எண்களின் வகுபடும் தன்மைக்கான விதிகள்

எண்களின் வகுபடும் தன்மைக்கான விதிகள்

உன்னிடம் 126/216 என்ற ஒரு பின்னத்தைச் சுருக்குமாறு கேட்கப்பட்டது என்று வைத்துக் கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் சற்றே பெரியவை என்பதால், சுருக்குவது என்பது எளிதல்ல. இங்கு, இந்த எண்கள் 2 மற்றும் 9 ஆல் மட்டுமே மீதியின்றி வகுபடும் என்றல்லாமல் வேறு சில எண்களாலும் வகுபடும் என்பதைக் கவனிக்க! 126 மற்றும் 216 இன் காரணிகள் 2 மற்றும் 9 ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டறிய இயலும்? அவ்வாறான காரணிகளைக் கண்டறிவதற்கான கணித மனத்திறனை மேம்படுத்த வகுபடும் தன்மை விதிகள் பயன்படுகின்றன. நமது கணித மனத்திறனை மேம்படுத்தவும், அவ்வாறான காரணிகளைக் காணவும் 'வகுபடும் தன்மை விதிகள்' பயன்படுகின்றன. இவற்றைப் பற்றி இந்தப் பகுதியில் காண்போம்.

பொதுவாக, வகுபடும் தன்மை விதிகள் ஓர் எண்ணைப் பகாக் காரணிகளாகப் பிரித்தெழுத பயன்படுகின்றன. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பெரிய எண்ணானது 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 அல்லது 11 (மேலும் பல எண்களால்) சரியாக வகுபடுமா என்பதை ஆராய்வதுடன் அந்த எண்ணில் உள்ள இலக்கங்களுக்குச் சில அடிப்படைச் செயல்களைச் செய்தும், வழக்கமான வகுத்தல் அல்லாமல் எளிமையாக காண்பதும் தேவையானவை ஆகும். பின்வரும் எளிமையான விதிகளை நினைவில் கொள்வோம்! 2, 3 மற்றும் 5 ஆல் வகுபடுதல் என்பது பகாக் காரணிப்படுத்தலில் மிக முக்கியமாகும். எனவே, அவற்றின் விதிகளை முதலில் இங்குக் காண்போம்.

2 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் 2, 4, 6, 8 மற்றும் 0 ஆகிய எண்களில் ஏதேனும் ஓர் எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண் 2 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(i) 456368 என்ற எண் 2 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில், அதன் ஒன்றாம் இலக்கமான 8 ஆனது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும்.

(ii) 1234567 என்ற எண் 2 ஆல் வகுபடாது. ஏனெனில், அதன் ஒன்றாம் இலக்கமான 7 ஆனது ஓர் இரட்டை எண் அன்று.

3 ஆல் வகுபடும் தன்மை

3 ஆல் வகுபடும் தன்மை என்பது சுவாரஸ்யமானது! 96 ஆனது 3 ஆல் வகுபடுமா என்பதை நாம் ஆராயலாம். இங்கு, அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 + 6 = 15 என்பது 3 ஆல் வகுபடும், மேலும் 1 + 5 = 6 என்பதும் 3 ஆல் வகுபடும். இது மீண்டும் மீண்டும் செய்கிற கூட்டல் எனப்படும். ஆகவே, ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 3 ஆல் வகுபடும் எனில், அந்த எண் 3ஆல் வகுபடும். 

எடுத்துக்காட்டுகள்:

(i) 654321 என்ற எண்ணானது 3 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில், இங்கு இலக்கங்களின் கூடுதல் 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. மேலும் 2  + 1 = 3 என்பது 3ஆல் வகுபடும். ஆகவே, 654321 என்ற எண்ணானது 3 ஆல் வகுபடும்.

(ii) எவையேனும் 3 அடுத்தடுத்த எண்களின் கூடுதலானது 3 ஆல் வகுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, (33 + 34 + 35 = 102 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்).

(iii) 107 என்ற எண்ணானது 3 ஆல் வகுபடாது. ஏனெனில், 1 + 0 + 7 = 8 என்பது 3 ஆல் வகுபடாது.

5 ஆல் வகுபடும் தன்மை

5 இன் மடங்குகளைக் கவனிக்க. அவை 5, 10, 15, 20, 25....... ......... 95, 100, 105.... எனச் சென்று கொண்டே இருக்கும். இதிலிருந்து 5 இன் மடங்குகளில் ஒன்றாம் இலக்கமானது 0 அல்லது 5 ஆக இருப்பது தெளிவாகிறது. ஆகவே,

ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தில் 0 அல்லது 5 என்று இருந்தால் அந்த எண் 5 ஆல் வகுபடும். 

எடுத்துக்காட்டுகள்: 5225 மற்றும் 280 ஆகியன 5 ஆல் வகுபடும்.

இவற்றை முயல்க

(i) லீப் ஆண்டுகள் 2 ஆல் வகுபடுமா?

விடை : லீப் ஆண்டுகள் 4 ஆல் வகுபடும். லீப் ஆண்டுகள் 2 ஆல் வகுபடும்

(ii) முதல் 4 இலக்க எண்ணானது 3 ஆல் வகுபடுமா?

விடை : முதல் 4 இலக்க எண் = 1000

1000 இன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1 + 0 + 0 + 0 = 1, மூன்றால் வகுபடாது.

ஃ. 1000 ஆனது 3 ஆல் வகுபடாது

(iii) உன்னுடைய பிறந்தநாள் (DDMMYYYY) 3 ஆல் வகுபடுமா?

விடை: 

பிறந்த நாள் 08.01.2022.

இலக்கங்கங்களின் கூடுதல் = 0 + 8 + 0 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 15, ஆனது 3 ஆல் வகுபடும்.

ஃ பிறந்த நாள் 3 ஆல் வகுபடும்.

(iv) அடுத்தடுத்த 5 எண்களின் கூடுதலானது 5 ஆல் வகுபடுமா என ஆராய்க.

விடை: 

அடுத்தடுத்துள்ள 5 எண்களின் கூடுதல் 

(அ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

(ஆ) 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 

(இ) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.......

15, 20, 25 ஆகியன 5 ஆல் வகுபடும். ஃ அடுத்தடுத்துள்ள 5 எண்களின் கூடுதல் 5 ஆல் வகுபடும்.

(v) 2000, 2006, 2010, 2015, 2019, 2025 என்ற எண் தொடர்வரிசையில் 2 மற்றும் 5 ஆல் வகுபடும் எண்களை அடையாளம் காண்க.

விடை:

(அ) ஒன்றாம் இலக்க எண் 0, 6 உடைய எண்களான 2000, 2006, 2010 என்பன 2 ஆல் வகுபடும். 

(ஆ) ஒன்றாம் இலக்க எண் 0, 5 உடைய 2000, 2010, 2015, 2025 ஆகிய எண்கள் 5 ஆல் வகுபடும்.

4 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபடும் எனில், அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.

குறிப்பாகக் கடைசி இரு இலக்கங்கள் பூச்சியங்களாக இருந்தாலும் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்: 71628, 492, 2900 ஆகிய எண்கள் 4 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில், 28 மற்றும் 92 ஆகியன 4 ஆல் வகுபடும். மேலும் 2900 என்ற எண்ணின் கடைசி இரு இலக்கங்கள் பூச்சியம் ஆதலால், அது 4 ஆல் வகுபடும்.

6 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணானது 2 மற்றும் 3 ஆல் வகுபடும் எனில், அந்த எண் 6 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்: 138, 3246, 6552 மற்றும் 65784 ஆகியன 6 ஆல் வகுபடும்.

குறிப்பு

7 ஆல் வகுபடுந்தன்மைக்கு ஒரு விதி இருந்தாலும் கூட, அது சற்றுக் கூடுதல் காலம் எடுத்துக் கொள்ளும் என்பதால் வழக்கமாக 7 ஆல் வகுப்பது எளிதாக இருக்கும்.

8 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணின் கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் 8 ஆல் வகுபடும் எனில், அந்த எண் 8 ஆல் வகுபடும். குறிப்பாகக் கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் பூச்சியமாக இருந்தாலும் அந்த எண் 8 ஆல் வகுபடும். 

எடுத்துக்காட்டுகள் : 2992 என்ற எண் 8 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில் 992 ஆனது 8 ஆல் வகுபடும். 3000 என்ற எண் 8 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில், 3000 இல் கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் பூச்சியங்கள் ஆகும்.

9 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 ஆல் வகுபடும் எனில், அந்த எண் 9 ஆல் வகுபடும். 

எடுத்துக்காட்டு: 9567 என்ற எண் 9 ஆல் வகுபடும். ஏனெனில், 9 + 5 + 6 + 7 = 27 ஆனது 9 ஆல் வகுபடும். குறிப்பாக, 9 ஆல் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் 3 ஆல் வகுபடும்.

10 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கம் பூச்சியம் எனில், அந்த எண் 10 ஆல் வகுபடும். 10 ஆல் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் 5 ஆல் வகுபடும் என்பதைக் கவனிக்க.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. 2020 என்ற எண் 10 ஆல் வகுபடும். (2020 ÷ 10 = 202) ஆனால், 2021 என்ற எண் 10 ஆல் வகுபடாது.

2. 26011950 என்ற எண் 10 ஆல் வகுபடும். மேலும் அது 5 ஆல் வகுபடும்.

11 ஆல் வகுபடும் தன்மை

ஓர் எண் 11 ஆல் வகுபட, அவ்வெண்ணின், ஒன்றுவிட்ட இலக்கங்களின் கூடுதல்களின் வேறுபாடு 0 ஆகவோ அல்லது 11 ஆல் வகுபடுவதாகவோ இருந்தால் அந்த எண் 11 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு : இங்கு 256795 என்ற எண்ணில், ஒன்றுவிட்ட இலக்கங்களின் கூடுதலுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு = (5+7+5) – (9+6+2) = 17–17 = 0. ஆகவே, 256795 ஆனது 11 ஆல் வகுபடும்.

செயல்பாடு

ஆசிரியர் மாணவர்களிடம் சில எண்களைக் கொடுத்து அவை வகுபடும் தன்மை விதிகள் மூலம் 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 மற்றும் 11 ஆகிய எண்களால் வகுபடுமா எனக் கேட்கலாம். வகுபடும் எனில், அவர்கள் 'ஆம்' என எழுத வேண்டும். இல்லையெனில், 'இல்லை' என எழுத வேண்டும்.(முதல் கணக்கு உங்களுக்காகச் செய்யப்பட்டுள்ளது!)