படும் அமைப்பு முறைகளைப் பற்றிப் பார்க்கலாம். 

எடுத்துக்காட்டாக,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... எனும் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இந்த எண்களைக் கவனித்தால், 1 ஒற்றை எண், 2 இரட்டை எண், 3 ஒற்றை எண், 4 இரட்டை எண் எனக் கூறிக் கொண்டேச் செல்லலாம். எனவே, ஒற்றை எண்ணும் இரட்டை எண்ணும் அடுத்தடுத்து வரும் என அறிகிறோம்.

மேலும் 12, 8, 4,... என்ற தொடர் வரிசையில், அடுத்த எண்ணை உன்னால் கூற முடியுமா? எளிமையாகக் கூறலாம். ஒவ்வோர் எண்ணிலிருந்தும் 4ஐக் கழித்தால் அடுத்த எண் கிடைக்கும். எனவே, 4ஆவது எண் '0' ஆகும்.

இவ்வாறான, அமைப்பு முறை பற்றி அறிய உதவும் கணிதத்தின் உட்பிரிவே இயற்கணிதமாகும். இன்றைய காலகட்டத்தில் இயற்கணிதமானது வங்கி, காப்புறுதி நிறுவனம், கணக்கியல், புள்ளியியல், அறிவியல், பொறியியல், உற்பத்தி மற்றும் பல துறைகளில் பயன்படுகிறது.

இவற்றை முயல்க

● கீழேயுள்ள அமைப்பு முறையை உற்று நோக்கி விடையளிக்கவும்.

(i) 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

(ii) 15873 × 7 = 111111 மற்றும் 15873 × 14 = 222222 எனில்

15873 × 21 மற்றும் 15873 × 28 ஐக் காண்க. 

15873 × 21 = 333333

15873 × 28 = 444444

● கீழேயுள்ள அமைப்புகளை உற்றுநோக்கி அடுத்த இரண்டு அமைப்புகளை வரைந்து, அட்டவணையை நிரப்புக.

● வடிவங்களைப் பயன்படுத்திப் புதிய அமைப்பை உருவாக்கி, அதற்கான அட்டவணையையும் அமைக்க.

1. எண் செயலிகளில் உள்ள அமைப்புகள்

முதலாம் இயலில் முழுஎண்களில் ஓர் எண்ணை 0 மற்றும் 1 ஆல் பெருக்கினால் என்ன கிடைக்கும் என்பதைக் கற்றோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 57 × 1 = 57 மற்றும் 43 × 0 = 0. முன்பு அறிந்த இந்த கூற்றானது இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு மட்டுமல்லாமல் எல்லா எண்களுக்கும் உண்மையாகிறது.

எனவே "ஏதேனும் ஓர் எண்" × 1 = "அதே எண்" ஆகும்.

இயற்கணிதம், தகவல்களைச் சுருக்கமாகவும், எளிமையாகவும் எழுத வழி வகுக்கிறது. மேலேயுள்ள கூற்றினை n × 1 = n, என எழுதலாம். இங்கு n என்பது ஓர் எண்ணாகும். இடதுபுறத்திலுள்ள 'n' என்பது ஏதேனும் ஓர் எண் என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படும் எழுத்தாகும். வலதுபுறத்திலுள்ள எண் அதே 'n' ஆகும். இதுவே, நாம் சரியான கூற்றைப் பெறுதலை உறுதி செய்கிறது.

இயற்கணிதத்தில், நாம் 'n' என்பதை மாறி என்கிறோம். மாறி (பொதுவாக ஆங்கில சிறிய எழுத்துகள் ‘n’ அல்லது ‘x’ போன்ற) என்பது ஓர் எண்ணைக் குறிக்கும் குறியீடாகும். ஒரு தொடர்பினைச் சுருக்கமாக எழுத மாறிகள் பயன்படுகின்றன. n × 1 = n இல், 1 ஆனது மாறாத எண்மதிப்பாக உள்ளது. இதை இயற்கணிதத்தில் மாறிலி என்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் அமைப்புகளை காண்க.

7 + 9 =  9 + 7

57 + 43 = 43 + 57

123 + 456 = 456 + 123

7098 + 2018 = 2018 + 7098

35784 + 481269841 = 481269841 + 35784

எனும் இந்த அமைப்புகளை a + b = b + a எனச் சுருக்கமாகவும், எளிமையாகவும் எழுதலாம்.

இங்கு ‘a’ மற்றும் ‘b' என்ற இரண்டு மாறிகள் உள்ளன. ‘a’ என்ற மாறிக்கு ஒரே எண்ணை இரண்டு பக்கமும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதேபோல் ‘b’ என்ற மாறிக்கு இரண்டு பக்கமும் ஒரே எண்ணை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். ஆனால், 'a' மற்றும் ‘b' ஒரே எண்ணாக இருக்க வேண்டியதில்லை. 

இவ்வாறே, a × b = b × a என்பதற்கு ஒரு விளக்கம் அளிக்க முயலுங்கள்.

குறிப்பு: கழித்தலில் '7 – 3' ஐ '3 – 7' என எழுத இயலாது. எனவே 'a – b' மற்றும் 'b – a' ஆகியன சமமல்ல.