யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை (Euclid's Division Algorithm)

முந்தைய பகுதியில், நாம் யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளைப் படித்தோம். தற்போது யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் படிக்க உள்ளோம். Algorithm என்ற ஆங்கில வார்த்தைக்கு வழிமுறை அல்லது படிமுறை என்பது பொருளாகும். Algorithm என்ற வார்த்தை 9 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பாரசீக நாட்டைச் சார்ந்த கணித மேதை அல் - கவாரிஸ்மி என்பவரின் பெயரிலிருந்து வந்தது. வழிமுறை (Algorithm) என்பது நமக்குத் தேவையான முடிவினைப் பெறும் வரையில் ஒரு படிநிலையில் பெறும் முடிவுகளை அதற்கு அடுத்த படிநிலையில் பயன்படுத்தும் வகையில் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட தொடர்ச்சியான படிநிலைகளாகும். 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி இரு மிகை முழுக்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை (மீ.பொ.வ) எளிய முறையில் கண்டறியலாம்.

தேற்றம் 2

a மற்றும் b என்பன a = bq + r, என அமையும் மிகை முழுக்கள் எனில், a மற்றும் b ஆகியவற்றின் அனைத்துப் பொது வகுத்திகளும் முறையே b மற்றும் r ஆகியவற்றின் பொது வகுத்திகளுக்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் இதன் மறுதலையும் உண்மை . 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை 

a மற்றும் b, a > b என்ற இரு மிகை முழுக்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் காண, 

படி 1: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின் படி a = bq + r ; 0 ≤ r < b. இங்கு q என்பது ஈவு, r என்பது மீதி. r = 0 எனில் a மற்றும் b -யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி b ஆகும். 

படி 2:  அவ்வாறில்லையெனில், யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி b ஐ r ஆல் வகுக்க நாம் பெறுவது b = rq1 + r1, 0 ≤ r1 < r.

படி 3: r1 = 0 எனில், a மற்றும் b ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி r ஆகும். 

படி 4: அவ்வாறில்லையெனில் மீதி பூச்சியம் வரும் வரை மீண்டும் மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பூச்சியம் மீதியாக வரும் நிலையில் அமையும் வகுத்தியானது a மற்றும் b-யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும்.

குறிப்பு 

• மேற்கண்ட வழிமுறையில் நிச்சயம் ஏதாவது ஒரு படிநிலையில் மீதி பூச்சியமாகும். ஆகவே, இவ்வழிமுறை நிச்சயம் முடிவு பெறும். • பூச்சியம் மீதியாக வரும் வரை யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்த வேண்டும்.  

• a, b என்ற இரு மிகை முழுக்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ) (a,b) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

• மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது மீப்பெரு பொதுக் காரணி எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

முன்னேற்றச் சோதனை

1. யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையானது மீதி _____ வரும் வரை யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதாகும். 

2. k, k என்ற இரு சமமான மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ ----------------.

விளக்கம் 1

மேற்கண்ட வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி இரு மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ கண்டறிவோம். a = 273 மற்றும் b = 119 ஆகியவை இரு மிகை முழுக்கள் என்க. a > b . 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 273 ஐ 119 ஆல் வகுக்கும் போது நாம் பெறுவது,

273 = 119 × 2 + 35                      ….……(1)

மீதி 35 ≠ 0. 

எனவே, யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையை வகுத்தி 119 மற்றும் மீதி 35 ஆகியவற்றுக்குப் பயன்படுத்தும்போது நாம் பெறுவது,

119 = 35 × 3 + 14 ….…....(2)

மீதி 14 ≠ 0.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையை வகுத்தி 35 மற்றும் மீதி 14 ஆகியவற்றுக்குப் பயன்படுத்தும்போது நாம் பெறுவது, 

35 = 14 × 2 + 7            ….…(3)

மீதி 7 ≠ 0. 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையை வகுத்தி 14 மற்றும் மீதி 7 ஆகியவற்றுக்குப் பயன்படுத்தும்போது நாம் பெறுவது,

14 = 7 × 2 + 0            ….……(4) 

இந்தப் படி நிலையில் மீதி = 0 . வகுத்தி = 7. 

பூச்சியம் மீதியாகக் கிடைப்பதால் இந்நிலையில் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை நிறைவு பெறும். 

எனவே, 273,119-யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி(மீ.பொ.வ) = 7 

எடுத்துக்காட்டு 2.4 

210 மற்றும் 55 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325, என்ற வடிவில் எழுதினால் x -யின் மதிப்புக் காண்க. 

தீர்வு 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.

210 = 55 × 3 + 45

55 = 45 × 1 + 10

45 = 10 × 4 + 5

10 = 5 × 2 + 0

மீதி = 0 

ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 -யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,

55x = 330

x = 6

எடுத்துக்காட்டு 2.5 

445 மற்றும் 572 -ஐ ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் வகுக்கும்போது முறையே மீதி 4 மற்றும் 5 –ஐ தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணைக் கண்டறிக. 

தீர்வு

445 மற்றும் 572 ஐ வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி 4 மற்றும் 5 எனில், நமக்குத் தேவையான எண் 445 - 4 = 441, மற்றும் 572 - 5 = 567 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகத்தான் இருக்கும்.

எனவே, நாம் 441 மற்றும் 567 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ கண்டறிவோம். யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையின்படி நாம் பெறுவது,

567 = 441 × 1 + 126

441 = 126 × 3 + 63

126 = 63 × 2 + 0 

ஆகவே 441 மற்றும் 567 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 63 ஆகும். எனவே தேவையான எண் 63 ஆகும்.

செயல்பாடு 1 

இரு மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ காண இந்தச் செயல்பாடு உதவுகிறது. முதலில் நாம் பின்வருவனவற்றை உற்று நோக்குவோம்.

(i) கொடுக்கப்பட்ட எண்களை நீள அகலங்களைக் கொண்ட செவ்வகம் ஒன்றை உருவாக்குக. 

(ii) இந்தச் செவ்வகத்தைச் சிறு சதுரங்களைப் பயன்படுத்தி நிரப்ப முயற்சி செய்க. 

(iii) 1 × 1 சதுரத்தை வைத்து முயற்சி செய்க; 2 × 2 சதுரத்தை வைத்து முயற்சி செய்க; 3 × 3 சதுரத்தை வைத்து முயற்சி செய்க; இதுபோலத் தொடர்க. 

(iv) இவ்வாறு நிரப்பும்போது முழுச் செவ்வகத்தையும் நிரப்பக்கூடிய மிகப் பெரிய சதுரத்தின் பக்கமே அவ்வெண்களின் மீ.பொ.வ ஆகும். 

(v) (அ) 12,20 (ஆ) 16,24 (இ) 11,9 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க. 

தேற்றம் 3

a மற்றும் b என்பன இரு மிகை முழுக்கள் மற்றும் a > b எனில், 

(a, b) -யின் மீ.பொ.வ = (a - b,b). -யின் மீ.பொ.வ

மேற்கண்ட செயற்பாட்டில் கூறப்பட்ட படிநிலைகளைக் கொண்டு பின்வரும் எண்களின் மீ.பொ .வ காண்க. 

(i) 90,15 

(ii) 80,25 

(iii) 40,16 

(iv) 23,12 

(v) 93,13

செயல்பாடு 2

கொடுக்கப்பட்ட இரு மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ காண உதவும் மற்றொரு செயல்பாடு இதுவாகும்.

(i) கொடுக்கப்பட்ட இரு எண்களில் சிறிய எண்ணைப் பெரிய எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும். 

(ii) தற்போது கிடைத்த எண்ணையும், சிறிய எண்ணையும் எடுத்துக்கொண்டு இவ்விரு எண்களில் சிறிய எண்ணைப் பெரிய எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும். 

(iii) இவ்வாறு பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைத் தொடர்ந்து கழிக்கவும். 

(iv) அவ்விரு எண்களும் சமமாகும்போது இச்செயல் முறையை நிறுத்தவும். 

(v) படிநிலை (iv)-ல் சமமாக வந்துள்ள எண்ணே கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் மீ.பொ.வ ஆகும். 

மூன்று எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி

பின்வரும் செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையின் மூலம் மூன்று மிகை முழுக்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் (மீ.பொ.வ) காண இயலும். 

a, b, c என்பன கொடுக்கப்பட்ட மிகை முழுக்கள் என்க. 

(i) a, b -யின் மீ.பொ.வ காண்க. அதை d எனக் கொள்க.

d = (a, b) 

(ii) d மற்றும் c -யின் மீ.பொ.வ காண்க

இந்த மீப்பெரு பொது வகுத்தியே கொடுக்கப்பட்ட மூன்று மிகை முழுக்கள் a, b, c -யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6 

396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று எண்களின் மீ.பொ.வ காண, நாம் முதலில் முதல் இரு எண்களின் மீ.பொ.வ காண்போம். 

396 மற்றும் 504 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண, 

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 504 = 396 × 1 + 108

இங்கு மீதி 108 ≠ 0 

மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 396 = 108 × 3 + 72

இங்கு மீதி 72 ≠ 0, 

மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 108 = 72 × 1 + 36

இங்கு மீதி 36 ≠ 0, 

மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 72 = 36 × 2 + 0

இங்கு மீதி = 0. எனவே 396 மற்றும் 504-யின் மீ.பொ.வ 36 ஆகும். 636 மற்றும் 36 -யின் மீ.பொ.வ காண, யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 636 = 36 × 17 + 24

இங்கு மீதி 24 ≠ 0 

மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 36 = 24 × 1 + 12

இங்கு மீதி 12 ≠ 0 

மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது 24 = 12 × 2 + 0 

இங்கு மீதி = 0. எனவே, 636 மற்றும் 36 -யின் மீ.பொ.வ = 12 

எனவே 396, 504 மற்றும் 636 -யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 12 ஆகும்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

இரு மிகை முழுக்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 1 எனில், அவ்விரு எண்களும் சார்பகா எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.