உட்படு சார்புகளை வகையிடல் (Implicit Differentiation)

உட்படு சார்புகளை வகையிடல் (Implicit Differentiation)

ஒரு சார்பின் சார்ந்த மாறியின் மூலம் வெளிப்படையாகத் தரப்பட்டு y = ƒ(x) என்ற வடிவில் இருந்தால் அதனை வெளிப்படு சார்பு (explicit function) எனக் கூறலாம். எடுத்துக்காட்டாக y = ½ x3 -1  என்பது ஒரு வெளிப்படு சார்பாகும். அதே சமயம் அதற்குச் சமானமான சமன்பாடாக 2y – x3 + 2 = 0 என்று x, y ஆகிய மாறிகளை உட்படுத்தி வரையறை செய்தால் அதனை உட்படு சார்பு எனலாம் அல்லது y ஆனது x—ஆல் ஆன உட்படு சார்பு எனலாம்.

x2 + y2 = 4   .... (1)

என்ற சமன்பாடு ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் ஆரம் 2 ஆகவும் உடைய ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கிறது என்பதை அறிவோம். சமன்பாடு (1) சார்பு அல்ல. ஏனெனில் -2 < x < 2 என்ற இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு x மதிப்பிற்கும் y-க்கு இருமதிப்புகள் இருக்கும். அவை

இரு மதிப்புகள் இருக்கும். (1)-ல் குறிப்பிட்டுள்ள வட்டத்தின் மேல் பாதியை (2)-ம், கீழ்ப்பாதியை (3)-ம் குறிக்கின்றது. வட்டத்தின் மேல்பாதியை அல்லது கீழ்ப்பாதியைச் சார்பாகக் கருதலாம். எனவே, -2 ≤ x ≤ 2 என்ற இடைவெளியில் சமன்பாடு (1)-ஆனது குறைந்தது இரு உட்படு சார்புகளை கொடுக்கிறது.

-2 ≤ x ≤ 2  இடைவெளியில் முற்றொருமையாகிறது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

பொதுவாக, ஏதோ ஒரு இடைவெளியில் F (x,y) = 0 என்ற சமன்பாடு f சார்பினை ஒரு உட்படு சார்பாக வரையறை செய்தால் F(x, f(x))=0 ஆனது அந்த இடைவெளியில் முற்றொருமையாக அமையும். f என்ற சார்பின் வரைபடம் F(x,y) = 0 சமன்பாட்டின் வரைபடத்தின் ஒரு பகுதியை அல்லது அனைத்தையும் குறிக்கின்றது.

x4 + x2 y3 – y5 = 2x + 1 போன்றமிகச்சிக்கலான சமன்பாடு x -அச்சில் குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்

உட்படு சார்புகளைத் தீர்மானிக்கும். மேலும் y-ஐ x-ஆல் ஆன கோவையில் எழுத இயலாமல்  இருக்கலாம். எனினும், சில சமயங்களில் dy/dx -ஐ காண பயன்படுத்தும் முறையினை உட்படு வகையிடல் எனலாம். இம்முறையின்படி சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வகையிடல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி x -ஐ பொறுத்து வகைக்கெழு கண்டு dy/dx பெறலாம். சமன்பாட்டில் தீர்மானிக்கப்படும் y ஒரு வகைமைச் சார்பாக அமையும்போது சார்பின் சார்புகளுக்கான இணைப்பு விதியினைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்காணுமாறு காணலாம்.

(d/dx) yn = nyn-1(dy/dx)

இங்கு n ஒரு முழு எண்ணாகும்.