பொது மடங்குகள்

பொது மடங்குகள்

நாம் இப்போது 5 மற்றும் 7 ஆகிய எண்களின் பொது மடங்குகளை எழுதுவோம்.

5 இன் மடங்குகள் 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ... ஆகும்.

7 இன் மடங்குகள் 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ... ஆகும்.

இங்கு, 5 மற்றும் 7 ஆகிய எண்களின் பொது மடங்குகள் 35, 70, ... என மேலும் முடிவில்லாமல் செல்லும்.

ஓர் எண்ணின் மடங்குகளின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாமல் தொடர்வதால், நாம் எண்களின் மிகச்சிறிய பொது மடங்கைக் குறித்துச் சிந்திக்கலாம்.

1.  மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.சி.ம)

பின்வரும் சூழல் குறித்துச் சிந்திக்க:

சூழல் 1 : 4 மற்றும் 5 இன் பெருக்கல் வாய்ப்பாடுகளைப் (10 வரை) பின்வருமாறு எழுதுக:

பெருக்கல் வாய்ப்பாடுகளை உற்றுநோக்கி, 4 மற்றும் 5 இன் எந்தெந்த மடங்குகள் (எண்களின் பெருக்கற்பலன்) சமமாக உள்ளன? என உன்னால் காண முடிகிறதா ? முடியும் எனில், அவை யாவை? ஆம். அவை 20, 40, ............ போன்றவையாகும். 4 மற்றும் 5 இன் மடங்குகளிலிருந்து நாம் 20–ஐ 4 மற்றும் 5 இன் மீச்சிறு பொது மடங்கு என எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

சூழல் 2:

அனு தனது தங்கையின் பிறந்தநாள் விழாவில் வழங்குவதற்காகக் கேழ்வரகு இலட்டுகளையும் தட்டை முறுக்குகளையும் வாங்க விரும்புகிறாள். கேழ்வரகு இலட்டுகள் ஒரு பொட்டலத்திற்கு 4 வீதமும், தட்டை முறுக்குகள் ஒரு பொட்டலத்திற்கு 6 வீதமும் கிடைக்கும். விழாவில் சம எண்ணிக்கையில் கேழ்வரகு இலட்டுகளும், தட்டை முறுக்குகளும் இருக்குமாறு அனு இவற்றை வாங்க வேண்டும் எனில், இந்தச் சூழலை அனு எவ்வாறு அணுகுவாள்?

இந்தச் சூழலை அனு மீச்சிறு பொது மடங்குக் கருத்தின் மூலம் அணுகினாள். இங்கு 4 இன் மடங்குகள் 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... எனச் செல்லும் மற்றும் 6 இன் மடங்குகள் 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... எனச் செல்லும். இங்கு நாம், 12, 24, … போன்ற எண்களைப் பொது மடங்குகளாகக் காண்கிறோம். அவற்றுள் மீச்சிறு பொது மடங்கு 12 ஆகும். ஆகவே, அனு குறைந்தபட்சம் 3 கேழ்வரகு இலட்டு பொட்டலங்களையும் 2 தட்டை முறுக்குப் பொட்டலங்களையும் வாங்கினால், சம எண்ணிக்கையிலான 12 கேழ்வரகு இலட்டுகளையும், 12 தட்டை முறுக்குகளையும் விழாவில் வழங்கலாம்.

சூழல் 3: 

4 அலகுகள் மற்றும் 5 அலகுகள் நீளமுடைய சிவப்பு மற்றும் நீல வண்ணப் பாய்களைப் பின்வருமாறு கருதுவோம்.

4 அலகுகள் நீளம் கொண்ட ஐந்து சிவப்பு வண்ணப் பாய்களைப் பின்வருமாறு அமைக்கலாம். அதன் மொத்த நீளம் 5 × 4 = 20 அலகுகள் ஆகும்.

5 அலகுகள் நீளம் கொண்ட நான்கு நீல வண்ணப் பாய்களைப் பின்வருமாறு அமைக்கலாம். அதன் மொத்த நீளமும் 4 × 5 = 20 அலகுகள் ஆகும்.

மேற்படி, 5 அலகுகள் நீளமுள்ள நான்கு பாய்களானது, 4 அலகுகள் நீளமுள்ள ஐந்து பாய்களைச் சமப்படுத்த இயலும். ஆகவே, இரு அளவு பாய்களுக்கிடையே உருவாகும் பொதுவான மீச்சிறு பொது மடங்கு 4 × 5 = 20 ஆகும்

பூச்சியமற்ற இரு முழு எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பது அவ்விரு எண்களின் மிகச் சிறிய பொது மடங்காகும். x மற்றும் y ஆகிய எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கினை மீ.சி.ம (x,y) என எழுதலாம்.

கீழ்க்காணும் முறைகளைக் கொண்டு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கைக் கண்டறியலாம்.

1. வகுத்தல் முறை 

2. பகாக் காரணிப்படுத்துதல் முறை

எடுத்துக்காட்டு 5: 156 மற்றும் 124 ஆகிய எண்களின் மீ.சி.ம காண்க.

தீர்வு : வகுத்தல் முறை

படி 1 : சிறிய பகாக் காரணியில் தொடங்கி, பிற எண்களால் வகுத்துக்கொண்டே செல்வதைப் பின்வருமாறு காணலாம்:

மீ.சி.ம = பகாக் காரணிகள் பெருக்கற்பலன் = 2 × 2 × 3 × 13 × 31 = 4836.

156 மற்றும் 124 இன் மீ.சி.ம 4836.

பகாக் காரணிப்படுத்துதல் முறை

படி 1: 156 மற்றும் 124 இன் பகாக் காரணிகளை எழுதுவோம் (வகுபடும் தன்மை விதிகளைப் பயன்படுத்தலாம்!)

156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13

124 = 2 × 62 = 2 × 2 × 31

படி 2 : இரு எண்களிலும் இடம்பெறும் பொதுக்காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் 2 × 2 மற்றும் பொதுவாக அமையாத காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் 3 × 13 × 31

படி 3 : ஆகவே, மீ.சி.ம = பொதுக்காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் × பொதுவாக அமையாத காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் = (2 × 2) × (3 × 13 × 31) = 4 × 1209 = 4836.

எனவே, 156 மற்றும் 124 இன் மீ.சி.ம 4836 ஆகும் (அல்லது)

156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13

124 = 2 × 62 = 2 × 2 × 31

இதில், 156 மற்றும் 124 இன் பகாக் காரணிப்படுத்துதலில் 2 ஆனது இரு எண்களிலும் அதிகபட்சம் இரு முறையும், 156 இல் பகாக் காரணிகளான 3 மற்றும் 13 ஆனது தலா ஒரு முறையும், 124 இல் பகா காரணியான 31 ஒரு முறையும் இடம் பெற்றுள்ளன. ஆகவே, தேவையான மீ.சி.ம = 2 × 2 × 3 × 13 × 31 = 4836 ஆகும்.