சமவாய்ப்பு மாறி (Random Variable)

சமவாய்ப்பு மாறி (Random Variable)

சமவாய்ப்புச் சோதனையின் முடிவைக் குறியீடுகளால் குறிப்பது அனைத்து நிகழ்வுகளிலும் எளிதானது அல்ல. நாம் கருதும் பல சமவாய்ப்புச் சோதனைகளில் சாத்தியமான முடிவுகளின் விளக்கமாக S எனும் கூறுவெளியே அமைகின்றது.

அதாவது சோதனையின் முடிவு அல்லது S எனும் கூறுவெளியின் கூறுபுள்ளிகள் எண்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. உதாரணமாக ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும் போது கிடைக்கும் முடிவுகள் H (தலை) அல்லது T (பூ). ஆகும். சமவாய்ப்புச் சோதனையின் முடிவுகளில் சில தருணங்களில் எண் மதிப்புகளைத்தான் கையாள வேண்டியுள்ளது. எனவே சோதனையின் ஒவ்வொரு முடிவிற்கும் ஓர் எண்ணை ஒதுக்கீடு செய்கிறோம். அதாவது தலைக்கு 1 எனவும் பூவிற்கு 0 எனவும் ஒதுக்கீடு செய்கிறோம். இவ்வாறு S-இல் உள்ள உறுப்புகளுக்கு எண் மதிப்புகளை ஒதுக்கீடு செய்தல் ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி என்பது உண்மையில் ஒரு சார்பாகும். 

வரையறை 11.1

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது S எனும் கூறுவெளியிலிருந்து ℝ எனும் மெய்யெண் கணத்தின் மீது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்.

ℝ -இல் உள்ள இடைவெளி அல்லது உட்கணம் அல்லது கூறுபுள்ளிகளின் நேர்மாறு பிம்பங்கள் S -இல், ஒரு நிகழ்வாக அமைகிறது. ஒவ்வொரு நிகழ்வும் நிகழ்தகவு மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். 

சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் குறிப்பிட ஆங்கில எழுத்துகளில் தலைப்பு எழுத்துக்களான X, Y மற்றும் Z போன்றவற்றையும் சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்கான சாத்தியமுள்ள மதிப்புகளைக் குறிப்பிட சிறிய எழுத்துக்களான x, y மற்றும் z போன்றவற்றையும் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறிக்கான கூறுவெளி S = {ω1 , ω2 , ω3 , } என்க. ℝ என்பது மெய்யெண்கோட்டைக் குறிக்கிறது. இனி X என்பது S-இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு என்க. X : S → ℝ எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. w என்பது S -இல் உள்ள கூறுபுள்ளி என்பதால் X(w) என்பது ஒரு மெய்யெண்ணாகும்.

w ∈ S எனுமாறு உள்ள X(w) தொகுப்பு வீச்சகமாகும். அதாவது R. எனக் குறிப்பிடப்படும் வீச்சகமானது Rx = {X (w)/w ∈ S} ஆகும்.

மெய்யெண் கோட்டின் மீதான கூறுவெளி S-இன் சில கூறுபுள்ளிகள் wi அல்லது நிகழ்வுகளின் வரைபடத்தை படம் 11.1-ல் காணலாம்.

சான்றாக, w11 , w12 , w13 , … w1k ∈ S -க்கு x என்பது X -இன் ஒரு சாத்தியமான மதிப்பு எனில் { w11 , w12 , w13 , … w1k } என்பது X-இன் நேர்மாறு மதிப்பாகும்.

அதாவது X-1  (x) = { w11 , w12 , w13 , … w1k } என்பது Sஇல் ஒரு நிகழ்வாகும். 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.1

ஒரு நாணயம் ஒரு முறை சுண்டப்படுகிறது என்க. H(தலை) மற்றும் T(பூ) என இரு கூறுபுள்ளிகள் கூறுவெளியில் உள்ளன. 

அதாவது S = {T, H}

 X: S → R என்பது தலைகளின் எண்ணிக்கை என்க. 

அதாவது X (T) = 0, மற்றும் X (H) =1 ஆகும்.

எனவே X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி 0 மற்றும் 1 ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறுகிறது. X (w ) என்பது தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறித்தால்

எடுத்துக்காட்டு 11.1

இரு நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படுகின்றன. X என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறித்தால், (i) கூறுவெளியை எழுதுக (ii) 1-ன் நேர்மாறு பிம்பத்தைக் காண்க (iii) சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள், மற்றும் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. 

தீர்வு

(i) கூறுவெளி S = {H, T} × {H,T}

அதாவது S = {TT, TH, HT, HH} 

(ii) X:S → ℝ என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கை என்க . 

எனவே X (TT) = 2 (2 பூக்கள்)

X (TH) = 1 (1 பூ)

X (HT) = 1(1 பூ)

மற்றும் X (HH) = 0 (0 பூக்கள்).

இனி X என்பது 0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும சமவாய்ப்பு மாறியாகும். X(w) என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடுகிறது என்க, இதிலிருந்து

1-இன் நேர்மாறு பிம்பங்கள் {TH, HT} ஆகும். அதாவது X-1 ({1}) = {TH, HT} 

(iii) நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பட்டியலில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 11.2

சீரான இரு பகடைகள் உருட்டப்படுவதாகக் கொள்வோம். X என்பது இரு பகடையில் கிடைக்கும் எண்களின் மொத்தக் கூட்டுத் தொகை எனில், (i) கூறுவெளி (ii) X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி எடுக்கும் மதிப்புகள், (iii) 10-இன் நேர்மாறு பிம்பம், மற்றும் (iv) X-ன் நேர்மாறு பிம்பத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க. 

தீர்வு

 (i) கூறுவெளி

S = { 1,2,3,4,5,6 } × { 1,2,3,4,5,6 } ,

36 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடிகள் (α, β), -இல் உள்ளன. இங்கு α மற்றும் β ஆகியவை 1 முதல் 6 வரை படத்திலிருப்பது போல் எந்தவொரு முழு எண் மதிப்பையும் பெறும.ஒவ்வொரு புள்ளி (α, β), என்பதற்கும் X என்பது பகடையின் மேலுள்ள எண்களின் கூடுதல் என ஒதுக்கீடு செய்யப்படுகிறது.

அதாவது X (α, β) = α + β ஆகும். 

எனவே

X (1,1) = 1 + 1 = 2

X (1,2) =X (2,1) = 3

X (1,3) =X (2,2) = X (3,1) = 4

X (1,4) =X (2,3) = X (3,2) = X (4,1) = 5

X (1,5) =X (2,4) = X (3,3) = X (4,2) = X (5,1) = 6

X (1,6) =X (2,5) = X (3,4) = X (4,3) = X (5,2) = X (6,1) = 7

X (2,6) =X (3,5) = X (4,4) = X (5,3) = X (6,2) = 8

X (3,6) =X (4,5) = X (5,4) = X (6,3) = 9

X (4,6) =X (5,5) = X (6,4) = 10

X (5,6) = (6,5) = 11

X (6,6) = 12.

 (ii) எனவே X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ஆகிய மதிப்புகளைப்பெறுகிறது. 

(iii) 10-இன் நேர்மாறு பிம்பம் {(4, 6),(5, 5),(6, 4)} ஆகும்.

(iv) நேர்மாறு பிம்பங்களில் எண்ணிக்கை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது. 

எடுத்துக்காட்டு 11.3

ஒரு ஜாடியில் 2 வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் 3 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் 3 பந்துகள் ஜாடியிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. X என்பது தேர்ந்தெடுக்கும் சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிட்டால், சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் மதிப்புகளையும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் எண்ணிக்கையையும் காண்க.

தீர்வு

வெள்ளை மற்றும் சிவப்பு பந்துகளை, w1 , w2 , r1 , r2 மற்றும் r3 எனக் குறிப்பிடுவோம். கூறுவெளியில் 5c3 = 10 வெவ்வேறு 3 எண்ணிக்கை அளவுள்ள கூறுகள் உள்ளன. 

அதாவது S ={w1 w2 r1 , w1 w2 r2 , w1 w2 r3 , w1 r1 r2 , w1 r2 r3 , w1 r1 r3 , w2 r1 r2 , w2 r2 r3 , w2 r1 r3 , r1 r2 r3 } ஆகும். சமவாய்ப்பு மாறி X எடுக்கும் மதிப்புகள் 1, 2, மற்றும் 3 ஆகும்.

குறிப்புரை

X என்பது வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிட்டால் X எடுக்கக் கூடிய மதிப்புகள் 0,1, மற்றும் 2 ஆகும். நேர்மாறு பிம்பங்களில் எண்ணிக்கை கீழ்க்காணுமாறு பட்டியலிடப்படுகிறது. 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.2

150 மாணவர்களைக் கொண்ட ஒரு குழு 4 பேருந்துகளில் சுற்றுலாவிற்குச் செல்கின்றனர். ஒரு பேருந்தில் 38 மாணவர்களும், இரண்டாவது பேருந்தில் 36 மாணவர்களும், மூன்றாவது பேருந்தில் 32 மாணவர்களும், மீதமுள்ள மாணவர்கள் நான்காவது பேருந்திலும் பயணித்தனர். சேருமிடம் வந்ததும் அந்த 150 மாணவர்களில் ஒருவர் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.

X என்பது சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாணவன் இருந்த பேருந்திலுள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது என்க. எனவே X என்பது 32, 36, 38, மற்றும் 44 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு 11. 4

6 வெள்ளை மற்றும் 4 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு ஜாடியிலிருந்து இரு பந்துகள் சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு கருப்பு பந்திற்கும் ₹ 30 வெல்வதாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வெள்ளை பந்திற்கும் ₹20 தோற்பதாகவும் கொள்க. வெல்லும் தொகையை X குறிப்பதாகக் கொண்டால், X - இன் மதிப்புகளையும் மற்றும் அதன் நேர்மாறு பிம்பங்களில் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையும் காண்க. 

தீர்வு

சாத்தியமான தீர்வுகள் (i) இரண்டுமே கருப்பாக இருக்கலாம் அல்லது (ii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு அல்லது (iii) இரண்டுமே வெள்ளையாக இருக்கலாம். எனவே X என்பது பின்வரும் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.

X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்) = 2(30) = 60 

X (ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு வெள்ளை பந்து) = ₹30 - ₹20 = ₹10

X (இரண்டுமே வெள்ளை பந்துகள்) = ₹2( - 20) = - ₹40

 எனவே X ஆனது 60,10, மற்றும் - 40 மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 

குறிப்பு : 60-இன் நேர்மாறு பிம்பம் { b1b2 , b1b3 , b1b4 , b2 b3 , b2 b4 , b3b4 }. ஆகும். 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.3 

தலை நிகழும் வரை ஒரு நாணயம் சுண்டப்படுகிறது. அதன் கூறுவெளி S = {H, TH, TTH, TTTH,...} ஆகும். 

தலை நிகழும்வரை சுண்டப்படும் எண்ணிக்கையை X என்க.

 இனி X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி 1,2,3,.... முதலிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.4

N என்பது ஒரு கால இடைவெளியில் உதவிமையத்திற்குச் சென்று வரிசையில் காத்திருக்கும் நுகர்வோர்களின் எண்ணிக்கை எனில் குறையற்ற எண்களின் கணமாகத்தான் கூறுவெளி அமையும். அதாவது S = {0, 1, 2, 3,...} மற்றும் N என்பது ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி கொண்டிருக்கும் மதிப்புகள் 0,1,2,3,.... ஆகும். 

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.5

ஒரு சோதனை மின் விளக்கின் ஆயுளை ஆராயும் எனில் மின்விளக்கின் ஆயுட்காலமாகக் கூறுவெளி அமையும். எனவே கூறுவெளியானது S = [0, ∞) ஆகும். X என்பது மின்விளக்கின் ஆயுட்காலத்தைக் குறித்தால், X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி கொண்டிருக்கும் மதிப்புகள் [0, ∞)-ல் அமையும்.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 11.6

r ஆரமுள்ள ஒரு வட்டு D என்க. D-இல் சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு புள்ளி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. மையத்திலிருந்து புள்ளி இருக்கும் தொலைவை X என்க. கூறுவெளி S = D மற்றும் X எனும் சமவாய்ப்பு மாறிக் கொண்டிருக்கும் மதிப்புகள் 0 முதல் r வரை ஆகும். அதாவது w ∈ S -க்கு X (w) ∈ [0,r) ஆகும்.