கலப்பு மாறல்

கலப்பு மாறல்

நாம் கலப்பு மாறலைக் குறித்து கற்கும்முன் நேர் மற்றும் எதிர் விகிதங்கள் கருத்துக்களை நினைவு கூர்வோம்.

ஒரு அளவானது அதிகரிக்க அல்லது குறையும் போது முறையே மற்றொரு அளவானது அதிகரிக்க அல்லது குறையுமாறு (அதே விளைவு) இரு அளவுகள் இருக்குமாயின், அவை நேர் மாறலில் உள்ளன எனக் கூறப்படுகிறது அல்லது நேர் மாறலில் வேறுபடுகிறது எனக் கூறப்படுகிறது. மாறாக, y ஆனது x ஐப் பொருத்து இருக்கும் எனக் கொண்டு, எப்போதும் y = kx ஆக இருக்குமானால், x மற்றும் y ஆனது நேர்மாறலில் இருக்கும். இங்கு k > 0 ஆனது விகிதசம மாறிலி எனப்படும். மேலும் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, உங்களில் ஒருவர், பிறந்த நாள் விழாவில் உனது நண்பர்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் தலா 2 எழுதுகோள்களை வழங்க நினைக்கிறீர்கள் என வைத்துக் கொண்டால், வாங்கவேண்டிய எழுதுகோல்களின் எண்ணிக்கையானது விழாவிற்கு வரும் நண்பர்களின் எண்ணிக்கைக்கு நேர் விகிதத்தில் இருக்கும். சரிதானே? பின்வரும் அட்டவணையானது இதனை தெளிவாகப் புரிந்துக்கொள்ள உங்களுக்கு உதவும். 

இங்கு விகிதசம மாறிலியான k ஆனது என நாம் காண்கிறோம்.

நேர் விகிதத்திற்கு மேலும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்: 

1. தூரமும் – நேரமும் (சீரான வேகத்தில்): தூரம் அதிகரித்தால், அந்த தூரத்தை அடைய எடுத்துக் கொள்ளும் நேரமும் அதிகரிக்கும். நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும். 

2. வாங்குதலும் – செலவிடுதலும்: வீட்டிற்குத் தேவையான பொருள்களை, குறிப்பாக விழாக் காலங்களில் வாங்குவது அதிகரிக்கும் போது, செலவிடும் வரம்பும் அதிகரிக்கிறது, நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும். 

3. வேலைநேரமும் – சம்பாத்தியமும்: குறைவான நேரம் வேலைச் செய்தால், சம்பாத்தியமும் குறைவாகவே இருக்கும். நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும்.

இதுபோன்றே, ஒரு அளவானது அதிகரிக்க அல்லது குறையும் போது முறையே மற்றொரு அளவானது குறைய அல்லது அதிகரிக்குமாறு (எதிர் விளைவு) இரு அளவுகள் இருக்குமாயின், அவை எதிர் மாறலில் உள்ளன எனக் கூறப்படுகிறது அல்லது எதிர் மாறலில் வேறுபடுகிறது எனக் கூறப்படுகிறது. மாறாக, எப்போதும் xy = k ஆக இருக்குமானால், x மற்றும் y ஆனது எதிர் மாறலில் இருக்கும். இங்கு k ஆனது விகிதசம மாறிலி எனப்படும். மேலும் k > 0 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பள்ளியிலுள்ள ஒரு வகுப்பின் 30 மாணவர்கள், ஒரு கிராமத்தில் சுகாதார விழிப்புணர்வு குறித்தப் பேரணிக்கு ஒழுங்கு முறையில் செல்கிறார்கள் என வைத்துக் கொண்டால், நாம் அதிலுள்ள நிரை – நிரல்களில் எதிர் மாறலைக் காண முடியும். பின்வரும் அட்டவணையானது இதனை தெளிவாகப் புரிந்துக்கொள்ள உங்களுக்கு உதவும்.

நிரல் – நிறைகளின் சில அமைப்புகளான (5 நிரைகள் / 6 நிரல்கள்) மற்றும் (6 நிரைகள் / 5 நிரல்கள்) ஆகியவற்றை நாம் வரைந்து, அவற்றுள் எதிர்மாறல் இருப்பதைக் காணலாம். இங்கு விகிதசம மாறிலியான k ஆனது 30 என நாம் காண்கிறோம். 

எதிர் விகிதத்திற்கு மேலும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்: 

1. விலையும் – நுகர்வும்: ஒரு நுகர்வுப் பொருள்களின் விலை உயர்ந்தால், இயற்கையாகவே அவற்றின் நுகர்வும் குறையும். நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும். 

2. வேலையாள்களும் – காலமும்: ஒரு வேலையை முடிக்க, கூடுதலாக வேலையாள்களை பணியமர்த்தினால், அந்த வேலையை முடிக்க ஆகும் காலமும் குறைவாகும். நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும். 

3. வேகமும் – காலமும்: நாம் குறைந்த வேகத்தில் பயணித்தால், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு தூரத்தை அடைய எடுத்துக் கொள்ளும் காலமும் அதிகமாகும். நேர்மாறாகவும் இது உண்மையாகும்.

இப்போது நாம் கலப்பு மாறல் என்றால் என்ன? என்பதைக் காண்போம். சில கணக்குகளில் சங்கிலித் தொடர்களாக இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறல்கள் இடம் பெற்றிருக்கும். இது கலப்பு மாறல் எனப்படும். அந்த இரு மாறல்களின் வெவ்வேறு சாத்தியக்கூறுகள் பின்வருமாறு நேர் – நேர், நேர்– எதிர், எதிர்– நேர் மற்றும் எதிர்– எதிர் மாறல்கள் என அமையலாம்.

இவற்றை முயல்க

(1) பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளை நேர் அல்லது எதிர் விகிதம் என வகைப்படுத்துக. 

(i) பருப்பு வகைகளின் எடையும் விலையும். 

(ii) பேருந்தில் பயணம் செய்த தூரமும் அதற்கான கட்டணமும். 

(iii) ஒரு குறிப்பிட்டத் தூரத்தைக் கடக்கத் தடகளை வீரரின் வேகம். 

(iv) ஒரு குறிப்பிட்டக் காலத்தில் ஒரு கட்டுமானப் பணியை முடிக்க பணியமர்த்தப்பட்ட வேலையாள்களின் எண்ணிக்கை.

(v) வட்டத்தின் பரப்பளவும் அதன் ஆரமும்

(2) ஒரு மாணவனால் 15 நிமிடங்களில் 21 பக்கங்களைத் தட்டச்சுச் செய்யமுடியும். இதே  வேகத்தில், அந்த மாணவனுக்கு 84 பக்கங்கள் தட்டச்சுச் செய்ய எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? 

(3) 35 பெண்கள் ஒரு வேலையை 16 நாள்களில் செய்து முடிப்பர் எனில், 28 பெண்கள் அதே வேலையை எத்தனை நாள்களில் செய்து முடிப்பர்?

குறிப்பு 

சில சூழல்களில், நேர் விகிதத்தையோ எதிர் விகிதத்தையோப் பயன்படுத்த இயலாது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒருவர் தனது ஒரு கண்ணால் தூரத்திலுள்ள ஒரு கிளியை பார்க்கிறார் எனில், அவரால் அதே தூரத்தில் தனது இரு கண்களால் இரு கிளிகளைப் பார்க்க இயலும் என்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது. மேலும், ஒரு வடையைப் பொரிக்க 5 நிமிடங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறது எனில், 20 வடைகளைப் பொரிக்க 100 நிமிடங்கள் எடுத்துக்கொள்ளும் என்பதும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது!

இப்போது நாம் கலப்பு மாறலில் சில கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காண்போம். இங்கு , நாம், தெரிந்த அளவினைத் தெரியாத (x) அளவுடன் ஒப்பிடுகிறோம். நடைமுறையிலுள்ள சில முறைகளைக் கொண்டு, கலப்பு மாறல் கணக்குகளைத் தீர்க்கலாம். அவையாவன: 

1. விகிதசம முறை

இந்த முறையில், நாம் கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களை ஒப்பிட்டு, அவை நேர் அல்லது எதிர் விகித சமத்தில் உள்ளனவா என காண வேண்டும். விகிதசமத்தைக் கண்ட பின்,

முனை மதிப்புகளின் பெருக்கல்பலன் = சராசரி மதிப்புகளின் பெருக்கல்பலன் 

என்ற மெய்மையைப் பயன்படுத்தி, தெரியாத (x) மதிப்பினைப் பெறலாம். 

2. பெருக்கல் காரணி முறை 

விளக்கம்:

இங்கு, ஆண்கள் கலத்தில் தெரியாதது (x) உள்ளது. ஆகவே, அதை தெரிந்த மணிகள் மற்றும் நாள்கள் கலத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும். இங்கு, ஆண்கள் மற்றும் மணிகள் நேர் விகிதத்தில் (D) இருந்தால், பெருக்கல் காரணியாக d/c ஐ எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் (தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்). மேலும், ஆண்கள் மற்றும் நாள்கள் எதிர் விகிதத்தில் (I ) இருந்தால், பெருக்கல் காரணியாக e/f ஐ எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் (மாற்றமில்லை). இவ்வாறாக, நாம் தெரியாத (x) ஆண்களை . எனக் கொண்டுக் கண்டறியலாம்.

3. சூத்திர முறை

கொடுக்கப்பட்டக் கணக்கிலிருந்து தரவுகளை, நபர்கள் (P), நாள்கள் (D), மணிகள் (H) மற்றும் வேலை (W) என கண்டறிந்து,

என்றச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தெரியாததைக் (x) காணலாம். இங்கு, 1 ஐ பின்னொட்டாகக் கொண்டவை, கணக்கில் முதல் வாக்கியத்தில் உள்ள முழுத் தரவுகளைக் கொண்டதாகும். 2 ஐ பின்னொட்டாகக் கொண்டவை, கணக்கில் இரண்டாவது வாக்கியத்தில் தெரியாத (x) தரவினை உள்ளடக்கியதாகும். அதாவது, இந்த சூத்திரமானது, P1 நபர்கள் W1 வேலையை நாளொன்றுக்கு H1 மணிகள் வேலை செய்து D1 நாள்களில் முடிப்பார்கள் என்பது P2 நபர்கள் வேலையை நாளொன்றுக்கு H2 மணிகள் வேலை செய்து D2 நாள்களில் முடிப்பார்கள் என்பதற்கு சமம் என்கிறது. இவ்வகையானக் கணக்குகளில், வேலையான W1 மற்றும் W2 ஆகியவற்றைச் சரியாகக் கண்டறிவது மிகவும் முக்கியமானதாகும். தெரியாததை (x) விரைவில் காண இந்த முறையானது எளிதாக இருக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு 4.19  (நேர்–நேர் மாறல்) 

ஒரு நிறுவனமானது 20 நாள்களுக்கு 15 வேலையாள்களுக்கு ₹6 இலட்சம் தொகையை ஊதியமாக வழங்குகிறது எனில், அந்நிறுவனத்திற்கு 5 வேலையாள்களுக்கு 12 நாள்களுக்கு ஊதியமாக வழங்க எவ்வளவுத் தொகை தேவை? 

தீர்வு : 

விகிதசம முறை 

இங்கு , தொகையானது (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை, வேலையாள்கள் மற்றும் நாள்களுடன் ஒப்பிட வேண்டும். 

படி 1: 

இங்கு , நாள்கள் குறைவு என்பதால் தொகை குறைவு ஆகும். ஆகவே, இது நேர் மாறலில் உள்ளது.

∴ விகித சமம் 20 : 12 :: 6 : x ஆகும்.                →  (1)  

படி 2: 

மேலும், வேலையாள்கள் குறைவு என்பதால் தொகை குறைவு ஆகும். ஆகவே, இதுவும் நேர் மாறலில் உள்ளது.

∴ விகித சமம் 15 : 5 :: 6 : x ஆகும்.              →  (2)

படி 3: 

(1) மற்றும் (2) ஐ சேர்க்கக் கிடைப்பது, 

இங்கு, நமக்கு முனை மதிப்புகளின் பெருக்கல் பலன் = சராசரி மதிப்புகளின் பெருக்கல்பலன் என்பது தெரியுமாதலால், 

ஆகவே, 20 × 15 × x  = 12 × 6 × 5 ⇒ x = = ₹ 1.2  இலட்சம்.

பெருக்கல் காரணி முறை 

இங்கு , தொகையானது (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை, வேலையாள்கள் மற்றும் நாள்களுடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

படி 1: 

இங்கு, நாள்கள் குறைவு என்பதால் தொகை குறைவு ஆகும். ஆகவே, இது நேர் மாறலில் உள்ளது. 

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். (தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்) 

படி 2: 

மேலும், வேலையாள்கள் குறைவு என்பதால் தொகை குறைவு ஆகும். ஆகவே, இதுவும் நேர் மாறலில் உள்ளது.

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். (தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்) 

படி 3:

∴ x = 6 × ×

x = ₹ 1.2 இலட்சம் 

சூத்திர முறை: 

இங்கு, P1 = 15, D1 = 20 மற்றும் W1 = 6 மற்றும்

P2 = 5, D2 = 12 மற்றும் W2 = x

என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால்,

  = ₹ 1.2 இலட்சம்

எடுத்துக்காட்டு 4.20  (நேர்–எதிர் மாறல்)

180மீ நீளமுள்ள ஒரு பாயினை 15 பெண்கள் 12 நாள்களில் செய்தனர். 512 மீ நீளமுள்ள ஒரு பாயினை 32 பெண்கள் செய்ய எத்தனை நாள்கள் ஆகும்? 

தீர்வு : 

விகிதசம முறை 

இங்கு, நாள்கள் (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை நீளம் மற்றும் பெண்களுடன் ஒப்பிட வேண்டும். 

படி 1: 

இங்கு, நீளம் கூடுதல் என்பதால் நாள்கள் கூடுதல் ஆகும். ஆகவே, இது நேர்மாறலில் உள்ளது.

∴ விகித சமம் 180 : 512 :: 12 : x ஆகும்.       → (1) 

படி 2: 

மேலும், பெண்கள் கூடுதல் என்பதால் நாள்கள் குறைவு ஆகும். ஆகவே, இது எதிர்மாறலில் உள்ளது.

∴ விகித சமம் 32 : 15 :: 12 : x ஆகும். → (2)

படி 3: 

(1) மற்றும் (2) ஐ சேர்க்கக் கிடைப்பது, 

இங்கு, நமக்கு முனை மதிப்புகளின் பெருக்கல்பலன் = சராசரிகளின் பெருக்கல்பலன் என்பது தெரியுமாதலால்,

ஆகவே , 180 × 32 × x = 512 × 12 × 15 ⇒ x = = 16 நாள்கள். 

பெருக்கல் காரணி முறை: 

இங்கு நாள்கள் (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை நீளம் மற்றும் பெண்களுடன் ஒப்பிட வேண்டும். 

படி 1: 

இங்கு, நீளம் கூடுதல் என்பதால் நாள்கள் கூடுதல் ஆகும். ஆகவே, இது நேர்மாறலில் உள்ளது. 

∴ பெருக்கல் காரணியானது  ஆகும். (தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்)

படி 2: 

மேலும், பெண்கள் கூடுதல் என்பதால் நாள்கள் குறைவு ஆகும். ஆகவே, இது எதிர்மாறலில் உள்ளது. 

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். (மாற்றமில்லை ) 

படி 3:

∴ x = 12 × ×   = 16 நாள்கள். 

சூத்திர முறை: 

இங்கு, P1 =15, D1 = 12 மற்றும் W1 = 180 மற்றும்

P2 = 32,  D2 = x மற்றும் W2 = 512

என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால்,

= 16 நாள்கள். 

குறிப்புரை: இங்கு விவரிக்கப்பட்ட மூன்று முறைகளில் ஏதேனும் ஒரு வழியில் மாணவர்கள் விடையளிக்கலாம்.

இவற்றை முயல்க

1. x மற்றும் y ஆகியவை நேர் மாறலில் உள்ளன எனில், x = y = 5 எனும்போது, k இன் மதிப்பைக் காண்க. 

2. x மற்றும் y ஆகியவை எதிர் மாறலில் உள்ளன எனில், x = 64 மற்றும் y = 0.75 எனும்போது, விகிதசம மாறலின் மாறிலியைக் காண்க.

செயல்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட ஆரத்திற்கு ஒரு வட்டத்தை வரைக. எந்த ஒரு அடுத்தடுத்த சோடி ஆரங்களுக்கிடையேயுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்குமாறு, அதன் ஆரங்களை வரைக. முதலில் 3 ஆரங்கள் வரைவதில் தொடங்கி 12 ஆரங்கள் வரை வரையவும். ஆரங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் அடுத்தடுத்த சோடி ஆரங்களுக்கிடையே உள்ள கோணத்திற்குமான தொடர்பினை பட்டியலிட்டு அட்டவணையில் குறித்து, அவை எதிர் மாறலில் உள்ளனவா என ஆராய்க. விகிதசம மாறிலி என்ன?

எடுத்துக்காட்டு 4.21  (எதிர்–நேர் மாறல்)

81 மாணவர்கள் 448 மீ நீளமுள்ள ஒரு சுவரில் ஓர் ஓவியத்தை 56 நாள்களில் வண்ணமிடுவர் எனில், 160 மீ நீளமுள்ள அது போன்ற ஒரு சுவரில் 27 நாள்களில் அந்த ஓவியத்தை எத்தனை மாணவர்கள் வண்ணமிடுவர்? 

தீர்வு : 

பெருக்கல் காரணி முறை: 

இங்கு, மாணவர்கள் (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை நாள்கள் மற்றும் சுவரின் நீளத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும் 

படி 1: 

இங்கு, நாள்கள் குறைவு என்பதால் மாணவர்கள் கூடுதல் ஆகும். ஆகவே, இது எதிர் மாறலில் உள்ளது. 

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். 

படி 2: 

மேலும், நீளம் குறைவு என்பதால் மாணவர்கள் குறைவு ஆகும். ஆகவே, இது நேர் மாறலில் உள்ளது.

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். 

படி 3: 

∴  x = 81 ×  × ⇒ x = 60 மாணவர்கள்.

சூத்திர முறை: 

இங்கு, P1 = 81, D1 = 56 மற்றும் W1 = 448 

P2 = x, D2 = 27 மற்றும் W2 = 160

என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால்,

நாம் பெறுவது,

⇒ x = 60 மாணவர்கள். 

எடுத்துக்காட்டு 4.22 (எதிர் – எதிர் மாறல்)

48 ஆண்கள் ஒரு வேலையை நாளொன்றுக்கு 7 மணி நேரம் வேலை செய்து 24 நாள்களில் முடிப்பர் எனில், 28 ஆண்கள் அதே வேலையை நாளொன்றுக்கு 8 மணி நேரம் வேலை செய்து எத்தனை நாள்களில் முடிப்பர்?

தீர்வு: 

பெருக்கல் காரணி முறை: 

இங்கு , நாள்கள் (x) தெரியாதது ஆகும். இதனை ஆண்கள் மற்றும் மணிகளுடன் ஒப்பிட வேண்டும் 

படி 1: 

இங்கு, ஆண்கள் குறைவு என்பதால் நாள்கள் கூடுதல் ஆகும். ஆகவே, இது எதிர் மாறலில் உள்ளது.

∴ பெருக்கல் காரணியானது ஆகும்.

 படி 2: 

மேலும், மணிகள் கூடுதல் என்பதால் நாள்கள் குறைவு ஆகும். ஆகவே, இதுவும் எதிர் மாறலில் உள்ளது.

∴  பெருக்கல் காரணியானது ஆகும். 

படி 3:

∴  x = = 36 நாள்கள்.

சூத்திர முறை: 

இங்கு, P1 = 48, D1 = 24, H1 = 7 மற்றும் W1 = 1 (ஏன்?) P2 = 28, D2 = x, H2 = 8 மற்றும் W2 = 1 (ஏன்?)

என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், 

= 36 நாள்கள்.  

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் வினாக்களில் இடம் பெற்றுள்ள வெவ்வேறு மாறல்களைக் கண்டறிக.

1. 24 ஆண்கள் 12 நாள்களில் 48 பொருள்களை செய்வர் எனில், 6 ஆண்கள் 6 பொருள்களை 6 நாள்களில் செய்வர். 

2. 15 வேலையாள்கள் 4 கி.மீ நீளமுள்ள சாலையை 4 மணி நேரத்தில் அமைப்பர் எனில், 15 வேலையாள்கள் 8 கி.மீ நீளமுள்ள சாலையை 8 மணி நேரத்தில் அமைப்பர். 

3. நாளொன்றுக்கு 12 மணி நேரம் வேலை செய்து ஒரு வேலையை 25 பெண்கள் 36 நாட்களில் முடிப்பர் எனில், 20 பெண்கள் நாளொன்றுக்கு ………….. மணி நேரம் வேலை செய்து அதே வேலையை 30 நாள்களில் முடிப்பர். 

4. ஒரு முகாமில் 98 நபர்களுக்கு 45 நாள்களுக்கு போதுமான 420 கி.கி அரிசி உள்ளது எனில், 42 நபர்களுக்கு 60 கி.கி அரிசியானது …………. நாள்களுக்கு மட்டுமே போதுமானதாகும்.