கணிதவியல் - முதல்வரிசை சாதாரண வகைக்கெழுச்ச மன்பாடுகளின் பயன்பாடுகள் (Applications of First Order Ordinary Differential Equations) | 12th Maths : UNIT 10 : Ordinary Differential Equations
முதல்வரிசை சாதாரண வகைக்கெழுச்சமன்பாடுகளின் பயன்பாடுகள் (Applications of First Order Ordinary Differential Equations)
நடைமுறை வாழ்வில் சில நிகழ்வுகளின் தீர்வு காண்பதில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு அதிக முக்கியத்துவம் பெறுகிறது. எதிர்காலத்தில் அல்லது அறியாத ஒரு செயல்பாட்டின் தன்மையை முன்கூட்டியே கணிப்பதில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் பயன்படுகின்றன. பெரும்பாலான நிகழ்வுகளில் ஒரு அளவின் மாறுவீதமானது அந்த அளவின் காலத்தைப் பொருத்த சார்பாக கொடுக்கப்படும்போது அந்த அளவினைக் காண்பதே நமது குறிக்கோளாகும். t நேரத்தில்ஒரு பொருளின் இருப்பு x எனில், t நேரத்தில் அப்பொருளின் இருப்பின் கணநேர மாறுவீதம் dx/dt ஆகும். இதிலிருந்து dx/dt = f (x,t) என்ற வடிவில் உள்ள வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இப்பாடப்பகுதியில் இவ்வாறான கணக்குகளை மட்டுமே நாம் காண உள்ளோம். மேலும் கணநேர மாறுவீதம் என்பதை மாறுவீதம் என்றே நாம் குறிப்பிடுவோம்.
1. பொருளின் இருப்பின் பெருக்கம் (Population growth)
நாம் பொருளின் இருப்பின் பெருக்கத்தை (எடுத்துகாட்டாக மக்கள்தொகைப் பெருக்கம், விலங்கு இனப்பெருக்கம் அல்லது நுண்ணுயிரிகளின் வளர்ச்சி) நேரம் t-ன் சார்பாக கருதுவோம்.
t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு x(t) என்க. x(t) என்பது முழு எண் மதிப்புடைய சார்பாக இருப்பினும், கிட்டதட்ட (தோராயமாக) x(t) ஐ வகைமையுள்ள சார்பாகக் கருதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் உத்திகளைப் பயன்படுத்தி x(t) ஐ காண்கிறோம். பொருளின் இருப்பின் மாறுவீதம் அந்நேரத்தில் ஆரம்ப இருப்புக்கு நேர் விகிதத்தில் இருக்கும் எனக் கருதுவோம். பின்னர்
dx/dt = kx, இங்கு k என்பது விகிதச் சம மாறிலியாகும். ---------- (1)
மேலும், பொருளின் இருப்பு எப்போதும் அதிகரிப்பதால், k > 0 ஆகும். இவ்வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு x(t) = Cekt, இங்கு C என்பது தொகையீட்டு மாறிலியாகும்.
C மற்றும் k ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை ஆரம்ப நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்திக் காணலாம். ஆகவே, இருப்பு x(t) என்பது அடுக்கை வேகத்தில் அதிகரிக்கும். பொருளின் இருப்பு அதிகரிக்கும் இவ்விதி மால்தாஸ் விதி எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு 10.27
பொருளின் இருப்பின் பெருக்கமானது அதில் காணப்படும் பொருளின் இருப்பின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாக அமைந்துள்ளது. பொருளின் இருப்பு 50 ஆண்டுகளில் இரு மடங்காகிறது எனில், எத்தனை ஆண்டுகளில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகும்?
தீர்வு
t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு x(t) என்க. பின்னர் dx/dt = kx..
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத, dx/x = kdt
இரு பக்கமும் தொகையிட, log|x| = kt + log|C| அல்லது x = Cekt,
இங்கு C எதேச்சை மாறிலி.
t = 0 எனும்போது பொருளின் இருப்பு x0 என்க. எனவே, C = x0 ஆகும்.
ஆதலால், x = x0ekt
t = 50 எனும்போது x = 2x0, என்பதால் k = 1/50 log2 ஆகும்.
எனவே, t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு x = x0 2t/50ஆகும்.
t1 நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகிறது என்க.
அதாவது, t = t1 எனில் x = 3x0, என்பதால் t1, = 50 (log3/log2)ஆகும்.
எனவே, 50 (log3/log2) வருடங்களில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகும்.
2. கதிரியக்கச் சிதைவு (Radioactive decay)
ஒரு அணுக்கருவானது புரோட்டான்கள் மற்றும் நியுட்ரான்களின் சேர்வாக உள்ளது. புரோட்டான்கள் மற்றும் நியுட்ரான்களின் இணைவானது பெரும்பாலும் நிலையானதாக இருப்பதில்லை. அதாவது, அவ்வாறான அணுக்கள் சிதைவுறும் அல்லது மற்றொரு பொருளின் அணுவாக உருமாற்றமடையும். இத்தகைய அணுக்கருக்கள் கதிரியக்கப் பண்பு கொண்டவையாகும்.
ஒரு பொருளின் அணுக்கரு சிதைவுறும் வீதம் dA/dt ஆனது t நேரத்தில் மீதமுள்ள அப்பொருளின் அளவுக்கு விகிதமாக உள்ளது எனக்கருதுவோம்.
எனவே, தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடுdA/dt ∝A அதாவது dA/dt = kA …(2)
இங்கு k என்பது விகிதச்சம மாறிலியாகும். இங்கு சிதைவுறுதல் நடைபெறுவதால், k < 0 ஆகும்..
குறிப்புரை
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகிய இரண்டு வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளும் ஒன்றேயாகும். ஆனால், அவற்றின் குறியீடுகள் மற்றும் விகிதச் சம மாறிலிகளின் பொருள் விளக்கம் மட்டும் வெவ்வேறாகும். சமன்பாடு (1)-ல் வளர்ச்சியின் போது k > 0 எனவும் சமன்பாடு (2)-ல் சிதைவுறுதலின்போது k < 0 எனவும் உள்ளது.
ஒரு தனித்த வகைக்கெழுச் சமன்பாடு பல்வேறு மாறுபட்ட நிகழ்வுகளின் கணிதவியல் மாதிரியாகப் பயன்படும்.
எடுத்துக்காட்டு 10.28
ஆரம்பத்தில் ஒரு கதிரியக்க ஐசோடோப்பின் நிறை 200 மி.கி. ஆகும். 2 வருடங்களுக்குப் பின்னர் அதன் நிறை 50 மி.கி. ஆக உள்ளது. t நேரத்தில் மீதமுள்ள ஐசோடோப்பின் நிறைக்கான சமன்பாட்டைக் காண்க. அதன் அரை ஆயுட்காலம் எவ்வளவு? (ஒரு குறிப்பிட்ட கதிரியக்க ஐசோடோப்பின் ஆரம்ப அளவு பாதியாகக் குறைய ஆகும் கால அளவு அரை ஆயுட் காலம் எனப்படும்).
தீர்வு
t நேரத்தில் மீதமுள்ள ஐசோடோப்பின் இருப்பு A என்க. -k என்பது விகிதச் சம மாறிலி என்க. இங்கு k > 0 ஆகும். பின்னர், கதிரியக்க ஐசோடோப்பின் சிதைவுறும் வீதம் dA/dt = -kA எனும் சமன்பாட்டால் பெறப்படுகிறது. இச்சமன்பாட்டில் உள்ள குறை குறி நிறை குறைவதைக் குறிக்கிறது. மேலும், இச்சமன்பாடு மாறிகள் பிரிபடக்கூடிய சமன்பாடாகும். எனவே, மாறிகளைப் பிரித்தது எழுதக் கிடைப்பது dA/A = -kdt ஆகும்.
இரு பக்கமும் தொகையிடக் கிடைப்பது log|A| = -kt + log|C| அல்லது A = Ce-kt ஆரம்பத்தில் பொருளின் நிறை 200 மி.கி. ஆகும்.
அதாவது t = 0 எனும்போது A = 200 ஆகும். எனவே, சமன்பாடு (1)லிருந்து, C = 200 எனப் பெறுகிறோம்.
A = 200e-kt
மேலும் t = 2 எனும்போது A = 150 என்பதால், k = 1/2 log(4/3).
எனவே, t வருடங்களுக்குப் பிறகு மீதமுள்ள ஐசோடோப்பின் நிறை ஆகும்.
A = 100 மி.கிராமாக குறைய ஆகும் காலம் அரை ஆயுட் காலம் th, ஆகும்.
எனவே, th, = 2log(1/2) / log(3/4)
3. நியூட்டனின் குளிர்ச்சி அல்லது வெப்பம் அடையும் விதி (Newton's Law of cooling/warming)
80°C உள்ள ஒரு அறையில் ஒரு கோப்பையில் ஊற்றி வைக்கப்பட்டுள்ள காபியின் வெப்பநிலை 150° C என்க.
காபியின் வெப்பநிலை என்னவாகும்? காபியின் வெப்பநிலை அறையின் வெப்பநிலையை அடையும் வரை குறைவதைக் காண்கிறோம்.
இப்பொழுது, வெப்பநிலை 80°C உள்ள ஒரு அறையில் குளிர் சாதனப் பெட்டியில் இருந்து எடுத்து வைக்கப்பட்ட குளிர்ந்த நீரின் வெப்பநிலை 35° C என்க. குளிர்ந்த நீரின் வெப்பநிலை என்னவாகும்? மேற்கூறியவாறே, நீரின் வெப்பநிலையானது அறையின் வெப்பநிலையை அடையும் வரை அதிகரிப்பதைக் காண்கிறோம்.
நியூட்டனின் குளிர்ச்சி அல்லது வெப்பமடையும் விதிப்படி, ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும் சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கும் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர்விகிதமாக அமையும். t நேரத்தில் பொருளின் வெப்பநிலை T(t) எனவும், சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலை Tm எனவும், வெப்பநிலையின் மாறுவீதம் dT/dt எனவும் இருப்பின்
நியூட்டனின் குளிர்ச்சி (அல்லது வெப்பம்) அடையும் விதிப்படி dT/dt ∝ T - Tm or dT/dt = k(T-Tm). இங்கு k என்பது விகிதச் சம மாறிலியாகும்.
குளிர்ச்சி அல்லது வெப்பம் அடைதல் எனும் இரு நிலைகளிலும் Tm ஒரு மாறிலி எனில், k < 0 ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 10.29
ஒரு துப்பறிவாளர் ஒரு கொலைக்கான புலன் விசாரணையின் போது, ஒருவரின் உயிரற்ற உடலை சரியாக பிற்பகல் 8 மணிக்கு காண்கிறார். முன்னெச்சரிக்கையாக துப்பறிவாளர் அவ்வுடலின் வெப்பநிலையை அளந்து 70°F எனக் குறித்துக் கொள்கிறார். 2 மணி நேரம் கழித்து அந்த உடலின் வெப்பநிலை 60°F ஆக இருப்பதைக் காண்கிறார். உடல் இருந்த அறையின் வெப்பநிலை 50°F ஆகும். மற்றும் இறப்பதற்கு முன்பு அந்நபரின் உடல் வெப்பநிலை 98.6°F எனில், அந்நபர் கொலை செய்யப்பட்ட நேரம் என்னவாக இருந்திருக்கும்?
[log(2.43) = 0.88789; log(0.5) = -0.69315]
தீர்வு
t நேரத்தில் உடலின் வெப்பநிலை T என்க. பிற்பகல் 8 மணி என்பதை t = 0 எனக்கொள்க.
நியுட்டனின் குளிர்வு விதிப்படி, dT/dt = k(T - 50) அல்லது dT / T – 50 = kdt.
இரு பக்கமும் தொகையிட, log|50 - T| = kt + log C அல்லது 50 - T = Cekt,
t = 0 எனும்போது T = 70 என்பதால், C = -20
t = 2 எனும்போது T = 60 என்பதால், -10 = -20ek2.
ஆகவே, k =1/2 log(1/2)
எனவே, தீர்வு 50 – T = -20
நாம் இப்பொழுது T(t) = 98.6 ஆக இருக்கும்போது t-ன் மதிப்பைக் காணவேண்டும்.
எனவே, அந்நபர் இறந்த நேரம் தோராயமாக பிற்பகல் 5.30 மணியாகும்.
4. கலவை கணக்குகள் (Mixture problems)
இரசாயனத் தொழில்துறையில் கலவை கணக்குகள் பெருமளவில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு கொள்கலனை அடிப்படை மாதிரியாகக் கொண்டு கலவைக் கணக்கின் தீர்வு காணும் முறையை விளக்குவோம்.
ஒரு பொருள் S ஆனது ஒரு கொள்கலனில் உள்ள கலவையில் ஓட்ட விகிதம் மாறாதவாறு கலக்கிறது. மேலும் இக்கலவையை தொடர்ந்து கிளறி கலவை சீராக வைக்கப்படுகிறது. அம்மாதிரியான சூழ்நிலையில், இந்த சீரான கலவையானது ஒரே நேரத்தில் மற்றொரு விகிதத்தில் கொள்கலனிலிருந்து வெளியேற்றப்படுகிறது என்க. இப்பொழுது, t நேரத்தில் அக்கலவையில் உள்ள பொருள் S -ன் அளவினை நாம் காண விழைகிறோம்.
t நேரத்தில் பொருள் S-ன் x என்க. மற்றும் dx/dt எனும் வகைக்கெழு t ஐப் பொருத்து x-ன் மாறுவீதம் என்க. 'உள்ளீடு' என்பது பொருள் S கொள்கலனில் உள்ள கலவையினுள் கலக்கும் (நுழையும்) வீதம் மற்றும் 'வெளியீடு' என்பது கலவை கொள்கலனிலிருந்து வெளியேறும் வீதம் எனில், dx/dt = உள்ளீடு - வெளியீடு எனும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 10.30
ஒரு தொட்டியில் உள்ள 1000 லிட்டர் நீரில் 100 கிராம் உப்பு கரைந்துள்ளது. பிரைன் என்பது அடர்ந்த அடர்த்திக் கொண்ட உப்புக் கரைசலாகும். வழக்கமாக சோடியம் குளோரைடு கரைசலாகும். பிரைன் ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் உட்புகுத்தப்படுகிறது. மேலும், ஒவ்வொரு லிட்டர் நீரிலும் 5 கிராம் உப்பு கரைந்துள்ளது. தொட்டியில் உள்ள நீரானது தொடர்ந்து கலக்கப்பட்டு சீராக வைக்கப்பட்டுள்ளது. பிரைன் ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் வெளியேறுகிறது. t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவைக் காண்க.
தீர்வு
t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) என்க. இதன் மாறுவீதம்
dx/dt = உள் நுழையும் வீதம் - வெளியேறும் வீதம்.
இப்பொழுது ஒரு லிட்டர் நீரில் 5 கிராம் உப்பு கரைக்கப்பட்டு தொட்டியில் உட்புகுத்தப்படுவதால், 10 லிட்டர் நீரில் 50 கிராம் உப்புத் தொட்டியில் உள்ள நீரில் கரைந்திருக்கும். மேலும், தொட்டியில் இருந்து உப்புக்கரைசல் (பிரைன்) ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் வெளியேறுகிறது. இது தொட்டியில் உள்ள மொத்த உப்புக் கரைசலின் 10/1000 = 0.01 மடங்காகும். ஆகவே, t நேரத்தில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) -ன் 0.01 மடங்காகும். அதாவது 0.01x(t) ஆகும்.
எனவே, இந்த மாதிரியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு dx/dt = 50 - 0.01x = -0.01 ( x - 5000)
இச்சமன்பாட்டினை dx/(x-5000) = -(0.01)dt என எழுதலாம்.
சமன்பாட்டின் இரு பக்கமும் தொகையிட, log|x - 5000 | = -0.01t + log C
அல்லது x - 5000 = Ce−0.01t அல்லது x = 5000 + Ce-0.01t
ஆரம்பத்தில், அதாவது t = 0 எனும்போது x = 100
அதாவது 100 = 5000 + C. ஆகையால், C = -4900.
எனவே t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு is x = 5000 – 4900e-0.01t