முக்கோணத்தின் பயன்பாடுகள்

முக்கோணத்தின் பயன்பாடுகள் (Application to triangle)

கட்டிடக்கலை மற்றும் பொறியியலில் எங்கெல்லாம் உறுதியான கட்டமைப்புகள் தேவைப்படுகிறதோ அங்கெல்லாம் முக்கோணங்கள் துணைபுரிகின்றன. கட்டமைப்புக்குத் தேவையான முக்கோணங்களின் கோணங்களைக் கண்டறிய முக்கோணவியல் பெரிதும் பயன்படுகிறது. கட்டிடக் கலைஞர்கள் வளைவுக் கட்டமைப்புகளை அமைப்பதற்கு முக்கோணவியல் பயன்படுகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் குறைந்தது ஒரு பக்கத்துடன் ப-ப மற்றும் ப-கோ அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதன் மற்ற உறுப்புகளைக் காணலாம். ஆனால் விரிகோண முக்கோணத்தின் தீர்வு காண ஒரு பக்கம் உட்பட மூன்று உறுப்புகள் தேவை குறைந்தது ஒரு பக்க அளவுடன் மூன்று உறுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால் சைன் விதி, கொசைன் விதி மற்றும் வீழல் சூத்திரம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி மற்ற மூன்று உறுப்புகளையும் காணலாம். 

தீர்வு காண விதிகள்

• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரண்டு பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பித்தாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மூன்றாம் பக்கத்தைக் காணலாம். மேலும், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள குறுங்கோணங்கள் நிரப்பு கோணங்கள் என்ற கருத்தின்படி, ஒரு குறுங்கோணம் மற்றொரு குறுங்கோணத்தைத் தீர்மானிக்கும்.

• முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் கொசைன் விதி அல்லது அரைகோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அதன் கோணங்களைக் காணலாம்.

• ஏதேனும் இரு கோணங்கள் மற்றும் அவற்றிற்கு எதிராக உள்ள ஏதேனும் ஒரு பக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மற்ற பக்கங்களைக் கணக்கிடலாம். 

• ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்கங்களும் அதற்கு இடைப்பட்டக் கோணமும் கொடுக்கப்பட்டால் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த இயலாது. அதற்குப் பதிலாகக் கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் மற்ற பக்கங்கள் மற்றும் மற்ற கோணங்களைக் கணக்கிடலாம். இந்நிலையில் நமக்குத் தனித்தொரு முக்கோணம் கிடைக்கும். 

• விரிகோண முக்கோணத்தை அனைத்து முறைகளிலும் தீர்ப்பதற்குக் குறைந்தபட்சம் ஒரு பக்கத்தின் அளவீடு ஆவது கொடுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

விரிகோண முக்கோணத்தின் தீர்வு காணும் முறைப் பின் வரும் அட்டவணையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.

# கோணம் இடைப்பட்டது இல்லை எனில், ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட முக்கோணங்கள் இருக்கலாம்.

சைன் விதியை உபயோகிக்கும் போது மூன்று விதமான சூழ்நிலைகள் உருவாகிறது : தீர்வு இல்லை அல்லது ஒரு முக்கோணம் அல்லது இரண்டு முக்கோணங்கள்.

a, b, A ஆகியவை கொடுக்கப்பட்டவை எனில் h = b sin A என்க.

a < h எனில், முக்கோணம் அமையாது. a = h எனில், அது ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

a > h மற்றும் a < b எனில், நமக்கு இரண்டு முக்கோணங்கள் கிடைக்கும். 

a ≥ b எனில், நமக்கு ஒரே ஒரு முக்கோணம் கிடைக்கும்.

* ப-ப-கோ என்பது பக்கம் பக்கம் மற்றும் கோணம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.64 ∆ABC இல் a = 3, b = 5 மற்றும் c = 7 எனில், cos A, cos B மற்றும் cos C ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொசைன் விதியின்படி,

எடுத்துக்காட்டு 3.65 ∆ABC இல் A = 30°, B = 60°, c = 10 எனில், a மற்றும் b-ஐ காண்க. 

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை, A = 30°, B = 60°, C = 180° - (A + B) = 90°

சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,

எடுத்துக்காட்டு 3.66 ∆ABC இல் a = 2√2, b = 2√3 மற்றும் C = 75° எனில், மூன்றாவது பக்கம் மற்றும் கோணங்களைக் காண்க.

தீர்வு: 

கொடுக்கப்பட்டவை, a = 2√2, b = 2 √3 மற்றும் C =75° 

கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,

எனவே A = 60°, B = 180° - (A + C) = 45°.

எடுத்துக்காட்டு 3.67 13 செ.மீ., 14 செ.மீ. மற்றும் 15 செ.மீ. ஆகிய பக்க அளவுகளை உடைய முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3.68 எந்தவொரு, ∆ ABC இல் acos A + bcos B + c cos C = 8 ∆2/abc என நிறுவுக. 

தீர்வு:

a cos A + b cos B + c cos C = 2asin Bsin C என நமக்குத் தெரியும்.

எனவே,

எடுத்துக்காட்டு 3.69 ஒரு கைபேசியின் எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியில் இரு கைபேசி கோபுரங்கள் அமைந்துள்ளன. ஒரு கைபேசியின் எல்லைக்குட்பட்ட இரண்டு கைபேசி கோபுரங்கள் கிழக்கு மேற்காக 6 கி.மீ இடைவெளியில் தேசிய நெடுஞ்சாலையில் ஒரே நோர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன மற்றும் கைபேசி நெடுஞ்சாலைக்கு வடக்கே உள்ளது. கைபேசிக்கு வரக்கூடிய சமிக்கைகள் முதல் மற்றும் இரண்டாம் கோபுரத்திலிருந்து 5 கி.மீ. மற்றும் √31 கி.மீ. தொலைவில் . உள்ளது. கிழக்கிலிருந்து வடக்காக முதல் கோபுரத்திலிருந்து எந்த நிலையில் உள்ளது மற்றும் கைபேசி நெடுஞ்சாலைக்கு எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது என்பதையும் காண்க.

தீர்வு:

முதல் கோபுரத்திலிருந்து கைபேசியின் நிலை வடக்கிலிருந்து கிழக்கிற்கு ஏற்படுத்தும் கோணம் θ என்க.

கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,

 (√31) = 52 + 62 – 2 × 5 × 6 cos θ

 31 = 25 + 36 - 60 cos θ

  cos θ = 1/2    ⇒     θ = 60° 

நெடுஞ்சாலையிலிருந்து கைபேசியின் தூரம் x என்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.70 துறைமுகத்திலிருந்து ஒரு படகு 10 கி.மீ. தொலைவு கிழக்கே செல்கிறது. பின்பு இடக்கைப்பக்கம் 60° கோணத்தில் திரும்ப, மீண்டும் படகு 8 கி.மீ. சென்றால் அப்படகிற்கும் துறைமுகத்திற்கும் உள்ள தொலைவைக் காண்க.

தீர்வு:

BP என்பது தேவையான தூரம் என்க.

கொசைன் விதியின்படி, 

BP2 = 102 + 82 - 2 × 10 × 8 × cos 120° = 244 கி.மீ.

⇒ BP = 2 √61 கி.மீ.

இரண்டு ரேடார் நிலையங்கள் 100 கி.மீ. இடைவெளியில் அமைந்திருப்பதாகக் கொள்வோம். ஒவ்வொரு ரேடாரும் அவைகளுக்கு இடையே பறக்கக் கூடிய போர் விமானம் ஒன்றைக் கண்டறிகிறது. முதல் ரேடார் நிலையத்திலிருந்து 30° ஏற்றக் கோணத்திலும் மற்றும் இரண்டாவது ரேடார் நிலையத்திலிருந்து 45° ஏற்றக் கோணத்திலும் போர் விமானம் இருப்பின், அந்நிலையில் போர் விமானத்தின் உயரத்தினைக் காண்க. 

தீர்வு:

R1 மற்றும் R2, ஆகியவை ரேடார் நிலையங்கள் என்க. போர் விமானத்தைக் கண்டறியும்போது அப்போர் விமானத்தின் நிலை A என்க, x என்பது தரைக்கும் போர் விமானத்திற்கும் இடைப்பட்ட தேவையான உயரம் என்க. R1, R2, இக்கு A இலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு வரைய அது N இல் சந்திக்கிறது. 

∠A = 180° - (30° + 45°) = 105°

பயிற்சி 3.10

1. ∠ B = 88°, a = 23, b = 2 என்ற அளவுகளைக் கொண்ட முக்கோணங்கள் ஒன்றா அல்லது இரண்டா? அல்லது முக்கோணம் வரைய இயலாதா? முக்கோணம் உண்டு எனில், அதன் தீர்வைக் காண்க. 

2. ∆ ABC இல் a = 4, b = 6 மற்றும் c = 8 எனில் 4 cos B + 3 cos C = 2 எனக் காண்பி. 

3. ∆ ABC இல் a = √3 - 1, b = √3 + 1 மற்றும் C = 60° எனில், மூன்றாவது பக்கம் மற்றும் இரு கோணங்களைக் காண்க.

4. ∆ABC-இல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என நிறுவுக.

5. ∆ABC-இல் a = 12 செ.மீ., b = 8 செ.மீ. மற்றும் C = 30° எனில் முக்கோணத்தின் பரப்பு 24 ச. செ.மீ. எனக் காண்பி. 

6. ∆ABC-இல் a = 18 செ.மீ., b = 24 செ.மீ. மற்றும் c = 30 செ.மீ. எனில் ∆ABC இன் பரப்பு 216 ச. செ.மீ. எனக் காண்பி. 

7. பூமிக்கு அடியில் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ள இரண்டு வெவ்வேறு குழிகளில் A மற்றும் B என்ற இராணுவ வீரர்கள் பதுங்கி, மலை உச்சியில் ஒரு ஊடுருபவரை கவனித்தனர். A மற்றும் B லிருந்து ஊடுருபவரின் கோணங்கள் கிழக்கு திசையில் முறையே 30° மற்றும் 45° மற்றும் A-க்கு B-க்கு இடைப்பட்ட தொலைவு 5 கி.மீ. எனில் B-யிலிருந்து ஊடுருபவரின் தொலைவினைக் காண்க. 

8. ஒர் ஆராய்ச்சியாளர் ஒர் குளத்தின் அகலத்தைக் கிழக்கிலிருந்து மேற்காகச் சரியாக அளவிட முடியாத போது அதைக் கண்டறிய விழைகிறார். P என்ற புள்ளியிலிருந்து குளத்தின் கிழக்குப்பகுதியின் முனை 8 கி.மீ. தொலைவிலும் அதே சமயத்தில் மேற்கு பகுதியின் முனை 6 கி.மீ. தொலைவிலும் உள்ளது மற்றும் P-யையும் கிழக்குப் பகுதியின் முனையை இணைக்கும் கோட்டிற்கும், P-யையும் மேற்கு பகுதியின் முனையையும் இணைக்கும் கோட்டிற்கும் இடைப்பட்டக் கோணம் 60° எனில் குளத்தின் அகலத்தைக் காண்க. 

9. கடல் மட்டத்திலிருந்து ஒரே உயரத்தில் வங்காள விரிகுடாவிற்கு மேல் A மற்றும் B என்ற இரண்டு கடற்படை ஹெலிகாப்டர்கள் தொலைந்த படகைத் தேடுகின்றன. 10 கி.மீ. இடைவெளியில் அவைகள் பறக்கும்போது அதன் பைலட்டுகள் ஒரே நேரத்தில் அந்தப் படகைப் பார்க்கிறார்கள். A இலிருந்து படகு 6 கி.மீ. தூரத்தில் உள்ளது. மேலும், கோட்டுத்துண்டு AB படகில் தாங்கும் கோணம் 60° எனில், B இற்கும் படகிற்கும் உள்ள தொலைவைக் காண்க. 

10. ஒரு மலை வழியாக ஒரு நேர்க் குகை அமைக்கையில், மலைக்கு எதிரே உள்ள P என்றபுள்ளியிலிருந்து மலையின் இரு முனைகள் A மற்றும் B னை நிலமளப்பவர் காண்கிறார். AP = 3 கிமீ, BP = 5 கிமீ, ∠APB = 120° எனில் மலைக்குகையின் நீளத்தினைக் காண்க. 

11. 120 அடி மற்றும் 60 அடி, பக்கங்களின் நீளங்கள் அவற்றிற்கிடைப்பட்ட கோணம் 60° உடைய ஒரு முக்கோண வடிவ நிலத்தை ஒரு விவசாயி வாங்க விரும்புகிறார். ஒரு சதுர அடி நிலத்தின் விலை ₹500 எனில், அந்த நிலத்தை வாங்கத் தேவையான மொத்தத் தொகை எவ்வளவு? மேலும் நிலத்தின் சுற்றளவைக் காண்க. 

12. ஒரு போர் ஜெட் விமானம் கிடைமட்டமாகப் பறந்து பூமியிலுள்ள ஒரு சிறு இலக்கைத் தாக்கவேண்டும். அவ்விலக்கை விமானி 30° இறக்கக் கோணத்தில் பார்க்கிறார். 100 கி.மீ. பறந்த பின்பு மீண்டும் அதே இலக்கை 60° இறக்கக் கோணத்தில் பார்க்கும் அந்த நேரத்தில் ஜெட் விமானத்திற்கும் இலக்கிற்கும் உள்ள தொலைவு எவ்வளவு? 

13. ஒரு விமானம் ஒரு மைல் கல்லிலிருந்து 1கி.மீ. தூரத்தில் பறக்கிறது. அதே நேரத்தில்மற்றொரு மைல் கல்லுடன் உள்ள தூரம் 2கி.மீ. இரண்டு மைல் கல்களும் விமானத்துடன்தாங்கும் கோணம் 45° எனில் இரண்டு மைல் கல்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் என்ன? 

14. ஒருவன் காலை நடைப்பயிற்சியின் போது A என்ற புள்ளியில் தொடங்கி B மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகளுக்குச் சென்று இறுதியில் மீண்டும் A வை வந்தடைகிறார். முக்கோணம் ABC-இல் ∠A = 60° ∠B = 45° AC = 4 கி.மீ. எனில், அவர் நடந்த மொத்தத் தொலைவைக் காண்க.

15. இரண்டு வாகனங்கள் ஒரு புள்ளி P லிருந்து ஒரே நேரத்தில் தொடங்கி இரு வெவ்வேறு சாலைகளில் பயணிக்கிறது. ஒரு வாகனம் 60 கிமீ/மணி, மற்றொரு வாகனம் 80 கிமீ/மணி என்ற சராசரி வேகத்தில் பயணிக்கிறது. அரை மணி நேரத்திற்குப் பிறகு அவ்வாகனங்கள் A மற்றும் B ஐ அடைகின்றன. கோடு AB ஆனது P இல் தாங்கும் கோணம் 60° எனில், AB ஐக் காண்க. 

16. ஒரு செயற்கைக்கோள் ஒரு விண்வெளியில் உள்ளதாகக் கொள்வோம், பூமியிலுள்ள நிலையம் மற்றும் பூமியின் மையம் ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன, பூமியின் அதன் ஆரம் என்றும் அதன் மையத்திலிருந்து செயற்கைக்கோள் R தொலைவில் உள்ளது என்றும் கொள்வோம். செயற்கைக்கோளுக்கும் செயற்கைக்கோளின் நிலையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு d என்க. செயற்கைக்கோள் நிலையத்திலிருந்து செயற்கைக்கோள் 30° ஏற்றக் கோணத்தில் உள்ளது. செயற்கைக்கோள் மற்றும் பூமியிலுள்ள நிலையம் ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு பூமியின் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் α எனில், என நிறுவுக.