நேர்க்கோட்டியக்கத்தில் திசைவேகம் (Velocity of Rectilinear motion) - வகையிடுதலின் கருத்தாக்கம் (The concept of derivative)

நேர்க்கோட்டியக்கத்தில் திசைவேகம் (Velocity of Rectilinear motion)

ஆதியிலிருந்து ‘t’ நேரத்தில் ஒரு பொருளின் நகர்வு (இயக்கப்பட்ட தூரம்) s என்க. s = ƒ(t) எனும் இயக்கச் சமன்பாட்டின்படி அப்பொருள் நேர்க்கோட்டில் நகர்வதாகக்கொள்வோம். இங்கு இயக்கத்தை விவரிக்கும் ‘ƒ' எனும் சார்புப் பொருளின் 'நிலைச்சார்பு' (position function) என அழைக்கப்படுகிறது. t = t0-லிருந்து t = t0 + ∆t எனும் நேர இடைவெளியில் நிலை மாற்றம் ƒ(t0 + ∆t) - ƒs(t0) ஆகும். இந்த நேர இடைவெளியில் சராசரி திசைவேகம்

இது படம் 10.16-ல் உள்ளபடி PQ எனும் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வு ஆகும்.

நேர இடைவெளி ∆t -ல் (t0 -லிருந்து t0 + ∆t வரை) தூரத்தை நிறைவு செய்தல் (செல்லும் தூரம்) ஒன்றாக இருந்தாலும் இயக்கம் பல வகையாக அமையலாம். இது ஒரு தளத்திலுள்ள P மற்றும் Q புள்ளிகளுக்கிடையே முற்றிலும் வெவ்வேறான C1, C2, C3 ...... வளைவரைகள் மூலம் விளக்கப்பட்டுள்ளது. (படம் 10.17) இந்த வரைபடத்தில் உள்ள வளைவரைகள் கொடுக்கப்பட்ட நேர இடைவெளிகளில், அனைத்து இயக்கங்களுக்கும் ∆s / ∆t எனும் ஒரே சராசரித் திசைவேகம் கொண்டதாகவும் ஆனால், முற்றிலும் வெவ்வேறான இயக்கங்களாகவும் அமைகின்றது.

[t0, t0 + ∆t] எனும் குறுகிய மற்றும் மேலும் தொடர்ந்து குறுகிய நேர இடைவெளிகளில் சராசரித் திசைவேகங்களை இப்போது கணக்கிடுவோம். வேறு விதமாகக் கூறுவதென்றால், ∆t என்பது 0-வை அணுகுவதாக கொள்வோம். இப்போது t = t0 என்ற நேரத்தில் திசைவேகத்தினை v(t0) (கணநேர திசைவேகம்) சராசரித் திசைவேகங்களின் எல்லையாகக் காணலாம்.

இதிலிருந்து t = t0 என்ற நேரத்தில் திசைவேகம் என்பதும் P என்ற புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வும் சமமாக இருக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது.

விளக்க எடுத்துக்காட்டு 10.2

வெற்றிட வெளியில் தடையின்றி விழும் ஒரு பொருள் கடந்த தூரம் s என்க. அதற்கு எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் t என்க. இவை இரண்டும் மாறிகளாகவும் ஒன்றையொன்று சார்ந்ததாகவும் இருக்கும். தடையற்று விழும் விதிப்படி மேற்கண்ட சார்ந்த தன்மையைக் கீழ்க்காணுமாறு விவரிக்கலாம்:

இதிலிருந்து, t0, கணநேரத்தில் முழுமையாகத் திசைவேகம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. மேலும் இது இயக்க நேரத்திற்கு விகித சமமாக அமைகின்றது.