அளவைகள்

இயல் 2

அளவைகள்

கற்றல் நோக்கங்கள்

* வட்டத்தின் பகுதிகளை அறிதல். 

* வட்டவில்லின் நீளம், வட்டக்கோணப் பகுதியின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவைக் கணக்கிடுதல்.

* கூட்டு வடிவங்களின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவைக் கணக்கிடுதல். 

* இரு பரிமாண வடிவங்களின் மூலம் முப்பரிமாண வடிவங்களைக் குறிப்பிடுதலைப் புரிந்து கொள்ளுதல். 

* கனச்சதுரங்களின் மூலம் முப்பரிமாண பொருள்களை குறிப்பிடுதல்.

அறிமுகம்

அளவிடுதல் என்பது ஒவ்வொருவரும் தன் அன்றாட வாழ்வில் பயன்படுத்தும் முக்கியப் பகுதியாகும். கயிற்றின் நீளத்தை அளத்தல், இரு இடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவினை அளத்தல், வீட்டு மனை மற்றும் நிலங்களின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு ஆகியவற்றைக் கண்டறிதல், குறிப்பிட்ட அளவுகளின்படி கட்டடங்களைக் கட்டுதல் போன்ற எண்ணற்ற சூழல்களில் அளவியலின் கருத்து பயன்படுகிறது.

மனிதனின் முக்கியமான கண்டுபிடிப்பாகச் சக்கரத்தைக் கூறுகின்றனர். சக்கரத்திற்குக் கண்டுபிடிப்புகளின் தொட்டில் என்றொரு பெயரும் உண்டு. சக்கரத்தின் வடிவம் என்ன? வட்டம் அல்லவா! வட்டம் மட்டுமின்றி முக்கோணம், சதுரம் மற்றும் செவ்வகம் எனப் பல்வேறு வடிவங்களை நாம் பயன்படுத்தும் பொருட்களில் காண முடிகிறது.

அளவியல் ஒவ்வொருவரின் வாழ்விலும் முக்கியப் பங்கினை வகிக்கிறது. பள்ளிக்குச் சென்று முறையாகக் கணிதம் கற்போர் மட்டுமல்லாது, பாமரர்களும் தர்க்க ரீதியாகச் சிந்தித்து அளவியல் சார்ந்த சில கருத்துக்களைத் தேவைக்கேற்ப பயன்படுத்துகின்றனர். உதாரணமாக, தேர்ச் சக்கரங்கள் செய்யும் பணியாளர் ஒருவர், மரத்தாலான சக்கரங்கள் தேயாமல் இருக்க அவற்றைச் சுற்றி இரும்புப்பட்டையைப் பொருத்தும்பொழுது, 7 அடி உயரம் (விட்டம்) கொண்ட சக்கரத்திற்கு 22 அடி நீளமுள்ள இரும்புப்பட்டை தேவைப்படுகிறது என்று தனது அனுபவத்திலேயே கூறுகிறார்.

வட்டம், முக்கோணம், சதுரம், செவ்வகம், சரிவகம் மற்றும் இணைகரம் போன்ற சில வடிவங்களின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவைக் காணும் முறையை நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம். இந்த இயலில், வட்டத்தின் பகுதிகள், வட்டவில்லின் நீளம், வட்ட கோணப்பகுதி மற்றும் சில கூட்டு வடிவங்களின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவைக் கண்டறியும் முறையைக் காண்போம்.

மீள்பார்வை

ஆசிரியர் தனது மாணவர்களிடம் 7 செ.மீ. ஆரமுள்ள ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுமாறு கூறுகிறார். பெரும்பாலான மாணவர்கள் வழிமுறை 1இல் உள்ளவாறு தீர்வு காண்கின்றனர், ஆனால், சில மாணவர்கள் வழிமுறை 2 இல் உள்ளவாறு தீர்வு காண்கின்றனர். 

பிறகு, அவர்கள் பின்வருமாறு உரையாடினர்: 

சுதா : இந்த இரண்டு விடைகளுள் எது சரியானது, ஐயா? 

ஆசிரியர் : இரண்டு விடைகளும் சரி, ஆனால் தோராயமானவை ஆகும். 

சுதா : ஒரே வினாவிற்கு இரண்டு விடைகளைப் பெறுவது எவ்வாறு சாத்தியமாகும், ஐயா? 

ஆசிரியர் : உண்மையில் இதற்கு, π × 7 × 7 = 49π ச.செ.மீ. எனத் துல்லியமாகவும் தீர்வு காணலாம். 

மீனா : சதுரம் மற்றும் செவ்வகம் போன்ற வடிவங்களின் பரப்பளவைக் காணும் போது நாம் அனைவரும் ஒரே மாதிரியான விடையைப் பெறுகிறோம். ஆனால், வட்டத்தின் பரப்பளவு மட்டும் ஏன் வெவ்வேறாக உள்ளது? 

ஆசிரியர் : π இன் மதிப்பு என்ன ?

மீனா : π இன் மதிப்பு  அல்லது 3.14 ஆகும்.

ஆசிரியர் : உண்மையில் அதன் மதிப்பு  உம் அல்ல, 3.14 உம் அல்ல. அவை π இன் தோராய மதிப்புகள் ஆகும்.

மீனா : பிறகு, π இன் சரியான மதிப்பு என்ன ஐயா?

ஆசிரியர் : π ஆனது ஒரு மாறிலியானாலும், அது ஒரு முடிவுறா சுழல்தன்மையற்ற தசம எண் ஆகும். ஆகவே அதன் சரியான மதிப்பைப் பயன்படுத்தாமல், எளிமையாகத் தீர்வு காண்பதற்காக  அல்லது 3.14 ஐ எனப் பயன்படுத்துகிறோம்.

மீனா : அப்படியெனில் வட்டத்தின் பரப்பளவானது எப்பொழுதும் தோராயமானதாகவே இருக்குமா, ஐயா? 

ஆசிரியர் : இல்லை. π இக்கு எந்த மதிப்பும் பிரதியிடாதவரை துல்லியமான தீர்வாகும். π இக்கு அல்லது 3.14 ஐப் பிரதியிட்டால் கிடைக்கும் தீர்வுகளே தோராயமானது. 

மீனா : ஆகவே, மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணக்கிற்கு 49π ச.செ.மீ. என்பதே சரியான விடையாகும். 154 ச.செ.மீ. மற்றும் 153.86 ச.செ.மீ. ஆகியவை தோராயமான விடைகளே ஆகும். நான் கூறுவது சரிதானே ஐயா? 

ஆசிரியர் : ஆம், நீ கூறுவது சரிதான் மீனா.

சிந்திக்க 

1. மற்றும் 3.14 ஆகியவை விகிதமுறு எண்களாகும். π ஆனது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகுமா? ஏன்? 

2. π தினம் எப்பொழுது கொண்டாடப்படுகிறது? ஏன்? 

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

வட்டத்தின் சுற்றளவு 2πr அலகுகள், இதனை πd அலகுகள் என்றும் எழுதலாம். π = 3.14 (தோராயமாக) மற்றும் மூன்றை விடச் சற்று அதிகம் என்பதால், ‘d’  அலகு விட்டம் கொண்ட ஒரு  வட்டத்தின் சுற்றளவானது விட்டத்தைப் போல் மூன்று மடங்குக்கும் சற்று அதிகமானதாக இருக்கும். இது சில சூழலில் வட்டத்தின் தோராயமான சுற்றளவை நாம் விரைவாகக் கணிக்க உதவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 

3 மீ விட்டமுள்ள வட்டவடிவ மேசையினைப் பூச்சரத்தால் அலங்கரிக்க 9 மீட்டருக்கும் சற்று அதிக நீளமுள்ள பூச்சரம் தேவை.