குறுக்கு வெட்டிகள்

குறுக்கு வெட்டிகள்

படம் 5.13 ஐ உற்று நோக்குக. இதில், m மற்றும் n என்பன ஏதேனும் இரு இணையில்லாக் கோடுகள் மற்றும் l என்பது அவ்விரு கோடுகளையும் முறையே A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் வெட்டும் மற்றுமொரு கோடு ஆகும். இவ்வாறு வெட்டும் கோட்டினை, நாம் குறுக்குவெட்டி என்று கூறுகிறோம். எனவே, இரு கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டும் ஒரு கோடு குறுக்குவெட்டி எனப்படும். இக்கருத்தை நாம் எத்தனை கோடுகளுக்கு வேண்டுமானாலும் விரிவுபடுத்தலாம்.

பின்வரும் படம் 5.14 ஐக் காண்க. (i) மற்றும் (ii) ஆகிய இரு படங்களிலும் l என்பது மற்ற கோடுகளுக்குக் குறுக்குவெட்டியாக அமையுமா எனச் சரிபார்க்க.

சிந்திக்க 

கொடுக்கப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறுக்கு வெட்டிகளை வரைய இயலுமா?

படம் 5.14 (i) இல் l ஆனது, m மற்றும் n கோடுகளுக்குக் குறுக்குவெட்டி அல்ல. ஆனால் m. மற்றும் o, n  மற்றும் o ஆகியவைகளுக்குக் குறுக்குவெட்டியாகும்.

படம் 5.14 (ii) இல் l ஆனது மற்ற கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டவில்லை . ஆகவே, l ஆனது ஒரு குறுக்குவெட்டி அல்ல.

இவற்றை முயல்க

1. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோடுகளுக்கு, முடிந்த அளவு குறுக்குவெட்டிகளை வரைக.

(i) p, q, r, s, t மற்றும்  u என்பவை  l மற்றும்  n ன் குறுக்குவெட்டிகள் 

(ii) a, b, c மற்றும் d என்பவை m மற்றும் p c, d, e, f, g, h மற்றும் i aஎன்பவை l என்பவை n ன் குறுக்குவெட்டிகள்

2. மேற்கண்ட கோடுகளுக்குக் குறுக்குவெட்டியாக அமையாத ஒரு கோட்டை வரைக. 

m என்பது  l மற்றும்  n ன் குறுக்குவெட்டி அல்ல

m மற்றும் p என்பவை  l மற்றும்  n ன் குறுக்குவெட்டி அல்ல

3. கீழ்க்காணும் கோடுகளுக்கு எத்தனை குறுக்குவெட்டிகள் வரைய இயலும்?

கணக்கிட முடியாத குறுக்குவெட்டிகளை பின்வரும் கோடுகளுக்கு வரையலாம்

1. குறுக்குவெட்டியால் அமையும் கோணங்கள்

இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி சந்திக்கும்போது வெட்டும் புள்ளிகளில் எட்டுக் கோணங்கள் படம் 5.15 இல் உள்ளவாறு அமைகின்றன.

∠1, ∠2; ∠3, ∠4; ∠5, ∠6; ∠7, ∠8 என்பவை நேரிய கோண இணைகள் என்பது தெளிவு. மேலும் சில நேரிய கோண இணைகளை  உன்னால் காண இயலுமா?

மேலும் ∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7, ∠6, ∠8 என்பவை குத்தெதிர்க் கோணங்கள்.

படம் 5.15 காண்பிக்கப்பட்டுள்ள கோணங்களைப் பின்வருமாறு பலவகைகளாக வகைப்படுத்த இயலும். 

ஒத்த கோணங்கள்

∠1 மற்றும் ∠5 ஆகிய கோணங்கள் குறுக்குவெட்டி l இன் வலப்பக்கம் அமைந்துள்ளன. இதில் ∠1 ஆனது கோடு m இன் மேற்புறமும், ∠5 ஆனது கோடு n இன் மேற்புறமும் அமைந்துள்ளன.

மேலும், ∠2 மற்றும் ∠6 என்ற கோணங்கள் குறுக்குவெட்டி l இன்  இடப்பக்கம் அமைந்துள்ளன. இவற்றில் ∠2 ஆனது கோடு m இன் மேற்புறமும், ∠6 ஆனது கோடு n இன் மேற்புறமும் அமைந்துள்ளதைக் காணலாம். (படம்5.16)

இதே போன்று, கோணங்கள் ∠3 மற்றும் ∠7 ஆகியவை குறுக்குவெட்டி l இன் இடப்பக்கம் அமைந்துள்ளன. இவ்விரண்டில் ∠3 ஆனது கோடு m இன் கீழ்ப்புறமும், ∠7 ஆனது கோடு n இன் கீழ்ப்புறமும் அமைந்துள்ளதைக் காணலாம்.

கோணங்கள் ∠4, ∠8 ஆகியவை குறுக்குவெட்டி l இன் வலப்புறம் அமைந்துள்ளதைக் காணலாம். இவற்றில் ∠4 ஆனது கோடு m இன் கீழ்ப்புறமும், ∠8 ஆனது கோடு n இன் கீழ்ப்புறமும் அமைந்துள்ளன. ஆகவே, வெவ்வேறு முனைகளைக் கொண்ட சோடிக் கோணங்கள் குறுக்குவெட்டி l இக்கு ஒரே பக்கத்திலும் (இடம் அல்லது வலம்) m மற்றும் n கோடுகளுக்கு மேற்புறம் அல்லது கீழ்ப்புறம் அமைந்துள்ளன. இத்தகைய கோணச் சோடிகள் ஒத்த கோணங்கள் என அழைக்கப்படும். 

ஒன்றுவிட்ட உட்கோணங்கள்

∠3, ∠5 மற்றும் ∠4, ∠6 எனப் பெயரிடப்பட்ட கோணங்கள், குறுக்கு வெட்டி l இன் இருபுறமும் மற்றும் m மற்றும் n கோடுகளுக்கு இடையிலும் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. இவ்வகை கோணங்கள் ஒன்று விட்ட உட்கோணங்கள் எனப்படும்.

ஒன்றுவிட்ட வெளிக் கோணங்கள்

குறுக்குவெட்டி l இன் எதிர்ப்புறங்களிலும், கோடுகள் m மற்றும் n க்கு வெளிப்புறமும் குறிக்கப்பட்டுள்ள ∠1, ∠7 மற்றும் ∠2, ∠8 ஆகிய கோணங்கள் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணங்கள் எனப்படும்.

நாம் மேலும் சில கோண சோடிகளைப் பார்க்கலாம்.

∠3, ∠6 மற்றும் ∠4, ∠5 என்ற கோணங்கள் குறுக்குவெட்டி l இன் ஒரே பக்கத்திலும், கோடுகள் m மற்றும் n க்கு இடையிலும்  அமைந்துள்ளன. இக்கோணங்கள் கோடுகள் m மற்றும் n களின் உட்புறத்திலும் குறுக்கு வெட்டி l இக்கு ஒரே பக்கத்திலும் அமைந்துள்ளன. இக்கோணங்கள் குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கம் அமைந்த உட்கோணங்கள் எனப்படும்.

∠1, ∠8 மற்றும் ∠2, ∠7 என்ற கோணங்கள் குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்திலும் கோடுகள் m மற்றும் n க்கு வெளிப்புறமும் அமைந்துள்ளன. இக்கோணங்கள் கோடுகள் m மற்றும் n களின் வெளிப்புறத்திலும் குறுக்குவெட்டி l இக்கு ஒரே பக்கத்திலும் அமைந்துள்ளன. இக்கோணங்கள் குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கம் அமைந்த வெளிக்கோணங்கள் எனப்படும்.

மேற்குறிப்பிடப்பட்ட கோணங்கள் முறையே ஒத்த உட்கோணங்கள் (co-interior), ஒத்த வெளிக் கோணங்கள் (co-exterior) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கட்டடக்கலையின் அடிப்படையில் ஒரு கட்டமைப்பின் சமச்சீர்தன்மை மற்றும் தாங்கும்  திறன் ஆகியவற்றை உறுதி செய்ய ஒத்த கோணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தளத்தின் சமச்சீர்தன்மையை உறுதி செய்வதில் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தூண்கள் இணையானவையா, கட்டமைப்பில் ஏதேனும் குறைபாடு உள்ளதா மற்றும் நிலைத்தன்மை போன்றவற்றை உறுதிப்படுத்த ஒன்றுவிட்ட உட்கோணங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்த உட்கோணங்களும், விட்டங்களும் இணையாக உள்ளனவா என காண்பதற்கும், மொத்த கட்டமைப்பிற்கு இவ்விட்டங்கள் உறுதுணையாக உள்ளனவா என காண்பதற்கும் உதவுகின்றன. சுவர்கள் நேராக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்பதில் குறுக்கு வெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்த வெளிக்கோணங்கள் பயன்படுகின்றன.

2. இணை கோடுகளில் குறுக்குவெட்டி உருவாக்கும் கோணங்கள்

வெட்டிக்கொள்ளும் கோடுகளில் குறுக்குவெட்டி உருவாக்கும் பல்வேறு வகையான கோணங்களை அறிந்துகொண்டோம். நாம் இப்போது, பின்வரும் செயல்பாடுகளின் மூலம் ஒரு குறுக்குவெட்டியானது இணை கோடுகளை வெட்டும்போது உருவாக்கும் கோணங்களைக் குறித்த ஆர்வமூட்டும் உண்மைகளை காண்போம்.

செயல்பாடு

கீழ்க்காணும் படங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு சோடி ஒத்த கோணங்கள் குறிக்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும். ஒரு கோணம், இணை கோடுகளுக்கு இடையிலும், மற்றொரு கோணம் இணைகோடுகளுக்கு வெளிப்புறமாகவும் அமைந்துள்ளன. மேலும், இரு கோணங்களும் குறுக்குவெட்டிக்கு ஒரே பக்கத்திலும் அமைந்துள்ளன. ஒரு சோடிக் கோணங்கள் அளவிடப்பட்டுச் சமமெனக் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. மீதமுள்ள மூன்று சோடி கோணங்களை அளவீடு செய்து சரிபார்க்க.

மேற்கண்ட செயல்பாட்டில் இருந்து, இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படும்போது, ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் என நாம் முடிவு செய்ய இயலும்.

இவற்றை முயல்க

1. அன்றாட வாழ்வில், இணைகோடுகளை வெட்டும் குறுக்கு வெட்டிகள் பற்றிய நான்கு எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இதேபோல் உங்கள் சுற்றுப்புறத்தில் காணும் இணைகோடுகளை வெட்டும் குறுக்குவெட்டிக்கு மேலும் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளைக் குறிப்பிடுக.

2. x இன் மதிப்பைக் காண்க.

          (i) x° = 125°                 (ii) x° = 48°           (iii) x° = 138°

செயல்பாடு

கீழ்க்காணும் படம் ஒவ்வொன்றிலும் ஒன்றுவிட்ட உட்கோணங்கள் குறிக்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும். இரு கோணங்களும் இணைகோடுகளின் உட்பகுதியிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு எதிரெதிர்ப் பக்கங்களிலும் அமைந்துள்ளன. ஒரு சோடி கோணங்கள் அளவிடப்பட்டுச் சமமெனக் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. மீதமுள்ள மூன்று சோடி கோணங்களை அளவீடு செய்து சரிபார்.

மேற்கண்ட செயல்பாட்டிலிருந்து, இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படும்போது ஒன்றுவிட்ட உட்கோணங்கள் அளவில் சமமாக இருக்கும் என்பதை நாம் முடிவு செய்ய இயலும்.

செயல்பாடு

கீழ்க்காணும் படம் ஒவ்வொன்றிலும் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணங்கள் குறிக்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும். இரண்டு கோணங்களும் இணைகோடுகளின் வெளிப்பகுதியிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு இருபுறத்திலும் அமைந்துள்ளன. ஒரு சோடி கோணங்கள் அளவிடப்பட்டுச் சமமெனக் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. மீதமுள்ள மூன்று சோடிக் கோணங்களை அளவீடு செய்து சரிபார்க்கவும்.

மேற்கண்ட செயல்பாட்டிலிருந்து, இரண்டு இணை கோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படும்போது, ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணங்கள் அளவில் சமம் என்பதை நாம் முடிவு செய்ய இயலும்.

செயல்பாடு

கீழ்க்காணும் படம் ஒவ்வொன்றிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு ஒரே பக்கம் அமைந்த உட்கோணங்கள் குறிக்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும். இரண்டு கோணங்களும் இணை கோடுகளின் உட்பகுதியிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு ஒரே பக்கத்திலும் அமைந்துள்ளன. ஒரு சோடி கோணங்கள் அளவிடப்பட்டு அவற்றின் கூடுதல் 180° என அறியப்பட்டுள்ளது. மீதமுள்ள மூன்று சோடிக் கோணங்களை அளவீடு செய்து சரிபார்க்கவும்.

மேற்கண்ட செயல்பாட்டிலிருந்து இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படும்போது, குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கம் அமைந்த உட்கோணங்கள் மிகை நிரப்பு கோணங்கள் என்பதை நாம் முடிவு செய்ய இயலும்.

செயல்பாடு

கீழ்க்காணும் படம் ஒவ்வொன்றிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு ஒரே பக்கம் அமைந்த வெளிக்கோணங்கள் குறிக்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும். இரண்டு கோணங்களும் இணை கோடுகளின் வெளிப்பகுதியிலும், குறுக்குவெட்டிக்கு ஒரே பக்கத்திலும் அமைந்துள்ளன. ஒரு சோடி கோணங்கள் அளவிடப்பட்டு அவற்றின் கூடுதல் 180° என அறியப்பட்டுள்ளது. மீதமுள்ள மூன்று சோடிக் கோணங்களை அளவீடு செய்து  சரிபார்க்கவும்.

மேற்கண்ட செயல்பாட்டிலிருந்து இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படும்போது, குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கம் அமைந்த வெளிக்கோணங்கள் மிகை நிரப்பு கோணங்கள் என்பதை நாம் முடிவு செய்ய இயலும். குறுக்குவெட்டியில் ஒரேபக்கம் அமைந்த வெளிக்கோணங்களின் கூடுதல் 180° .

இவற்றை முயல்க

1. x இன் மதிப்பைக் காண்க.

 (i) x° = 127°            (ii) x° = 46°

2. x இன் மதிப்பைக் காண்க.

(i) x°= 180 – 33° = 144°

 (ii)  x° = 180 –132° = 48° 

எடுத்துக்காட்டு 5.8 

(i) கோணம் ∠1 இன் ஒத்த கோணத்தை எழுதுக.

(ii) கோணம் ∠3 இன் ஒன்றுவிட்ட உட்கோணத்தை எழுதுக. 

(iii) கோணம் ∠8 இன் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணத்தை எழுதுக.

(iii) கோணம் ∠8 இன் ஒத்த கோணத்தை எழுதுக. 

(v) கோணம் ∠7 இன் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணத்தை எழுதுக. 

(vi) கோணம் ∠6 இன் ஒன்றுவிட்ட உட்கோணத்தை எழுதுக. 

தீர்வு 

(i) கோணம் ∠1 இன் ஒத்த கோணம் ∠5 ஆகும்.

(ii) கோணம் ∠3 இன் ஒன்றுவிட்ட உட்கோணம் ∠5 ஆகும். 

(iii) கோணம் ∠8 இன் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணம் ∠2 ஆகும். 

(iv) கோணம் ∠8 இன் ஒத்த கோணம் ∠4 ஆகும்.

(v) கோணம் ∠7 இன் ஒன்றுவிட்ட வெளிக்கோணம் ∠1 ஆகும். 

(vi) கோணம் ∠6 இன் ஒன்றுவிட்ட உட்கோணம் ∠4 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.9

 (i) b° இன் ஒத்த கோணங்கள் எவை?

(ii) b° இன் கோண அளவு என்ன? 

(iii) எந்தெந்தக் கோணங்கள் 68° அளவுடையவை? 

(iv) எந்தெந்தக் கோணங்கள் 112° அளவுடையவை?

தீர்வு

(i) b° இன் ஒத்த கோணங்கள் d° மற்றும் 68°. 

(ii) கோணம் b° இன் மதிப்பு 68° (ஏனெனில் b° உம், 68° உம் ஒத்த கோணங்கள்) 

(iii) b°, d°, g°, i° மற்றும் k° ஆகியவை 68° மதிப்புடையவை.

(iv) a°, c°, e°,f°, h° மற்றும் j° ஆகியவை 112° மதிப்புடையவை. 

எடுத்துக்காட்டு 5.10

l ஆனது m இக்கு இணை எனில், படத்தில் x மற்றும் y இன் மதிப்புகளைக் காண்க. 

தீர்வு

l ஆனது m. இக்கு இணை எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

y = 2 x [குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்] 

y + 4x = 180° [குறுக்குவெட்டியில் ஒரே பக்கம் அமைந்த உட் கோணங்களின் கூடுதல்] 

2x + 4x = 180° [y = 2x என்பதால்]

6x = 180°

இருபுறமும் 6ஆல் வகுக்க 

6x/6 = 1800 /6  ஆகவே , x = 30°.

இப்போது , y = 2(30°) = 60°.