பகா மற்றும் பகு எண்கள்

பகா மற்றும் பகு எண்கள்

இந்தச் சூழல் குறித்துச் சிந்திக்க:

ஆசிரியர், அன்புச்செல்வனிடம் 5 பொத்தான்களையும் கயல்விழியிடம் 6 பொத்தான்களையும் வழங்கி, அவர்களால் முடிந்த வழிகளில், ஒவ்வொரு வரிசையிலும் சம எண்ணிக்கையிலான பொத்தான்கள் இருக்குமாறு அமைக்கக் கூறுகிறார். கீழே காட்டியுள்ளவாறு வெவ்வேறு வழிகளில் இருவரும் பொத்தான்களை அமைக்கின்றனர்.

அன்புச்செல்வன் அமைத்த முறை

ஒரு வரிசையில் 5 பொத்தான்களை அமைத்தால், அவன் 1 வரிசைகளைப் பெறுகிறான்.

1×5=5

ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 1 பொத்தான் அமைத்தால் அவன் 5 வரிசைகளைப் பெறுகிறான்.

5×1=5

5 பொத்தான்களைக் கொண்டு 2 வழிகளில் (செவ்வகங்களாக) மட்டுமே அமைக்க முடியும் என அவன் உணர்கிறான். ஆகவே, 5 இன் காரணிகள் 1 மற்றும் 5 மட்டுமே (வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கவனிக்க).

கயல்விழி அமைத்த முறை

 6 பொத்தான்களைக் கொண்டு 4 வழிகளில் (செவ்வகங்களாக) அமைக்கலாம் என அவள் உணர்கிறாள். ஆகவே, 6 இன் காரணிகள் 1,2,3 மற்றும் 6 ஆகும் (வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கவனிக்க).

இப்போது, பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும் :

● 2 பொத்தான்கள், 3 பொத்தான்கள், 4 பொத்தான்கள் … … என 10 பொத்தான்கள் வரை எத்தனை வெவ்வேறு வழிகளில் செவ்வகங்களை (மேற்கண்டவாறு) அமைக்கலாம்?

அட்டவணையை நிறைவு செய்க:

அட்டவணையிலிருந்து, நாம் அறிவது,

• 1ஐ விட அதிகமான ஓர் இயல் எண்ணானது, 1 மற்றும் அதே எண்ணை மட்டுமே காரணிகளாகப் பெற்றிருப்பின், அந்த எண் பகா எண் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 2 (1 × 2) ஒரு பகா எண்ணாகும். அவ்வாறே 13 (1×13) ஒரு பகா எண்ணாகும்.

• ஓர் இயல் எண்ணானது இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட காரணிகளைப் பெற்றிருப்பின், அந்த எண் பகு எண் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 15 (1×3×5) ஒரு பகு எண்ணாகும்.

அவ்வாறே 70 (1×2× 5×7) ஒரு பகு எண்ணாகும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஓர் எண்ணின், அந்த எண்ணைத் தவிர்த்த மற்ற காரணிகளின் கூடுதலானது, அதே எண்ணைத் தரும் எனில், அது 'செவ்விய எண்' அல்லது 'நிறைவு எண்' எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 6 ஆனது ஒரு 'செவ்விய எண்' ஆகும். ஏனெனில், அதன் காரணிகள் 1, 2 மற்றும் 3 (6 ஐ தவிர்த்து) ஆகிய எண்களின் கூடுதலானது 1+2+3=6 என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண் ஆகும். 28, 54 மற்றும் 496 ஆகிய எண்கள் செவ்விய எண்களா? என ஆராய்க.

செயல்பாடு

(i) அக்டோபர் மாத நாள்காட்டியில் உள்ள நாள்களுள் பகா மற்றும் பகு எண்களைப் பட்டியலிடுக.

(ii) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயல் எண்களின் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி சில பகு எண்களை உருவாக்குக.

(iii) பின்வரும் எண்களைப் பகா அல்லது பகு எண்கள் என வகைப்படுத்துக. 34, 57, 71, 93, 101, 111, 291

1. எரடோஸ்தனிஸ் சல்லடை முறையின் மூலம் பகா எண்களைக் கண்டறிதல் 

எரடோஸ்தனிஸ் சல்லடை என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண் வரையில் உள்ள பகா எண்களைக் கண்டறிய உதவும் ஓர் எளிய நீக்கல் முறை ஆகும். இந்த முறையைக் கிரேக்க நாட்டின் அலெக்சாண்டிரியாவைச் சார்ந்த கணிதவியலாளர் எரடோஸ்தனிஸ் என்பவர் கண்டறிந்தார். இதில் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள சில எளிய படிநிலைகளைக் கொண்டு, நாம் பகா எண்களைக் கண்டறியலாம்.

படி 1: 10 நிரைகள் மற்றும் 10 நிரல்களை உருவாக்குக. மேலும், ஒவ்வொரு நிரையிலும் 1 முதல் 10 வரை, 11 முதல் 20 வரை,........... 91 முதல் 100 வரை என 10 எண்களை எழுதுக.

படி 2: 1 என்ற எண்ணானது பகா எண்ணும் அல்ல பகு எண்ணும் அல்ல (ஏன்?). ஆகவே, 1–ஐத் தவிர்த்து, அடுத்த சிறிய பகா எண்ணான 2–ஐக் கொண்டு தொடங்குக. 2–ஐ வண்ண வட்டமிடுக. கட்டத்திலுள்ள அதன் மடங்குகளை அடித்து விடவும்.

படி 3: இப்போது, அடுத்த பகா எண் 3–ஐ எடுத்துக்கொள்ளவும். 3–ஐ வண்ண வட்டமிட்டுக் கட்டத்திலுள்ள அதன் எல்லா மடங்குகளையும் அடித்து விடவும்.

படி 4 : முன்பே 4 அடிக்கப்பட்டுவிட்டதால், அடுத்த பகா எண்ணான 5–ஐ எடுக்கவும். 5–ஐத் தவிர்த்து அதன் எல்லா மடங்குகளையும் அடித்து விடவும்.

படி 5: பகா எண்களான 7 மற்றும் 11 ஆகிய எண்களுக்கு இவ்வாறே செய்து நிறுத்தவும்!

(ஏன்? சிந்திக்க!)

மேற்காணும் படிகளைக் கொண்டு முழுமையாக்கப்பட்ட பின்வரும் கட்டத்தில் 100 வரையிலான பகா எண்களைக் காணலாம்.

எரடோஸ்தனிஸ் சல்லடை

எரடோஸ்தனிஸின் சல்லடை முறையிலிருந்து, பின்வருவனவற்றைப் பெறலாம்.

• அடிக்கப்பட்ட எண்கள் அனைத்தும் பகு எண்கள். வண்ண வட்டமிடப்பட்ட எண்கள் அனைத்தும் பகா எண்கள். மேலும், 100 வரையிலான எண் தொகுதியில் மொத்தம் 25 பகா எண்கள் உள்ளன.

• 5 இல் முடியும் ஒரே பகா எண் 5 ஆகும்.

2. ஓர் எண்ணைப் பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதுதல்

மூன்றை விடப் பெரிய எந்தவோர் எண்ணையும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதலாம். இதற்கான விளக்கத்தைக் கீழ்க்காணும் எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1:

42 மற்றும் 100 ஆகிய எண்களை அடுத்தடுத்த இரு பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதுக.

தீர்வு : 42 = 19 + 23

100 = 47 + 53

எடுத்துக்காட்டு 2 :

31 மற்றும் 55 ஆகிய எண்களை எவையேனும் மூன்று ஒற்றைப் பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதுக. 

தீர்வு : 31 = 5 + 7 + 19 (வேறு வழி எவையேனும் இருப்பின் அவற்றையும் கண்டறியவும்!)

55 = 3 + 23 + 29

இவற்றை முயல்க

(i) 68 மற்றும் 128 ஆகிய எண்களை அடுத்தடுத்த இரு பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதவும்.

விடை : 

68 = 31 + 37

128 = 61 + 67

(ii) 79 மற்றும் 104 ஆகிய எண்களை எவையேனும் மூன்று பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுதுக.

விடை : 

79 = 37 + 31 + 11

79 = 41 + 31 + 7

79 = 61 + 11 + 7

79 = 59 + 13 + 7

79 = 53 + 19 + 7  மற்றும் பல. 

104 ஐ மூன்று ஒற்றைப் பகா எண்களின் கூடுதலாக எழுத இயலாது. 

ஏனெனில் இரு ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் = இரட்டை எண் 

ஒரு இரட்டை எண் + ஒரு ஒற்றை எண் = ஒற்றை எண் 

ஆனால் 104 = 61 + 41 + 2

104 = 97 + 5 + 2

104 = 89 + 13 + 2 மற்றும் பல

3. இரட்டைப் பகா எண்கள்

ஒரு சோடி பகா எண்களின் வேறுபாடு 2 எனில், அது 'இரட்டைப் பகா எண்கள்' எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக (5, 7) என்பது இரட்டைப் பகா எண்கள் ஆகும். அவ்வாறே (17, 19) என்பதும் இரட்டைப் பகா எண்கள் ஆகும்.

மேலும் ஒரு சில 'இரட்டைப் பகா' சோடிகளைக் காணவும்!

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

மூன்று தொடர்ச்சியான பகா எண்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 2 எனில், அந்தப் பகா எண்கள் ஒரு பகா மூன்றன் தொகுதியை அமைக்கும். அவ்வாறு அமையும் ஒரே பகா மூன்றன் தொகுதியானது (3, 5, 7) ஆகும்.