Home | 12 ஆம் வகுப்பு | 12வது கணிதம் | தொடர்ச்சியானப் பரவல்கள் (Continuous Distributions)

வரையறை, நிகழ்தகவு | நிகழ்தகவு பரவல்கள் | கணிதவியல் - தொடர்ச்சியானப் பரவல்கள் (Continuous Distributions) | 12th Maths : UNIT 11 : Probability Distributions

   Posted On :  20.09.2022 03:35 am

12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 11 : நிகழ்தகவு பரவல்கள்

தொடர்ச்சியானப் பரவல்கள் (Continuous Distributions)

இப்பகுதியில் (i) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி (ii) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு (iii) பரவல் சார்பு (குவிவு பரவல் சார்பு). (iv) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பிலிருந்து பரவல் சார்பினைத் தீர்மானித்தல். (v) பரவல் சார்பிலிருந்து நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பினைத் தீர்மானித்தல்.

தொடர்ச்சியானப் பரவல்க ள் (Continuous Distributions)

இப்பகுதியில்

(i) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி 

(ii) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(iii) பரவல் சார்பு (குவிவு பரவல் சார்பு).

(iv) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பிலிருந்து பரவல் சார்பினைத் தீர்மானித்தல்

(v) பரவல் சார்பிலிருந்து நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பினைத் தீர்மானித்தல்.

ஆகியவற்றைக் கற்போம்

சில சமயங்களில் செப்பு கம்பியில் உள்ள மின்சாரத்தின் அளவு அல்லது ஒரு மின்விளக்கின் ஆயுட்காலம் போன்றவற்றை அளவிட ஒரு மெய்யெண் இடைவளியில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு மதிப்பைக் கருதவேண்டியுள்ளது. அதன்பிறகே அந்த அளவீட்டின் துல்லியம் சாத்தியமாகும். இந்த அளவீடு எடுத்துரைக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி எனப்படுகிறது. ஒரு மெய்யெண் இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியதாக சமவாய்ப்பு மாறியின் வீச்சு அமையும்; அதாவது, மெய்யெண்களின் தொடரகமாக வீச்சு அமைகிறது எனலாம்.


1. தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியின் வரையறை (The definition of continuous random variable)

வரையறை 11.5 (தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி)

S என்பது ஒரு கூறுவெளி என்க. X : S → எனும் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி -ன் ஒரு கணமான I -ல் ஏதேனும் மதிப்பைப் பெறும என்க. I -இல் உள்ள அனைத்து x -க்கும் P(X = x) = 0 என்பது X -இன் ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.


2. நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு (Probability density function) 

வரையறை 11.6 (நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு)

தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியில் x [a,b] எனுமாறு உள்ள சாத்தியமான ஒவ்வொரு நிகழ்வு X -ற்கும் P(a ≤ X ≤ b) = ∫ba f (x) dx எனும் பண்பு உள்ளது எனில், f (x) எனும் ஒரு குறையற்ற மெய்யெண் மதிப்புடைய சார்பானது, நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பாகும்.


தேற்றம் 11.2 (நிரூபணமின்றி)

ஏதேனும் ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -க்கு, ஒரு சார்பு நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பாகத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனைகளாகக் கீழ்க்காணும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

(i) f (x) ≥ 0, அனைத்து x-க்கும் மற்றும்

(ii) -∞(x)dx = 1 .

குறிப்பு

 மேற்கண்ட வரையறையிலிருந்து, X ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி எனில்,

P(a ≤ X ≤ b) = ba  f( x) dx, என்பதனால்  P( X = a) = aa f (x) dx = 0 ஆகும்.

எனவே X குறிப்பிட்ட ஒரு மதிப்பைக் கொண்டால் அதன் நிகழ்தகவு பூச்சியமாகும்


3. பரவல் சார்பு (குவிவு பரவல் சார்பு) (Distribution function (Cumulative distribution function)) 

வரையறை 11.7 (குவிவு பரவல் சார்பு)

f(x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தியுடைய ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் பரவல் சார்பு அல்லது குவிவு பரவல் சார்பு F(x) என்பது


குறிப்புரை

(1) தனி நிலையில், f (a) = P(X = a) என்பது X ஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவாகும்

தொடர்ச்சியானதில், x = a -இல் f(x) என்பது x ஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல. அதாவது f (a) ≠ P(X = a) ஆகும். X தொடர்ச்சியான வகை எனில், அனைத்து a -க்கு P (X = a) = 0 ஆகும்.

(2) சமவாய்ப்பு மாறி தொடர்ச்சியானபோது தனிநிலையில் பயன்படுத்தப்பட்ட கூட்டல் தொகையிடலாக மாற்றம் பெறுகிறது

(3) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறிக்கு

P(a < X < b) = P(a ≤  X < b) = P(a < X ≤  b) = P(a ≤  X ≤  b)

 (4) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு தொடர்ச்சியான பரவல் சார்பு எனஅழைக்கப்படுகிறது


பரவல் சார்பின் பண்புகள் (Properties of distribution function)

X எனும் தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, கீழ்க்காணும் பண்புகளை குவிவு பரவல் சார்பு பூர்த்தி செய்கிறது.

(i)0 ≤  F(x) ≤ 1. 

(ii) F(x) -ன் குறையற்ற மெய்மதிப்பாகும். அதாவது x < y, எனில் F(x) F(y). 

(iii) F(x) எவ்விடத்திலும் தொடர்ச்சியாகும்.

(iv) lim x → −∞ F (x) = F( − ∞) = 0 மற்றும் lim x → ∞ F (x) = F (+∞) = 1.

(v) (X > x) = 1 − (X≤ x) = 1 − (x) .

(vi) P(a < X < b) = F(b) −F(a) .

 

எடுத்துக்காட்டு 11.11

எனும் சார்பு ஒரு அடர்த்தி சார்பு எனில் மாறிலி C இன் மதிப்பு காண்க. மேலும் (i) P(1.5 <  X < 3.5) (ii) P(X ≤  2) (iii) P(3 < X) ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதால்


கொடுக்கப்பட்ட தகவல்களிலிருந்து


x-இன் பிற மதிப்புகளுக்கு 

f(x) தொடர்ச்சியாதலால், குறிப்பிட்ட எந்த மதிப்பிற்கும் X -ன் நிகழ்தகவு பூச்சியமாகும். எனவே சமவாய்ப்பு மாறி தொடர்ச்சியானபோது குறியீடுகளான <-ஆகவும் மற்றும் > - ≥ -ஆகவும் ஆகிய இரு ஜோடிக் குறியீடுகளை ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றம் செய்து பயன்படுத்தலாம்



4. நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பிலிருந்து பரவல் சார்பு Distribution function from Probability density function)

ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -இன், நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு மற்றும் குவிவு பரவல் சார்பும் (அல்லது பரவல் சார்பும்) X -இன் அனைத்து நிகழ்தகவு தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். X -இன் நிகழ்தகவு பரவலை இவற்றில் ஏதேனுமொன்று தீர்மானிக்கும். X -இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பிலிருந்து தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -இன் பரவல் சார்பைத் தீர்மானிக்கவும், மற்றும் மறுதலையாகவும் காணும் வழிமுறையைக் கற்போம்


எடுத்துக்காட்டு 11.12


 0 x-இன் பிற மதிப்புகளுக்கு

என்பது சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f (x) எனில்

(i) பரவல் சார்பு F (x)

 (ii) P(1.5 ≤  X  ≤ 2.5)


சோதிக்க:

 (i) F(x) அனைத்து இடங்களிலும் தொடர்ச்சியா எனவும்

(ii) படம் 11.16-லிருந்து, முக்கோணத்தின் பரப்பு = 1/2  bh = 1 எனவும் சோதிக்க.


5. நிகழ்தகவு பரவல் சார்பிலிருந்து நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு (Probability density function from Probability distribution function)

தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் பரவல் சார்பு F(x)-லிருந்து நிகழ்தகவு அடர்த்திசார்பைத் தீர்மானிக்கும் வழிமுறையைக் கற்போம்.

ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் பரவல் சார்பு F(x) என்க. இனி வகையிடல் இருக்கும் இடத்திலெல்லாம் f(x) = dF (x) / dx = F'(x), என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பைக்குறிக்கும்.


எடுத்துக்காட்டு 11.13

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X -இன் பரவல் சார்பு,


 (i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f (x

(ii) P(0.2 ≤  X ≤  0.7) ஆகியவற்றைக் காண்க

தீர்வு

 (i) f (x) -ன் தொடர்ச்சி புள்ளிகளில் x-ஐப் பொறுத்து F(x)- வகையிட


f (x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு x = 0 -ல், அல்லது x = 1-ல் தொடர்ச்சியற்று உள்ளது. f(0) மற்றும் f(1)- எவ்வகையிலும் வரையறுக்கலாம். f (0) =1, மற்றும் f (1) = 0 எனத் தெரிவு செய்வோம் .

எனவே f (x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு



எடுத்துக்காட்டு 11.15

ஒரு மின்சாதனத்தின் ஆயுட்காலத்தைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

ஆகும் 

(i) k -ன் மதிப்பு காண்க

(ii) பரவல் சார்பு

(iii) P(X < 2) 

(iv) X -ன் குறைந்தபட்சம் நான்கு நேர அலகுகளுக்கான நிகழ்தகவு காண்க 

(v) P(X = 3). 

தீர்வு


(iii) P(X < 2) = P(X ≤  2) = F(2)=1-e-2 × 2 =1 – e-4 (F(x) தொடர்ச்சி என்பதால்)

(iv) X குறைந்தபட்சம் நான்கு நேர அலகுகளுக்கான நிகழ்தகவு

P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) = 1 - F(4) = 1-(1-e-2 × 4) = e-8

(v) தொடர்ச்சியானதில், x = a-ல் f (x) என்பது ஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவுஅல்ல. அதாவது f (a) ≠ P (X = a) ஆகும். X தொடர்ச்சியான வகை எனில், அனைத்து a ∈ ℝ-க்கு P (X = a) = 0 ஆகும். எனவே P(X = 3) = 0 ஆகும்.


Tags : Definition, Properties | Probability Distributions | Mathematics வரையறை, நிகழ்தகவு | நிகழ்தகவு பரவல்கள் | கணிதவியல்.
12th Maths : UNIT 11 : Probability Distributions : Continuous Distributions Definition, Properties | Probability Distributions | Mathematics in Tamil : 12th Standard TN Tamil Medium School Samacheer Book Back Questions and answers, Important Question with Answer. 12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 11 : நிகழ்தகவு பரவல்கள் : தொடர்ச்சியானப் பரவல்கள் (Continuous Distributions) - வரையறை, நிகழ்தகவு | நிகழ்தகவு பரவல்கள் | கணிதவியல் : 12 ஆம் வகுப்பு தமிழ்நாடு பள்ளி சமசீர் புத்தகம் கேள்விகள் மற்றும் பதில்கள்.
12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 11 : நிகழ்தகவு பரவல்கள்