நிகழ்தகவு பரவல்கள் | கணிதவியல் - குவிவு பரவல் சார்பிலிருந்து நிகழ்தகவு நிறை சார்பு (Probability Mass Function from Cumulative Distribution Function) | 12th Maths : UNIT 11 : Probability Distributions
5. குவிவு பரவல் சார்பிலிருந்து நிகழ்தகவு நிறை சார்பு (Probability Mass Function from Cumulative Distribution Function)
ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு, குவிவு பரவல் சார்பு F ஒவ்வொரு xi -யிலும் துள்ளல் இருக்கும். மேலும் அடுத்தடுத்த xi -களில் மாறாமலும் இருக்கும். xi -இல் இருக்கும் துள்ளலின் உயரம் f (xi); இதே முறையில் F -லிருந்து xi -இன் நிகழ்தகவை மீட்டெடுக்கலாம்.
x1 < x2 ,< x3…… என்றவாறு இருக்கும் x1, x2 , x3…… மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க. மற்றும் F(xi) என்பது பரவல் சார்பாகும். எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பு f (xi) ஆனது, -
f (xi) = F(xi)- F(xi-1), i =1,2,3,... ஆகும்.
குறிப்பு
x = a-ல் F(x) சார்பின் துள்ளல் |F ( a + ) − F ( a − )| ஆகும். F குறைவுறாமலும் மற்றும் வலப்பக்கமாக தொடர்ச்சியாகவும் இருப்பதால், குவிவு பரவல் சார்பு F-ன் துள்ளல் P(X = x) = F(x) - F(x− ) ஆகும்.
இங்கு துள்ளல் (தொடர்ச்சியில்லாமல் இருப்பதால்) நிகழ்தகவாக நிகழ்கிறது. அதாவது ஒரு குவிவு பரவல் சார்பின் தொடர்ச்சியற்றவைகளின் கணம் எண்ணத்தக்கது!
எடுத்துக்காட்டு 11.9
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள குவிவு பரவல் சார்பு F(x) -இன் தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -யின் நிகழ்தகவு நிறைசார்பினைக் காண்க.
மேலும் (i) P(X < 0) மற்றும் (ii) P(X ≥ -1) காண்க
தீர்வு
'X என்பது ஒரு தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களிலிருந்து, X பின்வரும் மதிப்புகளான -2,-1, 0 மற்றும் 1 ஆகியவற்றைப் பெறும.
வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு, f (x) = P(X = x)
எனவே F(x) -இன் x = -2-ல் இடப்பக்க எல்லை F(-2-) ஆகும்.
f(-2) = P(X = -2) = F(-2) - F(-2 ) = 0.25 - 0 = 0.25.
இதே போன்று ஏனைய துள்ளல் புள்ளிகளுக்கும்,
f(-1) = P(X = -1) = F(-1) - F(-2) = 0.60 - 0.25 = 0.35.
f(0) = P(X = 0) = F(0) - F(-1) = 0.90 - 0.60 = 0.30,
f (1) = P(X = 1) = F(1) - F(0) =1 - 0.90 = 0.10 எனப் பெறப்படுகிறது.
எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது
ஆகும்.
F(x) எனும் பரவல் சார்பிற்கு x = -2, -1, 0, மற்றும் 1-ல் துள்ளல்கள் உள்ளன. அந்த துள்ளல்கள் முறையே, 0.25, 0.35, 0.30, மற்றும் 0.1 என கீழ்க்காணும் படத்தில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.
இந்த துள்ளல்களே நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பினைத் தீர்மானிக்கின்றன.
எடுத்துக்காட்டு 11.10
ஒரு தனிநிலை சார்பு X -ன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது
எனில், (i) P(2 < X < 6) (ii) P(2 ≤ X < 5) (iii) P(X ≤ 4) (iv) P(3 < X) என்பவற்றைக் காண்க.
தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் மொத்த நிகழ்தகவு ஒன்றாகும். அதாவது ∑x f (x) = 1 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களிலிருந்து k + 2k + 6k + 5k + 6k + 10k = 1
30k = 1
⇒ k =1/30
எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது,