தசம விரிவுகளைக் கொண்டு விகிதமுறா எண்களை அடையாளம் காணுதல் (Decimal Representation to Identify Irrational Numbers)

6. தசம விரிவுகளைக் கொண்டு விகிதமுறா எண்களை அடையாளம் காணுதல் (Decimal Representation to Identify Irrational Numbers)

விகிதமுறா எண்களைத் தசம வடிவில் எழுதும்போது அவை முடிவுறாமலும், சுழல் தன்மை இல்லாமலும் இருப்பதை நாம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, π இன் தசம விரிவானது 3.14159265358979... எனத் தொடங்கி, சுழல் தன்மையற்றதாகவும், π இன் மதிப்பைத் துல்லியமாகக் கூற முடியாததாகவும் உள்ளது.

கீழ்க்காணும் தசம விரிவுகளை எடுத்துக்கொள்வோம். 

(i) 0.1011001110001111...

(ii) 3.012012120121212... 

(iii) 12.230223300222333000... 

(iv) √2 = 1.4142135624...

மேற்காணும் தசம விரிவுகள் முடிவுறு தன்மையுடையதா அல்லது முடிவுறா மற்றும் சுழல் தன்மையுடையதா? இல்லை.... அவை முடிவுறவுமில்லை, முடிவுறா சுழல் தன்மை உடையனவுமில்லை . எனவே, அவை விகிதமுறு எண்கள் அல்ல. அவற்றை p/q, (p, q, ∈ ℤ மேலும் q≠0) வடிவில் எழுத இயலாது. அவை விகிதமுறா எண்களாகும்.

முடிவுறா மற்றும் சுழல் தன்மையற்ற தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும் எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் ஆகும்

எடுத்துக்காட்டு 2.8

√3 இன் தசம விரிவைக் காண்க.

தீர்வு

எனவே, நீள் வகுத்தல் முறைப்படி, √3 = 1.7320508... 

மேலும் முழு வர்க்கமற்ற மிகை எண்களின் வர்க்கமூலம் அனைத்தும் விகிதமுறா எண்கள் எனக் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. √2, √3, √5, √6, √7, ... அனைத்தும் விதிமுறா எண்களே.

√2 = 1.414, √3 = 1.732, π = 3.141, போன்றவற்றை அடிக்கடிப் பயன்படுத்துவோம். அவை தோராயமான மதிப்பே, துல்லியமான மதிப்பல்ல. π இன் மதிப்பை 22/7. என நாம் அடிக்கடி அதன் மதிப்பாகப் பயன்படுத்துகிறோம். உண்மையில் அவை தோராயமான மதிப்பேயாகும் ஏனெனில் விகிதமுறா எண்களின் தசம விரிவானது முடிவுறா மற்றும் சுழல் தன்மையற்றது. அவற்றுக்குத் துல்லியமான மதிப்பு இல்லை .

எடுத்துக்காட்டு 2.9

கீழுள்ளவற்றை விகிதமுறு அல்லது விகிதமுறா எண்களாக வகைப்படுத்துக. 

(i) √10 (ii) √49 (iii) 0.025 (iv) (v) 2.505500555... (vi) √2/2 

தீர்வு

(i) √10 ஒரு விகிதமுறா எண் (ஏனெனில் 10 ஒரு முழுவர்க்க எண் அல்ல). 

(ii) √49 = 7 = 7/1, ஒரு விகிதமுறு எண் (49 ஒரு முழு வர்க்க எண்).

(iii) 0.025 ஒரு விகிதமுறு எண் (இது ஒரு முடிவுறு தசம எண்).

(iv) = 0.7666.... ஒரு விகிதமுறு எண் (இது ஒரு முடிவுறாச் சுழல் தசம எண்).

(v) 2.505500555.... ஒரு விகிதமுறா எண் (இது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையற்ற தசம எண்)

(vi) ஒரு விகிதமுறா எண் (2 ஒரு முழு வர்க்க எண் அல்ல). 

எடுத்துக்காட்டு 2.10

0.12 மற்றும் 0.13 என்ற எண்களுக்கு இடையே எவையேனும் மூன்று விகிதமுறா எண்களைக் காண்க. 

தீர்வு

0.12, 0.13 என்ற எண்களுக்கு இடையே உள்ள 3 விகிதமுறா எண்கள் 0.12010010001.... , 0.12040040004...., 0.12070070007...

குறிப்பு:

 எடுத்துக்காட்டு 2.9, (vi) இல் உள்ள முடிவைத் தவறுதலாக p/q வடிவமாகக் கருதக்கூடாது. ஏனெனில் p மற்றும் q இரண்டும் முழுக்களாக இருக்க வேண்டுமேயொழிய விகிதமுறா எண்களாக இருக்கக்கூடாது.

குறிப்பு:

 நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய ஒரு முக்கிய முடிவினை (மெய்ப்பின்றி) நாம் காண்போம்.

‘a' ஒரு விகிதமுறு எண் மற்றும் √b ஒரு விகிதமுறா எண் எனில், கீழ்க்காணும் அனைத்தும் விகிதமுறா எண்களே:

(i) a + √b; (ii) a − √b; (iii) a√b; (iv) a/√b (v) √b/a

எடுத்துக்காட்டாக, விகிதமுறு எண் 4 மற்றும் விகிதமுறா எண் √5 ஐ எடுத்துக்கொண்டால் 4 +√5 , 4 − √5 , 4√5 , …… இவை எல்லாம் விகிதமுறா எண்களே.

எடுத்துக்காட்டு 2.11

0.5151151115, மற்றும் 0.5353353335.... என்ற எண்களுக்கு இடையே எவையேனும் இரு விகிதமுறு எண்களைக் காண்க. 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறா எண்களுக்கிடையே உள்ள இரு விகிதமுறு எண்கள் 0.5152 மற்றும் 0.5352 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.12

கீழ்க்கண்டவற்றுள் x மற்றும் y விகிதமுறு எண்களா அல்லது விகிதமுறா எண்களா எனக் காண்க.

(i) a = 2+√3 , b = 2 − √3 ; x = a + b, y = a − b 

(ii) a = √2+7, b = √2 − 7; x = a + b, y = a − b 

(iii) a = √75,  b = √3 ; x = ab, y = a/b 

(iv) a = √18 , b = √3; x = ab, y = a/b

தீர்வு

 (i) a = 2+√3, b = 2 − √3 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

 x = a + b = (2 + √3) + (2 − √3) = 4, ஒரு விகிதமுறு எண்.

 y = a − b = (2 + √3) − (2 − √3) = 2√3 ஒரு விகிதமுறா எண். 

(ii) a = √2 +7 , b = √2−7 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

 x = a + b = (√2 +7 ) +(√2−7) = 2√2 ஒரு விகிதமுறா எண்.

 y = a − b = (√2 +7 ) − (√2−7) = 14 ஒரு விகிதமுறு எண். 

(iii) a = √75, b = √3 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

 x = ab = √75 × √3 = √[75 × 3] = √[5×5×3×3] = 5×3=15 ஒரு விகிதமுறு எண்.

 y = a/b = √75 / √3 = √[75/3] = √25 = 5 ஒரு விகிதமுறு எண்.

(iv) a = √18, b = √3 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

 x = ab = √18×√3 = √[18×3] = √[6×3×3] = 3√6 ஒரு விகிதமுறா எண். 

 y = a/b = √18/√3 = √[18/3] = √6 ஒரு விகிதமுறா எண்.

குறிப்பு:

மேற்குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து இரு விகிதமுறா எண்களின் கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகியன ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவோ அல்லது விகிதமுறா எண்ணாகவோ இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.13

√9.3 ஐ எண் கோட்டில் குறிக்கவும்.

தீர்வு

• ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.

• AB = 9.3 செமீ எனக் கொண்டு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.

• BC = 1 செமீ என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை ‘C' எனக் குறிக்கவும்.

• AC−க்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப் புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.

• O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரை வட்டம் வரையவும்.

• AB−க்குச் செங்குத்தாக B இல் BD என்ற கோடு வரையவும்.

• இப்போது, BD = √9.3 இதை எண்கோட்டில் BE = BD = √9.3 எனக் குறிக்கலாம்.