பரப்பளவு

பரப்பளவு

இந்த இயலின் தொடக்கத்தில் 'ஆபூர்வா பிஸ்கட் அடுக்கியதை’ நினைவு கூர்வோம். பிஸ்கட்டின் ஒரு பக்கத்தின் அளவு என்னவென நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் அது ஒரு சதுர வடிவம் கொண்டது என்பதை நாம் அறிவோம். பிஸ்கட்டின் ஒரு பக்க அளவு 1 அலகு எனக் கொள்க. அதாவது 12 சதுரப் பிஸ்கட்டுகள் (சதுர அலகுகள்) தட்டின் மேற்பகுதி முழுவதையும் நிரப்புகின்றன. இந்த மேற்பகுதியே தட்டின் 'பரப்பளவு' எனப்படுகிறது. இதன் மூலம், எந்த ஒரு மூடிய வடிவத்தின் பரப்பளவு என்பது அதன் எல்லைக்குள் ஓரலகுச் சதுரங்களால் அடைபட்ட பகுதி ஆகும். பிஸ்கட்டின் ஒவ்வொரு பக்கமும் 1 அங்குல நீளம் எனக் கொண்டால், தட்டின் பரப்பளவு 12 சதுர அங்குலங்கள் ஆகும்.

1. செவ்வகத்தின் பரப்பளவு

மேற்கண்ட தட்டு செவ்வக வடிவத்தில் உள்ளது. இதைச் சம அளவுள்ள சிறு சிறு ஓரலகுச் சதுரங்களாகப் பிரித்துக் கொள்க. அதன் நீளத்தில் 4 ஓரலகுச் சதுரங்களும், அகலத்தில் 3 ஓரலகுச் சதுரங்களும் அமைகின்றன. மொத்தத்தில் 12 சதுர பிஸ்கட்டுகள் இந்தச் செவ்வகத்தை அடைத்துள்ளன. ஆகையால் இந்தச் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு 12 சதுர அலகுகள் ஆகும்.

சுரேஷ் பள்ளியில் இடைவேளையின் போது உண்ணுவதற்காக ஒரு கடலை மிட்டாய் பாக்கெட்டைக் கொண்டு வந்தான். அதன் உறையைப் பிரிக்கும்போது 3 வரிசைகளில், ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 5 சதுரத்  துண்டுகள் உள்ளதைப் பார்த்தான். அந்தப் பாக்கெட்டில் 15 சிறு சதுர கடலை மிட்டாய்கள் இருந்தன. ஆகையால், இந்தச் செவ்வக வடிவ கடலை மிட்டாய் பாக்கெட்டின் பரப்பளவு 15 சதுர கடலை மிட்டாய் துண்டுகள் ஆகும்.

தமிழழகி தனது பிறந்த நாளில் தனது நண்பர்களுடன் ஒரு சாக்லேட் பாரைப் பகிர்ந்து கொள்ள விரும்பினாள். அவள் வாங்கிய சாக்லேட் பாரில் கிடைமட்டமாக 5 சதுரத் துண்டுகளும் செங்குத்தாக 4 சதுரத் துண்டுகளும் இருந்தன. தனது 19 நண்பர்களுக்கும் கொடுத்த பிறகு தனக்கு ஒரு துண்டை எடுத்துக்கொள்ளும் வகையில் 20 சம அளவுள்ள சதுர சாக்லேட் துண்டுகள் இருப்பதைக் கண்டாள். இங்கு மொத்த சாக்லேட் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை 20 ஆனது, சாக்லேட் பாரின் பரப்பளவைக் குறிக்கிறது. அதாவது சாக்லெட் பாரின் பரப்பளவு 20 சதுர அலகுகள் ஆகும்.

மேற்கண்ட அனைத்து நிலைகளிலும் மொத்த அலகுச் சதுரங்களையும் எண்ணிக் காண்பதற்குப் பதிலாக நீளத்தில் அமைந்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையையும் அகலத்தில் அமைந்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையையும் பெருக்கியும் காணலாம்.

குறிப்பு: "சதுர அலகுகள்" என்பதை "அலகுகள்2" எனவும் குறிப்பிடலாம்.

ஆகவே, செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = (நீளம் × அகலம்) சதுர அலகுகள் 

= l × b சதுர அலகுகள்.

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் படத்தில் வெற்றிடத்தை நிரப்பத் தேவைப்படும் தளநிரப்பிகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

விடை: (i) 9 (ii) 6 (iii) 6 (iv) 8

எடுத்துக்காட்டு 9 

12 செ.மீ நீளமும் 7 செ.மீ அகலமும் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பளவு காண்க.

தீர்வு

செவ்வகத்தின் நீளம், l = 12 செ.மீ

செவ்வகத்தின் அகலம், b = 7 செ.மீ

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு, A = (l × b) சதுர அலகுகள்

= 12 × 7 = 84 சதுர செ.மீ

2. சதுரத்தின் பரப்பளவு

ஒரு செவ்வகத்தின் நீளமும், அகலமும் சமம் எனில் அது சதுரமாக மாறுகிறது.

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = (நீளம் × அகலம்) சதுர அலகுகள்

= (பக்கம் × பக்கம்) சதுர அலகுகள்

= (S × S) சதுர அலகுகள்

= சதுரத்தின் பரப்பளவு

எனவே, சதுரத்தின் பரப்பளவு = (S × S) சதுர அலகுகள்

குறிப்பு

ஒரு செவ்வகத்தைச் சதுரமாக மாற்றும்பொழுது, அதன்

 நீளம் (l) = அகலம் (b) = பக்கம் (S) 

எடுத்துக்காட்டு 10

15 செ.மீ பக்க அளவுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு காண்க.

தீர்வு

சதுரத்தின் பக்கம், S = 15 செ.மீ

சதுரத்தின் பரப்பளவு, A = S × S சதுர அலகுகள்

= 15 × 15

= 225 சதுர செ.மீ (அல்லது) 225 செ.மீ2

3. செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்களில் ஒன்றை முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமாகவும் (b அலகுகள்) மற்றொரு பக்கத்தை முக்கோணத்தின் உயரமாகவும் (h அலகுகள்) கருதுவோம்.

ஒரு செவ்வக வடிவத் தாளை அதன் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றின் வழியே வெட்டும்போது, இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் பெறப்படுகின்றன.

இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களின் பரப்பளவு = செவ்வகத்தின் பரப்பளவு

2 × செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = l × b

செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு =

இங்கு, செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலங்களைச் செங்கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் (b) மற்றும் உயரம் (h) ஆகக் கருதுவோம்.

எனவே, செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு =

செயல்பாடு

பின்வரும் செங்கோண முக்கோணங்களின் அடிப்பக்கம் மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 11: அடிப்பக்கம் 18 செ.மீ மற்றும் உயரம் 12 செ.மீ அளவுகள் உள்ள ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காண்க.

தீர்வு

அடிப்பக்கம், b = 18 செ.மீ

உயரம், h = 12 செ.மீ

பரப்பளவு, A = ½ (b × h) சதுரஅலகுகள்

= ½ (18 × 12 )

 = 108 சதுர செ.மீ (அல்லது) 108 செ.மீ2

இவற்றை முயல்க

 பின்வருவனவற்றை வரைபடத்தாளில் வரைக.

i) 16 செ.மீ2 பரப்பளவு கொண்ட இரு வெவ்வேறு செவ்வகங்கள்.

ii) 14 செ.மீ சுற்றளவும் 12 சதுர செ.மீ பரப்பளவும் கொண்ட ஒரு வடிவம்.

iii) 36 சதுர செ.மீ பரப்பளவு கொண்ட ஒரு வடிவம்.

iv) நான்கு ஓரலகுச் சதுரங்களைக் கொண்டு வெவ்வேறு வடிவங்கள் அமைக்கவும். மேலும் அவற்றின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு ஆகியவற்றைக் காண்க. (சதுரங்களின் பக்கங்கள் சரியாகப் பொருத்தப்பட வேண்டும்)