நிகழ்தகவு பரவல்கள் | கணிதவியல் - குவிபுப் பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு (Cumulative Distribution Function or Distribution Function) | 12th Maths : UNIT 11 : Probability Distributions
3. குவிபுப் பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு (Cumulative Distribution Function or Distribution Function)
பல தருணங்களில் நிகழ்தகவைக் கண்டறியும்பொழுது, சமவாய்ப்பு மாறி X, ஏற்கும் மதிப்புகளானது ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் x-க்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதைக் காணலாம். ஒவ்வொரு மெய்யெண் x -க்கும் F(x) = P (X ≤ x) என்றிருந்தால், F(x)-ஐ சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் குவிவு பரவல் சார்பு அல்லது பரவல் சார்பு மற்றும் அதன் பொதுவான சுருக்கம் cdf ஆகும்.
வரையறை 11.4 (குவிவு பரவல் சார்பு)
x1 < x2 < x3 < ….. எனும்படி x1, x2 , x3 மதிப்புகளுக்கு F(x)-ஐ நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பாகக் கொண்டிருக்கும் தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -இன் குவிவு பரவல் சார்பு F(x)-இன் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு F ( x) = P ( X ≤ x ) = ∑xi≤x f ( xi ), x ∈ ℝ ஆகும்.
தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு தனிநிலை பரவல் சார்பு எனப்படுகிறது. எனினும், நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு f (x) என்பது x1 , x2 , x3 எனும் தனிநிலை மதிப்புகள் கணத்திற்குத்தான் வரையறுக்கப்பட்டது. குவிவு பரவல் சார்பு F(x) என்பது அனைத்து மெய் மதிப்புகளான x ∈ ℝ -க்கு வரையறுக்கப்படுகிறது.
நிகழ்தகவு நிறை சார்பினைப் பயன்படுத்தி குவிவு பரவல் சார்பினைக் கணிக்கலாம்.
X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி, x1 , x2 , x3 , . . . xn , (x1 < x2 < x3 <, . . . < xn ) என்ற முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை மட்டும் கொண்டிருந்தால் , அதன் குவிவு பரவல் சார்பினை கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கலாம்.
தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு ,குவிவு பரவல் சார்பு கீழ்க்காணும் பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது.
(i) அனைத்து x ∈ ℝ -க்கு 0 ≤ F (x) ≤ 1,
(ii) F(x), ஒரு மெய் மதிப்புடையக் குறைவுறாச் சார்பு ஆகும் (x < y, எனில் F(x) ≤ F(y)).
(iii) F(x) ஒரு வலப்பக்கத் தொடர் சார்பு ஆகும் (limx→a+ F(x) = F (a).
(iv) lim x → -∞ F (x) = F(-∞) = 0 .
(v) lim x → +∞ F (x) = F(+∞) = 1 .
(vi) P (x1 < X ≤ x2 ) = F (x2) − F (x1).
(vii) P (X > x) = 1 − P (X≤ x) = 1 − F (x) .
(viii) P ( X = xk ) = F( xk ) − F( xk− ) .
குறிப்பு
சில நூலாசிரியர்கள் குவிவு பரவல் சார்பு F(x) -இன் வரையறைக்கு வலப்பக்கத் தொடர்ச்சிக்கு பதிலாக இடப்பக்க தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.