நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு (Probability Mass Function)

2. நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு (Probability Mass Function)

ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி குறிப்பிட்ட x, மதிப்பைப் பெறுமபோது, அதாவது P(X = x) என்பது f (x) அல்லது p(x) எனக் குறிப்பிடப்படும். f (x) எனும் சார்பு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும் சில நூலாசிரியர்கள் இதனை நிகழ்தகவு சார்பு எனவும் நிகழ்வெண் சார்பு எனவும் குறிப்பிடுகின்றனர். இப்பாடப்பகுதியில், சமவாய்ப்பு மாறி தனிநிலையாக இருக்கும் போது, வழக்கமான துறைச் சொல்லான நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு என்பது பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் வழக்கமான சுருக்கம் pmf ஆகும்.

வரையறை 11.3 (நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு)

x1 , x2 , x3 ,........, xn , ….., என்ற தனி மதிப்புகளைக் கொண்ட X என்பது ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியெனில், சார்பு f (.) அல்லது p(.) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேலும் f ( xk ) = P ( X= xk ),  k =1, 2, 3,..... n,.... என்பது நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 11.1 (நிரூபணமின்றி)

f (x) எனும் சார்பு x1, x2, x3, ... xn ....என்ற மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு நிகழ்தகவுச் சார்பாக தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனைகளாகக் கீழ்க்காணும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

(i) f (xk) ≥ 0 for k =1, 2, 3, …...n, ….க்கு மற்றும்

(ii) ∑k f (xk) =1

குறிப்பு

(i) { f (xk ) = P ( X = xk ), k = 1, 2, 3,. . . . n , . . . } என்ற நிகழ்தகவுகளின் கணம். தனிநிலை சமவாய்ப்புமாறியின் நிகழ்தகவுப் பரவல் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றது. 

(ii) சமவாய்ப்பு மாறி ஒரு சார்பு என்பதால் அதனை

 (a) பட்டியல் முறை 

(b) வரைபடம் முறை

 (c) கோவை முறை ஆகிய முறைகளில் குறிப்பிடலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 11.5

இரு சீரான நாணயங்கள் ஒரே சமயத்தில் சுண்டி விடப்படுகின்றன. (ஒரு சீரான நாணயம் இரு முறை சுண்டி விடப்படுவதற்கு சமானமானது). கிடைத்த தலைகளின் எண்ணிக்கைக்கு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு காண்க. 

தீர்வு

கூறுவெளி S = {H,T} × {H,T}

அதாவது S = {TT, TH, HT, HH} 

தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X என்க. எனவே,

X (TT) = 0,  X(TH) = 1,

X (HT) = 1, மற்றும் X (HH) = 2. 

எனவே சமவாய்ப்பு மாறி X -ஆனது 0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு கீழ்க்காணுமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே f (x) என்பது ஒரு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு ஆகும். நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு கீழ்க்காணுமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 11.6 

இரு சீரான பகடைகள் ஒரு முறை உருட்டப்படுகின்றன. கிடைத்த நான்குகளின் எண்ணிக்கைக்கான நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு காண்க.

நான்குகளின் எண்ணிக்கையை x-இன்மதிப்புகளாகக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறி X என்க .

கூறுவெளி S அட்டவணையாகத் தரப்பட்டுள்ளது. 

இதனை

 S={(i,j)} எனவும் எழுதலாம், இங்கு i = 1,2,3...,6 மற்றும் j =1,2,3,...6 ஆகும். எனவே X -ஆனது 0, 1, மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 

(i) X = 0, ∀ (i , j)  i ≠ 4, j ≠ 4, எனில்

(ii) X = 1, (1,4) , (2,4) , (3,4) , (5,4) , (6,4) , (4,1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 5) , (4, 6) என்பவற்றில்

(iii) X = 2,  (4, 4) , இல்

எனவே,