வரையறை, தேற்றம், நிரூபணம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் | பூச்சியமற்ற கோவை அணியின் நேர்மாறு (Inverse of a Non−Singular square matrix) - நேர்மாறு அணிகளின் பண்புகள் (Properties of inverse of matrices) | 12th Maths : UNIT 1 : Applications of Matrices and Determinants
3. நேர்மாறு அணிகளின் பண்புகள் (Properties of inverse of matrices)
நேர்மாறு காணத்தக்க அணிகளின் பண்புகள் சிலவற்றையும் அதில் ஒரு சில பண்புகளையும் நிரூபிக்க உள்ளோம்.
தேற்றம் 1.4
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்
(i) |A−1| = 1 / |A|
(ii) (AT)−1 = (A−1)T
(iii) (λ A)−1 = (1 / λ) A−1, இங்கு λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி
நிரூபணம்
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் A−1 காண இயலும். வரையறைப்படி,
AA−1 = A−1A = In … (1)
(i) சமன்பாடு (1) மூலம் கிடைப்பது |AA−1| = |A−1A│= |In|.
அணிக்கோவையின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த |A| |A−1| = |In| = 1.
எனவே, |A−1| = 1 / |A|
(ii) சமன்பாடு (1) − இலிருந்து, (AA−1)T = (A−1A)T = (In)T.
நிரை நிரல் அணியின் வரிசைமாற்று விதிப்படி, (A−1)T AT = AT (A−1)T = In
எனவே, (AT)−1 =(A−1)T.
(iii) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி ஆதலால் சமன்பாடு (1) − இலிருந்து,
எனவே, (λA)−1 = (1 / λ) A−1
தேற்றம் 1.5 (இடது நீக்கல் விதி)
A, B மற்றும் C என்பன n வரிசையுடைய சதுர அணிகள் என்க. A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் AB = AC எனில், B = C.
நிரூபணம்
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி. எனவே A−1 காண இயலும் மற்றும் AA−1 = A−1A = In. AB = AC −இன் இருபுறமும் முன்புறமாக A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A−1(AB) = A−1(AC). அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு மற்றும் அணியின் நேர்மாறு பண்பைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது B = C.
தேற்றம் 1.6 (வலது நீக்கல் விதி)
A, B மற்றும் C என்பன n வரிசையுடைய சதுர அணிகள் என்க. A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் BA = CA எனில், B = C.
நிரூபணம்
A ஆனது பூச்சியமற்ற கோவை அணி. எனவே A−1 காண இயலும் மற்றும் AA−1 = A−1A = In. BA = CA −யின் இருபுறமும் பின்புறமாக A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (BA)A−1 = (CA)A−1. அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு மற்றும் அணியின் நேர்மாறு பண்பைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது B = C.
குறிப்பு
A ஆனது பூச்சியக்கோவை அணி மற்றும் AB = AC அல்லது BA = CA, எனில் B − யும் C − யும் சமமாக இருக்க வேண்டியது இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக,
எனக்கொள்க.
இங்கு |A| = 0 மற்றும் AB = AC ஆனால் B ≠ C என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
தேற்றம் 1.7 (நேர்மாறுகளின் வரிசை மாற்று விதி)
A மற்றும் B என்பன ஒரே வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் AB −யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும் (AB)−1 = B−1A−1.
நிரூபணம்
A மற்றும் B என்பன n வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் என்க. எனவே |A| ≠ 0, |B| ≠ 0, எனவே A−1 மற்றும் B−1 காணமுடியும் மற்றும் அவைகள் n வரிசையுடையனவாக இருக்கும். மேலும் AB மற்றும் B−1A−1 −களின் பெருக்கற்பலன்கள் n வரிசையுடையனவாக இருக்கும். அணிக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலன் விதிப்படி கிடைப்பது |AB| = |A| |B| ≠ 0. எனவே AB −யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும்
(AB) (B−1A−1) = (A(BB−1)) A−1 = (AIn) A−1 = AA−1 = In ;
(B−1A−1) (AB) = (B−1(A−1A))B = (B−1 In)B = B−1B = In.
எனவே (AB)−1 = B−1A−1
தேற்றம் 1.8 (இரட்டிப்பு நேர்மாறு விதி)
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் A−1−யும் பூச்சியமற்ற கோவை அணி மற்றும் (A−1) −1 = A.
நிரூபணம்
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் A−1 காண இயலும்.
|A−1| = 1 / |A| ≠ 0 ⇒ A−1 ஆனது பூச்சியமற்ற கோவை அணியாகும் மற்றும்
AA−1 = A−1A = I.
AA−1 = 1 ⇒ (AA−1)−1 = I ⇒ (A−1) −1 A −1 = I. … (1)
(1)−ன் இருபுறமும் A −ஆல் பின்புறமாக பெருக்கக் கிடைப்பது (A−1)−1 = A.
தேற்றம் 1.9
A என்பது n வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்
(i) (adj A)−1 = adj (A−1) = (1 / |A|) A
(ii) |adj A│ = |A|n−1
(iii) adj (adj A) = |A|n−2 A
(iv) adj (λA) = λ n−1 adj (A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி
(v) |adj (adj A)| = |A|(n−1)2
(vi) (adj A)T = adj (AT)
நிரூபணம்
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் |A| ≠ 0. எனவே
(i) A−1 = (1 / | A|) (adj A) ⇒ adj A = | A| A−1 ⇒ (adj A)−1 = (|A |) A−1)−1 = (1 / |A |) (A−1)-1 = (1 / |A |) A.
A −விற்கு பதில் A−1 –ஐ adj A = | A| A−1 −ல் பிரதியிட adj (A)−1 = | A−1| (A−1)−1 = (1 / |A |) A.
எனவே கிடைப்பது (adj A)−1 = adj (A−1) = (1/|A |) A.
(ii) A(adj A) = (adj A)A = |A|In ⇒ det (A(adj A)) = det ((adj A) A) = det (|A| In)
⇒ |A| |adj A| = |A|n ⇒ |adj A| = |A| n−1
(iii) B என்பது n வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில்
B (adj B) = (adj B) B = |B| In.
B = adj A எனப்பிரதியிடக் கிடைப்பது, (adj A) (adj (adj A)) = |adj A| In.
|adj A| = |A|n−1 ஆதலால், (adj A) (adj (adj A)) = |A|n−1 In.
இருபுறமும் A ஆல் முன்புறமாக பெருக்கக் கிடைப்பது
A ((adj A) (adj (adj A))) = A (|A|n−1 In).
அணிப்பெருக்கலின் சேர்ப்பு விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
(A (adj A)) (adj (adj A)) = A (|A| n−1 In).
எனவே (|A| In) (adj (adj A)) = |A| n−1 A. அதாவது adj (adj A) = |A|n−2 A.
(iv) A −விற்கு λA என adj (A) = |A|A−1 என்பதில் பிரதியிடக் கிடைப்பது
adj(λA) = |λA| (λ.A)−1 = λn |A│ (1/λ) A−1 = λn−1 |A| A−1 = λn−1 adj(A) .
(v) (iii) −ன்படி adj (adj A) = |A|n−2 A. இருபுறமும் அணிக்கோவை காணக் கிடைப்பது
|adj (adj A)| = | | A| n−2 A | = (|A| n−2)n |A| = |A| n2−2+1 = |A|( n−1)2
(vi) A −விற்கு பதில் AT என A−1 = (1 / |A|) adj A என்பதில் பிரதியிடக் கிடைப்பது,
(AT)−1 = (1 / |AT|) adj (AT) எனவே
adj (AT) = |AT| (AT)−1 = |A| (A−1)T = ( |A| A−1) T = (|A| (1 / |A|) adj A)T = (adj A)T.
குறிப்பு
A என்பது 3 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் |A| ≠ 0. தேற்றம் 1.9 (ii) படி கிடைப்பது |adj A| = |A|2 மற்றும் |adj A| ஆனது மிகை. எனவே | A| = ± √ [ |adj A| ].
எனவே
மேலும் தேற்றம் 1.9 (iii) இன் படி கிடைப்பது, A = (1 / |A|) adj (adj A).
எனவே, A ஆனது 3 படி வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை எனில்,
எடுத்துக்காட்டு 1.4
A என்பது ஒற்றை வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி எனில் |adj A| என்பது மிகை என நிறுவுக.
தீர்வு
A என்பது 2m + 1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0, 1, 2, . . . எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் 1.9 (ii) இன் படி கிடைப்பது, |adj A| = |A|(2m+1)−1 = |A|2m.
|A|2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.
எடுத்துக்காட்டு 1.5
adj (A) = எனில், A −ஐக் காண்க.
தீர்வு
|adj (A)| = = 7 (77 − 35) – 7 (−7 − 77) − 7 (−5 − 121) = 1764 > 0.
எனவே
எடுத்துக்காட்டு 1.6
adj A = எனில் A−1 −ஐக் காண்க.
தீர்வு
எடுத்துக்காட்டு 1.7
A என்பது சமச்சீர் அணி எனில் adj A சமச்சீர் அணி என நிறுவுக.
தீர்வு
A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே AT = A மற்றும் தேற்றம் 1.9 (vi) இன் படி கிடைப்பது adj (AT) = (adj A)T ⇒ adj A = (adj A)T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.
தேற்றம் 1.10
A மற்றும் B என்பன n வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் எனில்
adj (AB) = (adj B) (adj A).
நிரூபணம்
A−விற்கு பதில் AB என adj (A) = |A| A−1 −ல் பிரதியிட
adj (AB) = |AB| (AB)−1 = (|B| B−1) (|A| A−1) = adj(B) adj(A).
எடுத்துக்காட்டு 1.8
A = எனில் (AT)−1 = (A−1)T என்ற பண்பை சரிபார்க்க.
தீர்வு
| A| = (2) (7) − (9) (1) = 14 − 9 = 5. எனவே, A−1 =
எனவே,
(1) மற்றும் (2)−லிருந்து கிடைப்பது, (A−1)T = (AT)−1. எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.
எடுத்துக்காட்டு 1.9
எனக்கொண்டு (AB)−1 = B−1A−1 என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு
அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)−1 = B−1A−1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
எடுத்துக்காட்டு 1.10
A = எனில், A2 + xA + yI2 =O2 எனுமாறு x மற்றும் y −ஐ காண்க. இதிலிருந்து A−1 காண்க.
தீர்வு
இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பவை 22 + 4x + y = 0, 31 + 5x + y = 0, 27 + 3x = 0 மற்றும் 18 + 2x = 0
எனவே x = −9 மற்றும் y = 14. பின்பு நமக்குக் கிடைப்பது A2 − 9A + 14I2 = O2.
இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் A−1 −ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A − 9I2 + 14A−1 = O2.
இதிலிருந்து கிடைப்பது