சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

அத்தியாயம் 10

சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

"கணிதவியலானது மனித உணர்வின் மிகவும் அழகான மற்றும் சக்திவாய்ந்த படைப்பாகும்"

- ஸ்டீபன் பானாக்

அறிமுகம் மற்றும் பாட வளர்ச்சி (Motivation and Early Developments)

அன்றாட வாழ்க்கையில்

 • எறியப்பட்ட பொருள், விண்வெளிக்கலன், துணைக்கோள் மற்றும் கோள்கள் ஆகியவற்றின் இயக்கப்பாதை 

• மின்சுற்றில் உள்ள மின்னூட்டம் அல்லது மின்னோட்டம்

 • ஒரு கோல் அல்லது பலகை வழியாக ஏற்படும் வெப்பக்கடத்தல்

• ஒரு கம்பி அல்லது மெல்லிய தோலில் ஏற்படும் அதிர்வுகள் ஆகியவற்றை கணக்கிடும் நிகழ்வுகளைக் கருதுவோம். இதுபோன்ற நிகழ்வுகளை கணிதவியல் சமன்பாடுகளாக உருவாக்கும்போது சில அறிவியல் விதிகளின் அடிப்படையில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன. இவ்விதிகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகளின் மற்ற அளவுகளைப் பொருத்து மாறுவீதங்களை (வகைக்கெழுக்களை) உள்ளடக்கியுள்ளது. ஆகவே, இந்த அறிவியல் விதிகள் வகைக்கெழுக்களை உள்ளடக்கிய கணிதவியல் சமன்பாடுகளாக அதாவது வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளாக அமைகின்றன.

வடிவக்கணிதம், இயந்திரவியல், இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் பொறியியல் ஆகிய பாடங்களில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் அதிக அளவில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முந்தைய வகுப்புகளில் மாறுவீதங்களைப் பற்றி படித்துள்ளோம். இது கணநேர மாறுவீதம் எனவும் அழைக்கப்படும். இதனை dy/dx எனக்குறிப்பிடுவோம்.

ஒரு சில அறியப்படாத சார்புகளுக்கும் அவற்றின் மாறு வீதங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகளை கீழே காண்போம். 

(a) x ஐப் பொருத்து y இன் மாறுவீதம் y க்கு நேர் விகிதத்தில் உள்ளது:

dy/dx = ky.

(b) x ஐப் பொருத்து y இன் மாறுவீதம் y2 மற்றும் x  இன் பெருக்கல் பலனுக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளது:

dy/dx = ky2x

(c) x ஐப் பொருத்து y இன் மாறுவீதம் y க்கு எதிர் விகிதத்தில் உள்ளது:

dy/dx = k/y

(d) x ஐப் பொருத்து y இன் மாறுவீதம் y2 க்கு நேர்விகிதத்திலும் மற்றும் √x க்கு எதிர்விகிதத்திலும் உள்ளது

dy/dx = k y2/√x

ஓர் அறியப்படாத சார்பின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வகைக்கெழுக்களை உள்ளடக்கிய ஒரு சமன்பாடு வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

பொதுவாக நேரமானது சாரா மாறியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.

நடைமுறை வாழ்க்கை நிகழ்வுகளில் கணித முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பெரும்பாலான நடைமுறைக் கணக்குகள் மாறும் அளவுகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்புகளை விளக்குவதாகவே அமைந்துள்ளன. மாறு வீதங்கள் கணிதவியலில் வகைக்கெழுக்களால் குறிப்பிடப்படுவதால் கணிதவியல் மாதிரிகள் ஓர் அறியாத சார்பின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வகைக்கெழுக்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகளாக காணப்படுகின்றன.

அத்தகைய சமன்பாடுகள் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளாகும். அறிவியல், பொறியியல் போன்ற படிப்புகளில் இயற்பியல் விதிகளும் மற்றும் தொடர்புகளும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளாக வடிவமைக்கப்படுவதால், இப்படிப்புகளில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் அதிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக கருதப்படுகின்றன. மக்கள் தொகை பெருக்கம் அல்லது கதிர்வீச்சு சிதைவு போன்றவற்றை உள்ளடக்கிய கணிதவியல் மாதிரிகளை உருவாக்கும் போது வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் பயனுள்ளதாகின்றன. மேலும் உயிரியல் மற்றும் பொருளியியல் சார்ந்த படிப்புகள் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் பயன்பாடின்றி முழுமையடையாது.

வடிவக்கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் ஆகியவற்றில் உள்ள கணக்குகளின் தீர்வுகளைக் காண்பதற்கு நியூட்டன் மற்றும் லீபினிட்ஸ் ஆகியோரால் நுண்கணிதத்துடன் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதுதான் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளாகும்.

பெர்னோலி குடும்பம், ஆய்லர் மற்றும் பலரால் மேம்படுத்தப்பட்ட நியூட்டோனியன் இயற்பியலில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் மிக முக்கிய பங்காற்றியது. நாம் அன்றாட வாழ்க்கையில் பயன்படுத்தும் அலைபேசி, மகிழ்வுந்து, வானூர்தி, இணையதளம், வானிலை முன்னறிவிப்பு, சுகாதார மேம்பாடு போன்றவற்றின் பயன்பாட்டில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு அவசியமாகிறது.

இந்த அத்தியாயத்தில், முதல் வரிசை சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் பற்றியும் அவற்றின் தீர்வுகளைக் காணும் சில வழிமுறைகளைப் பற்றியும் காண்போம்.

கற்றலின் நோக்கங்கள்

இப்பாடப்பகுதியை கற்றபின் பின்வருவனவற்றை மாணவர்கள் அறிந்திருப்பர்

 • வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை வகைப்படுத்துதல் 

• வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை அமைத்தல் 

• வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் வரிசை மற்றும் படி காணல் 

• மாறிகளைப் பிரித்தல், பிரதியிடல், தொகையீட்டுக்காரணி காணல் போன்ற வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காணல் 

• வாழ்வியல் கணக்குகளில் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்,