விகிதமுறா எண்கள் (Irrational Numbers)

விகிதமுறா எண்கள் (Irrational Numbers)

எண் கோட்டில் ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணிற்கும் அதற்குரிய புள்ளி ஒன்று உள்ளது என்பதையும், விகிதமுறு எண்களின் அடர்த்திப் பண்பினைப் பற்றியும் நீங்கள் முன்பே அறிந்துள்ளீர்கள். எண் கோட்டில் உள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளும் விகிதமுறு எண்களால் நிரப்பப்பட்டுள்ளனவா? மற்றும் வேறு எவையேனும் எண்களுக்கான புள்ளிகள் உள்ளனவா என்பதை நாம் ஆராய்வோம்.

ஓர் அலகு அளவுகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட ஒர் இருசமப்பக்கச் செங்கோண முக்கோணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் கர்ணத்தின் நீளத்தை √[12 + 12] = √2 (படம் 2.6 ) எனக் காணலாம். கிரேக்கர்கள் √2 ஐ ஒரு முழு எண்ணுமல்ல, சாதாரணப் பின்னமும் அல்ல எனக் கண்டுபிடித்தனர். எண்கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளுக்கும் எண்களுக்குமான தொடர்பு பற்றிய நம்பிக்கை இதனால் தகர்ந்தது. √2 ஒரு விகிதமுறா எண் எனப்படும்.

இரு முழுக்களை விகிதமாக எழுத இயலாத எண்களே விகிதமுறா எண்கள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள், 

1. √2 ஐத் தவிர, அதைப்போன்ற எண்ணற்ற விகிதமுறா எண்களை உருவாக்கலாம். 

எடுத்துக்காட்டாக: √5 , √7,  2√3 ,... 

2. π என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும், அதன் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதம் ஆகும். இது விகிதமுறா எண்ணிற்கு மேலும் ஓர் எடுத்துக்காட்டாகும். 

3. e என்பது ஆய்லரின் எண் என அறியப்படும். இதுவும் விகிதமுறா எண்ணிற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டாகும். 

4. தங்க விகிதம் என்பது தங்க சராசரி அல்லது தங்கப் பிரிவு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. 

ஐங்கோணம், ஐங்கரம், தசம கோணம், பன்னிருமுகி போன்ற எளிய வடிவியல் தூரங்களின் விகிதங்களைக் கணக்கிடத் தடுமாறும்போது தங்க விகிதம் பயன்படுகிறது. இதுவும் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும்.

தங்க விகிதம் (1 : 1.6) 

தங்க விகிதம் என்பது கலை மற்றும் கட்டடக் கலையில் சிறந்த அற்புத விகிதமாகப் போற்றப்படுகிறது. 

(a + b) நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டினை இரு துண்டுகளாக (a மற்றும் b) பிரிக்கவும். அவ்வாறு பிரிக்கும்போது, (a + b)−க்கும் a−க்கும் இடையேயுள்ள விகிதம் a−க்கும் b−க்கும் இடையேயுள்ள விகிதத்திற்கு சமமாக இருத்தல் வேண்டும்.

a + b : a = a : b 

இதை விகிதச் சமமாகக் கூறலாம்.  (a+b) / a = a/b

இங்கு a என்பது a + b மற்றும் b இன் வடிவியல் சராசரி ஆகும்.

1. எண் கோட்டில் விகிதமுறா எண்கள் (Irrational Numbers on the Number Line)

விகிதமுறா எண்களுக்குரிய புள்ளிகள் எண் கோட்டில் எங்குள்ளன? 

எடுத்துக்காட்டாக, √2 ஐ எண் கோட்டில் குறிப்போம். இது எளிது.

√2 என்பது ஓரலகு நீளமுடைய பக்கங்களைக் கொண்ட சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் என்பதை நினைவில் கொள்க. (எப்படி?) இந்த அளவில் ஓர் எளிய சதுரத்தை வரைந்து அதன் மூலைவிட்டத்தை எண் கோட்டில் குறிக்கும் முறையைக் (படம் 2.7) காணலாம்.

எண் கோட்டில் 0 ஐ மையமாகவும், சதுரத்தின் மூலை விட்டத்தை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. அது எண் கோட்டை இரு புள்ளிகளில் வெட்டும். 0 விற்கு வலப்புறமாக √2 வையும் இடப்புறமாக −√2 வையும் வெட்டும் புள்ளிகளில் குறிப்பிடவும். (√2 ஐக் குறிக்கத் துவங்கி மேலும் −√2 ஐயும் குறித்தாகி விட்டது)

இயல் எண்ணில் துவங்கி விகிதமுறு எண்கள் வரை விரிவுபடுத்தி, விகிதமுறா எண்களையும் அறிந்துள்ளோம். இதற்கு மேலும் எண் கோட்டை விரிவுபடுத்தி, வேறு எண்களைக் காண முடியுமா? ஆம். அவற்றை உயர் வகுப்புகளில் கற்கலாம். விகிதமுறு எண்களை முடிவுறு மற்றும் முடிவுறாத் தசம வடிவங்களாகக் குறிப்பது விகிதமுறா எண்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கு உதவியாக இருக்கும். நாம் விகிதமுறு எண்களின் தசம வடிவத்தைக் காண்போம்.

2. விகிதமுறு எண்ணின் தசம வடிவம் (Decimal Representation of a Rational Number)

ஒரு விகிதமுறு எண்ணைப் பின்னமாக எழுதினால், அதன் தசம வடிவை நீள்வகுத்தல் முறையில் பெறலாம். கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டுகளில் எப்போதும் மீதி 0 வருவதைக் காணுங்கள்:

வரைப்படத் தாளில் சதுரங்களை வரைந்து தேவையான அளவில் விகிதமுறா எண்களை உருவாக்கலாம்.

சில எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு,

குறிப்பு

இவற்றில் வகுத்தல் செயலானது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தசம வடிவில் முடிவுறும். இவை முடிவுறு தசம எண்கள் எனப்படும்.

ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் தசம விரிவானது முடிவுறாமல் இருக்கலாமா? கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டுகள் (பூச்சியமற்ற மீதிகள்) இது தொடர்பான தெளிவை நமக்கு அளிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.2

பின்வருவனவற்றைத் தசமவடிவில் எழுதுக. (i) −4/11 (ii) 11/75

தீர்வு

குறிப்பு:

இவற்றில் தசம விரிவானது முடிவு பெறவில்லை. மீதி வரும் எண்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரும். இவ்வாறு முடிவுறாத ஆனால் சுழல் தன்மையுள்ள எண்கள் கிடைக்கின்றன.

எனவே, ஒரு விகிதமுறு எண்ணானது, 

(i) முடிவுறும் தசம விரிவாகவோ அல்லது 

(ii) முடிவுறாச் சுழல் தசம விரிவாகவோ இருக்கும்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையே. அதாவது, ஓர் எண்ணின் தசம விரிவானது முடிவுற்றோ அல்லது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையுடையதாகவோ இருந்தால் அவ்வெண் ஒரு விகிதமுறு எண் ஆகும். 

3. தசமங்களின் காலமுறைமை (Period of Decimal)

விகிதமுறு எண்களின் தசமவிரிவில் உள்ள சுழல் தன்மையுடைய இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையே அவ்விகிதமுறு எண்ணின் தசமங்களின் கால முறைமை ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டாக, 

(i)

இதன் கால முறைமை = 6

(ii) =

இதன் கால முறைமை = 2

எடுத்துக்காட்டு 2.3

 1/3 இன் சுழல் தசம விரிவைப் பயன்படுத்தி 1/27 என்ற விகிதமுறு எண்ணின் சுழல் தன்மையுள்ள தசம விரிவைக் காண்க. இதைப் பயன்படுத்தி 59/27 இன் சுழல் தசம விரிவைக் காண்க. 

தீர்வு

இயல் எண்களின் தலைகீழிகள் விகிதமுறு எண்களே. அவற்றின் தசம வடிவங்கள் ஆர்வமூட்டுபவை. அவற்றின் முதல் பத்து எண்களைக் காண்போம்.

4. முடிவுறு தசம எண்களை விகிதமுறு எண்களாக மாற்றுதல் (Conversion of Terminating Decimals into Rational Numbers)

முடிவுறு தசம எண்ணான 2.945ஐ விகிதமுறு எண்ணாகப் பின்ன வடிவத்தில் மாற்ற முயல்வோம்.

 (மேற்காணும் கணக்கில் நேரடியாக 2.945 = 2945/1000 என எழுத இயலுமா?)

எடுத்துக்காட்டு 2.4

கீழ்க்காணும் தசம எண்களை p/q (pமற்றும் q முழுக்களாகும் மற்றும் q ≠ 0) என்ற வடிவில் மாற்றுக:

(i) 0.35 (ii) 2.176 (iii) − 0.0028

தீர்வு 

5. முடிவுறாச் சுழல் தசம எண்ணை விகிதமுறு எண்களாக மாற்றுதல் (Conversion of Non−terminating and recurring decimals into Rational Numbers)

முடிவுறு தசம எண்ணைக் கையாளுவது எளிது. 2.4ஐப் போன்ற தசம எண் வரும்போது அதில் உள்ள தசமப் புள்ளியை நீக்க அந்த எண்ணை 10ஆல் வகுக்க வேண்டும். அதாவது, 2.4 = 24/10, இதைச் சுருக்கினால் 12/5 கிடைக்கும். ஆனால், அதே தசம எண் என இருந்தால், இங்கு எண்ணற்ற “4” வருவதால் பின்னத்தின் பகுதியில் எண்ணற்ற பூச்சியங்கள் வரும். 

எடுத்துக்காட்டாக,

எண்ணற்ற "4" களைக் கொண்டு இக்கணக்கைக் கையாளுவது கடினம். இவ்வாறு எண்ணற்ற முடிவுறாத் தொடர்கள் வருவதிலிருந்து எவ்வகையிலாவது நாம் விடுபட வேண்டும். இத்தொடரிலிருந்து ஒன்று, இரண்டு, மூன்று அல்லது நான்கு உறுப்புகளை நீக்கினாலும் அத்தொடரோ, அதன் மதிப்போ மாறாது. அதே முடிவுறாத் தொடராக அது அமையும்.

(இதை 10 ஆல் பெருக்கும்போது தசமப் புள்ளி ஓர் இலக்கம் வலப்பக்கம் நகர்ந்தாலும் இன்னமும் 4 என்ற எண் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் உள்ளது). 

(2) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க,

 x = 22/9, தேவையான மதிப்பு ஆகும். 

இதே முறையைப் பின்பற்றி எந்த ஒரு முடிவுறாச் சுழல் தசம விரிவையும் பின்னமாக மாற்றலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.5

கீழ்க்காணும் தசம எண்களை p/q (p,q ∈ Z மற்றும் q ≠ 0) வடிவில் மாற்றுக.

தீர்வு

(i) x = = 0.3333... என்க        (1)

(இங்கு கால முறைமை = 1 எனவே, (1) ஐ 10 ஆல் பெருக்குக)

10 x = 3.3333...              (2)

 (2) − (1):       9x = 3 அல்லது x = 1/3

(ii) x = = 2.124124124...                (1)

(இங்கு தசமங்களின் கால முறைமை 3 தசம புள்ளிக்கு அடுத்துள்ள மூன்று இலக்கங்களைக் குறிக்கும். எனவே (1) ஐ 1000−ஆல் பெருக்குக.)

1000 x = 2124.124124124...            (2)

(2) − (1): 999 x = 2122

x = 2122/999

(iii) x = = 0.45555...            (1)

(இங்கு (1) ஐ 10−ஆல் பெருக்குக.)

10 x = 4.5555...          (2)

(இங்கு தசமங்களின் கால முறைமை 1, எனவே (2) ஐ 10 ஆல் பெருக்குக.)

100 x = 45.5555...             (3)

(3) − (2): 90 x = 41 மற்றும் x = 41/90

(iv) x = = 0.5686868.....       (1)

(இங்கு (1) ஐ 10−ஆல் பெருக்குக.)

10 x = 5.686868....              (2)

(இங்கு தசமங்களின் கால முறைமை 2, எனவே (2) ஐ 100−ஆல் பெருக்குக.) 

1000 x = 568.686868...              (3)

(3) − (2): 990 x = 563 அல்ல து x = 563/990

குறிப்பு

(i) ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் தசம வடிவம் முடிவுறு தசம விரிவா அல்லது முடிவுறா தசம விரிவா என்பதைக் கீழ்க்காணும் விதியைப் பயன்படுத்தி அறியலாம். 

(ii) ஒரு விகிதமுறு எண் p/q, q≠0 ஐ என்ற வடிவில் எழுத இயலும், இங்கு p ∈ Z மற்றும் m, n ∈ W, எனில் கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறு எண் முடிவுறு தசம எண்ணாக இருக்கும். அவ்வடிவில் எழுத இயலவில்லை எனில் அது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையுடைய தசம விரிவாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6 

வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தாமல் கீழ்க்காணும் எண்களின் தசம விரிவு முடிவுறு அல்லது முடிவுறாச் சுழல் தன்மையுடையன என வகைப்படுத்துக:

(i) 13/64 (i) −71/125 (iii) 43/375 (iv) 31/400

தீர்வு

என்பது முடிவுறு தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்.

என்பது முடிவுறு தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்..

என்பது முடிவுறாச் சுழல் தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்.

என்பது முடிவுறு தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்...

எடுத்துக்காட்டு 2.7

சரிபார்க்க

தீர்வு

 x = = 0.99999...     (1)

(சமன்பாடு (1) ஐ 10 ஆல் பெருக்க)

10 x = 9.99999...          (2) 

(2) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்கவும்

9x = 9 அல்ல து x =1 

= 1

1 = 0.9999...

7 = 6.9999... 

3.7 = 3.6999....

இவ்வடிவத்திலிருந்து, எந்தவொரு முடிவுறு தசம விரிவையும் முடிவுறாத் தசம விரிவாக “9” களின் தொகுப்புகளாக எழுத இயலும் என்பதை அறியலாம்.