கூட்டுத்தொடர் வரிசை

கூட்டுத்தொடர் வரிசை (Arithmetic Progression)

பின்வரும் இரண்டு விளக்கங்களைக் கொண்டு தொடங்குவோம்.

விளக்கம் 1

படத்தில் காணும் வடிவங்களைத் தீக்குச்சிகள் கொண்டு உருவாக்குவோம். 

(i) ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் உருவாக்குவதற்கு எத்தனை தீக்குச்சிகள் தேவைப்படுகின்றன? 3, 5, 7 மற்றும் 9. 

(ii) இதில், அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் காண இயலுமா?

எவ்வளவு? 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2 

எனவே, அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் எப்போதும் 2 ஆக இருப்பதைக் காண்க.

விளக்கம் 2

ஒருவருக்கு வேலை கிடைக்கிறது. அவருடைய முதல் மாதச் சம்பளம் ₹10,000 எனவும், ஆண்டு ஊதிய உயர்வு ₹2000 எனவும் நிர்ணயிக்கப்படுகிறது, அவருடைய முதல், இரண்டாம், மூன்றாம் வருட ஊதியம் முறையே ₹10000, ₹12000, ₹14000 

அடுத்தடுத்த வருடங்களின் ஊதிய வித்தியாசம் கண்டறியும்போது நாம் பெறுவது 12000 - 10000 = 2000; 14000 - 12000 = 2000. ஆகவே அடுத்தடுத்த எண்களின் (ஊதியங்களின்) வித்தியாசம் எப்போதும் 2000.

மேற்கண்ட இரு விளக்கங்களின் பின்னால் மறைந்துள்ள பொதுப் பண்பை உற்று நோக்கினீர்களா? இரண்டிலும் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசம் எப்போதும் மாறிலியாக உள்ளது. மேலும் முதல் உறுப்பைத் தவிர மற்ற உறுப்புகள், அதற்கு முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு மாறாத எண்ணை (மேலே கொடுக்கப்பட்ட விளக்கங்கள் 1 மற்றும் 2 மூலம் 2, 2000) கூட்டுவதன் மூலம் கிடைக்கிறது. இந்த மாறாத எண்ணான அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசமானது, பொது வித்தியாசம் என அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

a மற்றும் d என்பன மெய்யெண்கள் எனில், a, a + d, a + 2d , a + 3d , a + 4d , ... என்ற வடிவில் அமையும் எண்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையை அமைக்கும். கூட்டுத் தொடர்வரிசையைச் சுருக்கமாக A.P. (Arithmetic Progression) எனக் குறிப்பிடுகிறோம். இங்கு 'a' என்ற எண்ணை முதல் உறுப்பு (first term) என்றும் 'd' என்ற எண்ணை பொது வித்தியாசம் (common difference) என்றும் அழைக்கிறோம்.

எளிமையாகக் கூற வேண்டுமானால் கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்பது அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் ஒரு மாறிலி அளவில் வேறுபடும் தொடர்வரிசையாகும். உதாரணமாக இரட்டை முழு எண்களின் தொகுப்பு 2, 4, 6, 8, 10, 12,... என்பது முதல் உறுப்பு a = 2 மற்றும் பொது வித்தியாசம் d = 2 உள்ள ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையாகும். ஏனெனில், அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசம் சமம் 4 - 2 = 2, 6 - 4 = 2, 8 - 6 = 2... 

பெரும்பாலான நடைமுறை வாழ்க்கைச் சூழல்கள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைகின்றன.

குறிப்பு

• கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் எந்த இரு தொடர்ச்சியான உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசம் மாறாத எண்ணாக இருக்கும். இந்த மாறாத எண் “பொது வித்தியாசம்” என அழைக்கப்படுகிறது. 

• ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் முடிவுறு எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் அமையுமானால் அது முடிவுறு கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனப்படும். ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் அமையுமானால் அது முடிவுறா கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனப்படும்.

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றும் பொது வித்தியாசம் (Terms and Common Difference of an A.P.) 

1. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் உறுப்புகளைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

t1 = a = a + (1 −1)d , t2 = a + d = a + (2 −1)d , t3 = a + 2d = a + (3 −1)d , t4 = a + 3d = a + (4 −1)d , . . .

பொதுவாக tn எனக் குறிக்கப்படும் n-வது உறுப்பானது tn  = a + (n −1)d. என எழுதப்படுகிறது.

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n -வது உறுப்பு tn எனில், tn  = a + (n −1)d. இங்கு a என்பது முதல் உறுப்பு, d என்பது பொது வித்தியாசம்.

2. பொதுவாக ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் பொது வித்தியாசம் காண நாம் இரண்டாம் உறுப்பிலிருந்து முதல் உறுப்பைக் கழிக்க வேண்டும் (அ) மூன்றாம் உறுப்பிலிருந்து இரண்டாம் உறுப்பைக் கழிக்க வேண்டும் என்பது போலத் தொடரலாம். 

உதாரணமாக, t1 = a, t2 = a + d

t2 − t1 = (a + d ) −a = d

இதுபோலவே, t2 = a +d, t3 = a + 2d,...

t3 − t2 = (a + 2d) −(a + d ) = d

பொதுவாக, d = t2 −t1 = t3 − t2 = t4 − t3 = ....

எனவே, d = tn − tn−1 , n = 2, 3, 4,...

முன்னேற்றச் சோதனை

1. கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் தொடர்ச்சியான இரு உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள வித்தியாசம் ________________.

2. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு a மற்றும் பொது வித்தியாசம் d எனில், அதன் - 8-வது உறுப்பு ________________.

3. tn என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு எனில், t2n - tn -யின் மதிப்பு ________________.

பின்வரும் கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளின் பொது வித்தியாசம் காண முயல்வோம். 

(i) 1, 4, 7, 10,....

d = 4 -1 = 7 – 4 = 10 – 7 = ... = 3 

(ii) 6, 2, -2, -6,...

d = 2 - 6 = -2 - 2 = -6 -(-2) = ... = -4

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

பொது வித்தியாசமானது மிகை எண்ணாகவோ, குறை எண்ணாகவோ அல்லது பூச்சியமாகவோ அமையலாம்.

சிந்தனைக் களம்: tn என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n -வது உறுப்பு எனில் tn+1 - tn-1 -யின் மதிப்பு ___________.

எடுத்துக்காட்டு 2.23 

பின்வரும் தொடர் வரிசைகள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையா, இல்லையா எனச் சோதிக்க.

(i) x + 2, 2x + 3, 3x + 4,….

(ii) 2, 4, 8, 16,...

(iii) 3√2, 5√2, 7√2, 9√2,...

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசையானது கூட்டுத் தொடர்வரிசை என நிரூபிக்க வேண்டுமானால், அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளனவா என சோதித்தால் போதுமானது. 

(i) t2 -t1 = (2x + 3) − (x + 2) = x + 1

t3 -t2 = (3x + 4) − (2x + 3) = x + 1

t2 - t1 = t3 − t2

இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளது. எனவே, x + 2, 2x + 3, 3x + 4,... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும். 

(ii) t2 - t1 = 4 − 2 = 2

t3 - t2   = 8 − 4 = 4

t2 - t1 ≠ t3 −t2

இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக இல்லை. எனவே, 2, 4, 8, 16, ... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை அல்ல. 

(iii) t2 - t1 = 5√2 − 3√ 2 = 2√ 2

t3 - t2 = 7√2 − 5√ 2 = 2√ 2

t2 –t1 = t3 – t2

இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாக உள்ளது. எனவே, 3√2, 5√2, 7√2, 9√2,... என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.24 

முதல் உறுப்பு 20 ஆகவும் பொது வித்தியாசம் 8 ஆகவும் கொண்ட கூட்டுத் தொடர்வரிசையை எழுதவும்.

தீர்வு 

முதல் உறுப்பு a = 20; பொது வித்தியாசம் d = 8

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, a + d, a + 2d,  a + 3d,... 

இந்த நிகழ்வில் நாம் பெறுவது 20, 20 + 8, 20 + 2(8), 20 + 3(8),... 

எனவே, தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை 20, 28, 36, 44, ... ஆகும்.

குறிப்பு

பொது வித்தியாசம் பூச்சியமாக கிடைக்கும் கூட்டுத் தொடர்வரிசை மாறிலிக் கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனப்படும்.

செயல்பாடு 4 

இங்கு ஐந்து பெட்டிகள் உள்ளன. நீங்கள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு எண்ணைத் தேர்வு செய்து ஐந்து வெவ்வேறு கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளை உருவாக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.25 

3, 15, 27, 39,... என்ற தொடர்வரிசையின் 15-வது, 24-வது மற்றும் n -வது உறுப்பு (பொது உறுப்பு) காண்க. 

தீர்வு 

முதல் உறுப்பு a = 3 மற்றும் பொது வித்தியாசம் d = 15 - 03 = 12. 

முதல் உறுப்பு a, பொது வித்தியாசம் d ஆக உள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n - வது உறுப்பு

tn = a + (n −1)d என நாம் அறிவோம்.

t15   = a + (15 −1)d 

= a + 14d = 3 + 14 (12) = 171

(இங்கு a  = 3 மற்றும் d = 12) 

t24 = a + (24 −1)d = a + 23d = 3 +23(12) = 279 

n -வது உறுப்பு (பொது உறுப்பு) tn = a + (n − 1)d

tn = 3 + (n −1)12

tn = 12n − 9

குறிப்பு

ஒரு முடிவுறு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் முதல் உறுப்பு a, கடைசி உறுப்பு l எனில், அக்கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n = ([l-a] / d) +1. ஏனெனில், l = a + (n −1) d  

எடுத்துக்காட்டு 2.26 

3,6,9,12,...., 111 என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க?

தீர்வு

முதல் உறுப்பு a = 3; பொது வித்தியாசம் d = 6 – 3 = 3; கடைசி உறுப்பு l = 111

எனவே, இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 37 உறுப்புகள் உள்ளன.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. மாறிலிக் கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் பொது வித்தியாசம் ______

2. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு a கடைசி உறுப்பு l எனில் அத்தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ____________

எடுத்துக்காட்டு 2.27 

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 7-வது உறுப்பு -1 மற்றும் 16 -வது உறுப்பு 17 எனில், அதன் பொது உறுப்பைக் காண்க. 

தீர்வு 

t1, t 2 ,t 3 , t 4,... என்பது தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்க. 

t7 = −1 மற்றும் t16 = 17 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 

a + (7 −1)d = −1 மற்றும் a + (16 −1)d = 17

a + 6d = −1 ...(1)

a + 15d = 17 ...(2)

சமன்பாடு (2) - லிருந்து சமன்பாடு (1) ஐ கழிக்க, நாம் பெறுவது 9d = 18-லிருந்து d = 2. d = 2 எனச் சமன்பாடு (1)-யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, a + 12 = -1. எனவே a = -13 

ஆகவே, பொது உறுப்பு tn = a + (n −1)d

= −13 + (n −1) × 2 = 2n −15

எடுத்துக்காட்டு 2.28 

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் l, m மற்றும் n ஆவது உறுப்புகள் முறையே x, y மற்றும் z எனில், பின்வருவனவற்றை நிரூபிக்க.

(i) x (m − n ) + y (n − l ) + z (l − m) = 0 

(ii) (x − y )n + (y − z )l + (z− x )m = 0 

தீர்வு 

(i) முதல் உறுப்பு a மற்றும் பொது வித்தியாசம் d என்க. t1 = x, tm = y, tn = z எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பொது உறுப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது, 

a + (l −1)d = x ...(1)

a + (m −1)d = y ...(2)

a + (n −1)d = z ...(3)

x (m − n ) + y(n − l ) + z (l −m)

= a [(m −n ) + (n − l ) + (l −m )] + d [(m −n)(l − 1) + (n − l )(m −1) + (l −m)(n −1)] = a [0] +d [lm − ln −m + n + mn − lm −n + l +ln − mn −l + m]

=a(0) + d(0) = 0

(ii) சமன்பாடு (1) -லிருந்து (2), (2) -லிருந்து (3), (3) -லிருந்து (1) ஐக் கழித்தால் நாம் பெறுவது,

x − y = (l −m) d

y− z = (m −n) d

z −x = (n −l) d

(x − y ) n + (y − z ) l + (z − x) m = [(l −m) n + (m −n ) l + (n −l) m] d 

= [ln − mn + lm − nl + nm − lm] d = 0

குறிப்பு

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில், 

• ஒவ்வோர் உறுப்புடன் ஒரு மாறாத எண்ணைக் கூட்டினாலோ அல்லது கழித்தாலோ கிடைக்கும் புதிய தொடர்வரிசையும் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையாகும். 

• ஒவ்வோர் உறுப்பையும் ஒரு பூச்சியமற்ற மாறிலியால் பெருக்கினாலோ அல்லது வகுத்தாலோ கிடைக்கும் புதிய தொடர்வரிசையும் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையாகும். 

• ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டால் அந்த மூன்று உறுப்புகளை நாம் a - d, a மற்றும் a + d என எடுத்துக்கொள்ளலாம். இங்குப் பொது வித்தியாசம் d ஆகும். 

• ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அடுத்தடுத்த நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டால் அந்த நான்கு உறுப்புகளை நாம் a - 3d , a -d , a + d மற்றும் a + 3d என எடுத்துக்கொள்ளலாம். இங்குப் பொது வித்தியாசம் 2d ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.29 

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அடுத்தடுத்த நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276. அந்த நான்கு எண்களைக் காண்க. 

தீர்வு 

கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த நான்கு எண்களை (a - 3d), (a - d), (a + d) மற்றும் (a + 3d) என எடுத்துக்கொள்வோம். 

நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 என்பதால்,

a − 3d + a − d + a + d + a + 3d = 28

4a = 28 ⇒ a = 7

இதுபோலவே, அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276 என்பதால்,

(a − 3d)2  + (a − d)2  + (a + d)2  + (a + 3d)2 = 276.

a2 − 6ad + 9d2 + a2 − 2ad + d2 +a2 + 2ad +d2 + a2 + 6ad + 9d2 = 276

4a2 + 20d2  =276 ⇒ 4(7)2  + 20d2  = 276. 

d2 = 4  ⇒ d = ± √4 எனில் d = ± 2

a = 7, d = 2 எனில், தேவையான நான்கு எண்கள் 7 - 3(2), 7 - 2, 7 + 2 மற்றும் 7 + 3 (2) அதாவது, 1, 5, 9 மற்றும் 13. 

a = 7, d = -2 எனில், தேவையான நான்கு எண்கள் 13, 9, 5 மற்றும் 1.

எனவே, கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த நான்கு எண்கள் 1, 5, 9 மற்றும் 13. 

மூன்று எண்கள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைவதற்கான நிபந்தனை 

a, b, c என்ற எண்கள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் இருக்குமெனில், b = a + d, c = a + 2d

அதாவது, a + c = 2a + 2d = 2(a + d) = 2b

2(a + d) = 2 b

ஆகவே 2b = a + c 

இதுபோலவே, 2b = a + c, எனில், b - a = c - b எனவே a, b, c ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும்.

ஆகவே, மூன்று பூச்சியமற்ற எண்கள் a, b, c என்பன கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் இருந்தால் மட்டுமே 2b = a + c.

எடுத்துக்காட்டு 2.30 

ஒரு தாய் தன்னிடம் உள்ள ₹207 ஐ கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அமையும் மூன்று பாகங்களாகப் பிரித்துத் தனது மூன்று குழந்தைகளுக்கும் கொடுக்க விரும்பினார். அவற்றில் இரு சிறிய தொகைகளின் பெருக்கற்பலன் ₹4623 ஆகும். ஒவ்வொரு குழந்தையும் பெறும் தொகையினைக் காண்க. 

தீர்வு 

மூன்று குழந்தைகள் பெறும் தொகை கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைவதால் அவற்றை, a –d, a, a + d  என்க. தொகையின் கூடுதல் ₹207 என்பதால் 

(a − d) +a + (a +d) = 207

3a = 207 ⇒ a = 69

இரு சிறிய தொகைகளின் பெருக்கற்பலன் 4623 என்பதால்

(a − d) a = 4623

(69 − d) 69 = 4623 

d = 2

எனவே, மூன்று குழந்தைகளுக்கும் தாய் பிரித்துக் கொடுத்த தொகை

₹(69−2), ₹69, ₹(69+2). அதாவது, ₹67, ₹69 மற்றும் ₹71.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் 3-ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் புதிய கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது வித்தியாசம் _______________.

2. a, b, c என்ற மூன்று எண்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும் என இருந்தால் மட்டுமே ______________.