ஓர் அணியின் மீதான தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் (Elementary transformations of a Matrix): எடுத்துக்காட்டு மற்றும் தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 1.13

என்ற அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

தீர்வு

குறிப்பு

இதுவும் கொடுத்துள்ள அணிக்கு நிரை−ஏறுபடி வடிவமாகும். எனவே நிரை−ஏறுபடி வடிவமானது ஒருமை தன்மையற்றது.

எடுத்துக்காட்டு 1.14

என்ற அணியை நிரை−ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 1.15

பின்வரும் அணிகளுக்கு அணித்தரம் காண்க :

தீர்வு

(i) A =  என்க. A ஆனது 3 × 3 வரிசையுடைய அணி. எனவே ρ(A) ≤ min {3,3} = 3.

உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3.

A −விற்கு ஒரே ஒரு 3 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைதான் உண்டு. அதன் மதிப்பு

= 3 (6 − 6) − 2 (6 − 6) + 5 (3 − 3) = 0 . எனவே, ρ(A) < 3.

அடுத்து 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை தேர்வு செய்வோம். அதில் ஒரு 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை = 3 − 2 = 1 ≠  0. எனவே p(A) = 2.

(ii) என்க. A ஆனது 3 × 4 வரிசையுடைய அணி.

எனவே ρ(A) ≤ min {3, 4} = 3.

உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை

எனவே, ρ(A) < 3 அடுத்து 2−ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்,

ஏனெனில்   = −4 + 9 = 5 ≠  0.

எனவே, ρ(A) = 2.

எடுத்துக்காட்டு 1.16

பின்வரும் ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணிகளுக்கு அணித்தரம் காண்க :

தீர்வு

A =   என்க. A −ஆனது 3 × 3 வரிசையுடைய அணி மற்றும் ρ(A) ≤ 3

மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A| =  = (2) (3) (1) = 6 ≠ 0.

எனவே, ρ(A) = 3.

எனவே இங்கு மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதைக் கூர்ந்து நோக்குக.

 (ii) A =   என்க. A ஆனது 3 × 3 வரிசையுடைய அணி எனவே ρ (A) ≤ 3.

மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A| =   = (−2) (5) (0) = 0

எனவே ρ(A) ≤ 2.

பல இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று

= (−2) (5) = −10 ≠ 0. எனவே, ρ(A) = 2.

இங்கு இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக. மூன்றாவது நிரை பூச்சிய நிரையாகும்.

(iii) A =   என்க. A ஆனது 4 × 3 வரிசையுடைய அணியாகும் மற்றும் ρ(A) < 3.

அனைத்து மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவைகளின் மதிப்பு 0 ஆகும். எனவே ρ(A) < 3.

கடைசி இரு நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும். நிறைய இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று   = (6) (2) = 12 ≠ 0. எனவே, ρ(A) = 2.

இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக. மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.17

என்ற அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றி அணித்தரம் காண்க.

தீர்வு

A =   என்க. தொடக்க நிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது

கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது மற்றும் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே ρ(A) = 2.

எடுத்துக்காட்டு 1.18

என்ற அணியை ஏறுபடி வடிவில் மாற்றி அணித்தரம் காண்க.

தீர்வு

கொடுத்துள்ள அணியை A என்க. தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகளைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது

கடைசி சமான அணியானது நிரை−ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் மூன்று அபூச்சிய நிரைகளை உடையது. எனவே, ρ(A) = 3.

தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகள் ஓர் அணியின் மீது செயல்படுத்துவது என்பது அந்த அணியை முன்புறமாக ஒரு சிறப்பு வகை (special class) அணிகளால் பெருக்குவதாகும். அந்த அணிகள் தொடக்க நிலை அணிகள் (Elementary matrices) எனப்படும்.