பொதுக்காரணிகள்

பொதுக்காரணிகள்

45 மற்றும் 60 ஆகிய எண்களைக் கருதுக. இந்த எண்களின் காரணிகளைக் காண வகுபடும் தன்மை விதிகள் நமக்குப் பயன்படும். 45 இன் காரணிகள் 1, 3, 5, 9, 15 மற்றும் 45 ஆகும். 60 இன் காரணிகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 மற்றும் 60 ஆகும். இங்கு, 45 மற்றும் 60 இன் பொதுக்காரணிகள் 1, 3, 5 மற்றும் 15 ஆகும்.

ஓர் எண்ணின் காரணிகளின் எண்ணிக்கை முடிவுறும் என்பதால் நாம் எண்களின் மீப்பெரு பொதுக் காரணி (மீ.பெ.கா) குறித்துச் சிந்திக்கலாம்.

1. மீப்பெரு பொதுக் காரணி (மீ.பெ.கா)

இந்தச் சூழல் குறித்துச் சிந்திக்க: 

சூழல் 1:

பவித்ரா தீபாவளியைக் கொண்டாடும் விதமாக, இனிப்புகள் மற்றும் காரங்களை, ஏழைக் குடும்பங்களுக்கு பகிர்ந்தளிக்க திட்டமிடுகிறாள். அவளின் அம்மா அவளிடம் 63 அதிரசங்களையும் மற்றும் 42 முறுக்குகளையும் வழங்குகிறார். ஒவ்வொரு குடும்பத்திற்கும் சம எண்ணிக்கையிலான அதிரசங்களையும் மற்றும் சம எண்ணிக்கையிலான முறுக்குகளையும் வழங்க வேண்டுமெனில், அதிகபட்சமாக, அவளால் எத்தனை குடும்பங்களுக்குப் பகிர்ந்தளிக்க இயலும்?

இச்சூழலைப் பவித்ரா, மீப்பெரு பொதுக் காரணியைக் (மீ.பெ.கா) கொண்டு தீர்ப்பதைப் பின்வரும் விளக்கத்தின் மூலம் காணலாம்.

விளக்கம் : 63 மற்றும் 42 ஆகியவற்றின் மீ.பெ.கா காண்க.

தீர்வு:

63 இன் பகாக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் 3 × 3 × 7 மற்றும் 42 இன் பகாக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் 2 × 3 × 7. 63 மற்றும் 42 இன் பொதுப் பகாக் காரணிகள் 3 மற்றும் 7 (படத்தில் காண்க) என்பதை நாம் காண்கிறோம். ஆகையால், இவற்றின் மீப்பெரு பொதுக் காரணி 3 × 7 = 21 ஆகும். எனவே, பவித்ரா ஒவ்வொரு குடும்பத்திற்கும் தலா 3 அதிரசங்கள் மற்றும் 2 முறுக்குகள் வீதம் அதிகபட்சமாக 21 குடும்பங்களுக்கு வழங்க இயலும். 

சூழல் 2:

8 அடி மற்றும் 12 அடி நீளமுள்ள இரு கம்பிகளை எடுத்துக்கொள்வோம். இவற்றை நாம் சம நீளமுள்ள துண்டுகளாக வெட்டினால், எத்தனை துண்டுகளை நாம் பெற முடியும் ? அவ்வாறு இரண்டு கம்பிகளை வெட்டினால் கிடைக்கும் துண்டின் அதிகபட்ச நீளம் யாது?

8 அடி நீளமுடைய கம்பியினை 1 அடி அல்லது 2 அடி அல்லது 4 அடி நீளம் கொண்ட கம்பிகளாக வெட்டலாம் (இவை 8 இன் காரணிகள் ஆகும்). 12 அடி நீளமுடைய கம்பியினை 1 அடி அல்லது 3 அடி அல்லது 4 அடி அல்லது 6 அடி நீளம் கொண்ட கம்பிகளாக வெட்டலாம் (இவை 12 இன் காரணிகள் ஆகும்). இதற்கான விளக்கத்தினைப் பின்வருமாறு பெறலாம்.

இரண்டு கம்பிகளையும் சம அளவில் வெட்டினால் கிடைக்கும் துண்டுகளின் நீளமானது 1 அடி, 2 அடி மற்றும் 4 அடி (இவை 8 மற்றும் 12 இன் பொதுக் காரணிகள்) ஆகும்.

ஆகவே, 4 அடி நீளம் கொண்ட துண்டானது 8 அடி மற்றும் 12 அடி நீளமுள்ள கம்பிகளைச் சமமான அளவுகளாக வெட்டும் மீப்பெரு துண்டாகும். அதாவது, 8 அடி மற்றும் 12 அடி நீளமுள்ள கம்பிகளின் மீ.பெ.கா என்பது 4 அடி துண்டாகும்.

ஆகவே, மீப்பெரு பொதுக்காரணி (மீ.பெ.கா) என்பது இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுக் காரணி ஆகும். x மற்றும் y இன் மீப்பெரு பொதுக்காரணியை மீ.பெ.கா (x, y) என எழுதலாம்.

குறிப்பு

• மீப்பெரு பொதுக் காரணியை மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பெ.வ) எனவும் கூறலாம்.

•  மீ.பெ. கா ( 1, x ) = 1

• y என்பது x இன் மடங்கு எனில், மீ.பெ.கா (x, y) = x. எடுத்துக்காட்டாக, மீ.பெ.கா (3,6) = 3 

• இரண்டு எண்களுக்கான மீப்பெரு பொதுக்காரணி (மீ.பெ.கா) 1 எனில், அவ்வெண்கள் சார்பகா எண்கள் அல்லது இணைப்பகா எண்கள் எனப்படும். சார்பகா எண்களில் இரண்டு எண்களும் பகா எண்களாகவோ (5 மற்றும் 7) இரண்டு எண்களும் பகு எண்களாகவோ (14 மற்றும் 27) அல்லது ஓர் எண் பகா எண் மற்றோர் எண் பகு எண்ணாகவோ (11 மற்றும் 12) இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3: வகுத்தல் முறையில் 40 மற்றும் 56 ஆகிய எண்களுக்கு மீ.பெ.கா. காண்க.

தீர்வு: 

40 மற்றும் 56 ஆகிய எண்களின் பொதுக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் = 2 × 2 × 2 = 8

ஆகவே, மீ.பெ.கா (40, 56) = 8.

(அல்லது)

பொதுக்காரணி 2–ஐக் கொண்டு வகுத்தால் (3 படிகளில்) மீ.பெ.கா = பொதுக்காரணிகளின் பெருக்கற்பலன்

= 2 × 2 × 2 = 8.

எடுத்துக்காட்டு 4: 18, 24 மற்றும் 30 ஆகிய எண்களின் மீ.பெ.கா காண்க.

தீர்வு: