நிரை−ஏறுபடி வடிவம் (Row – Echelon form)

2. நிரை−ஏறுபடி வடிவம் (Row – Echelon form)

தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட அணியினை நிரை−ஏறுபடி வடிவம் எனும் எளிதான வடிவில் மாற்றம் செய்ய முடியும். இவ்வடிவத்தில் அனைத்து உறுப்புகளும் பூச்சியங்களாகப் பெற்ற நிரைகள் இருக்கலாம். அவ்வாறு அனைத்து உறுப்புகளும் பூச்சியமாக உள்ள நிரையினை பூச்சிய நிரை என்கிறோம். ஒரு நிரையில் ஏதேனும் ஓர் உறுப்பு பூச்சியமற்றதெனில், அந்நிரையினை அபூச்சிய நிரை (non−zero row) என்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக   என்ற அணியில் R1 மற்றும் R2 அபூச்சிய நிரைகளாகும். R3 ஆனது பூச்சிய நிரையாகும்.

வரையறை 1.5

E என்ற பூச்சியமற்ற அணியானது ஏறுபடி வடிவில் இருக்க வேண்டுமெனில்,

(i) E −ன் பூச்சிய நிரைகள் அனைத்தும் E−ன் அபூச்சிய நிரைகளுக்கு கீழ் இருக்க வேண்டும். 

(ii) E −ல் ஏதேனும் i ஆவது நிரையில் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது j ஆவது நிரலில் அமைந்தால் i ஆவது நிரையில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்குக் கீழ் வரும் j ஆவது நிரலில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூச்சியங்களாக இருக்க வேண்டும்.

(iii) i ஆவது நிரையில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது (i +1) ஆவது நிரையில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு இடதுபுறத்தில் அமைய வேண்டும்.

குறிப்பு

ஓர் அணியில் அனைத்து பூச்சிய நிரைகளும் அணியின் அடிப்பகுதி நிரைகளாக அமைந்து, எந்தவொரு கீழ்வரிசை−நிரையின் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது அந்நிரைக்கு மேலாக அமைந்த நிரைகள் ஒவ்வொன்றின் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு வலதுபுறமாக அமைந்தால் அவ்வணியானது நிரை−ஏறுபடி வடிவில் இருக்கும்.

பின்வரும் அணிகள் நிரை−ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளன :

அணி (i)−ஐ கருத்தில் கொள்வோம். கடைசி நிரையிலிருந்து ஒவ்வொரு நிரையாக மேல் நிரைக்குச் செல்வோம். மூன்றாவது நிரையானது அபூச்சிய நிரையாகும். இரண்டாவது நிரையில் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது மூன்றாவது நிரலில் அமைந்துள்ளது. மேலும் இந்த உறுப்பானது, முதல் நிரையில் இரண்டாவது நிரலிலுள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு வலதுபுறத்தில் உள்ளது. எனவே இவ்வணியானது ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது.

அணி (ii) –ஐ கருத்தில் கொள்வோம். கடைசி நிரையிலிருந்து ஒவ்வொரு நிரையாகமேல் நிரைக்குச் செல்வோம். எல்லா நிரைகளும் அபூச்சிய நிரைகளாகும். மூன்றாவது நிரையில் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது நான்காவது நிரலில் உள்ளது. இப்பூச்சியமற்ற உறுப்பானது இரண்டாவது நிரையில் மூன்றாவது நிரலில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு வலதுபுறத்தில் உள்ளது. இரண்டாவது நிரையில் உள்ள முதல் பூச்சிய உறுப்பானது மூன்றாவது நிரலில் உள்ளது. இப்பூச்சியமற்ற உறுப்பானது முதல் நிரையில் மற்றும் முதல் நிரலில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு வலதுபுறத்தில் உள்ளது. எனவே இது ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது.

பின்வரும் அணிகள் நிரை−ஏறுபடி வடிவத்தில் இல்லை :

அணி (i) −ஐ கருதுவோம். மூன்றாவது நிரையில் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பானது இரண்டாவது நிரலில் உள்ளது மற்றும் இப்பூச்சியமற்ற உறுப்பானது இரண்டாவது நிரையில் மூன்றாவது நிரலில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு இடதுபுறத்தில் உள்ளது. எனவே இந்த அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் இல்லை.

அணி (ii) −ஐ கருதுவோம். இரண்டாவது நிரையில் முதல் நிரலில் உள்ள பூச்சியமற்ற உறுப்பானது முதல் நிரையில் இரண்டாவது நிரலில் உள்ள பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கு இடதுபுறத்தில் உள்ளது. எனவே இந்த அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் இல்லை.

[aij]m × n  என்ற அணியை ஏறுபடிவ அணியாக சுருக்கும் முறை

Method to reduce a matrix [aij]m × n  to a row – echelon form

படி 1

முதல் நிரையினை ஆய்வு செய்க. முதல் நிரையானது பூச்சிய நிரை எனில் முதல் நிரையை கீழ் உள்ள அபூச்சிய நிரையுடன் இடமாற்ற வேண்டும். a11 ≠ 0 எனில் படி 2− க்குச் செல்ல வேண்டும். அப்படி இல்லையெனில் முதல் நிரையை முதல் நிரலில் பூச்சியமற்ற உறுப்பாக உள்ள கீழ் நிரையுடன் இடமாற்றவேண்டும். முதல் நிரைக்கு கீழே உள்ள நிரையில், முதல் நிரலில் பூச்சியமற்ற உறுப்பு இல்லை எனில் a12 பூச்சியமற்ற உறுப்பா என ஆராய வேண்டும். a12 ஆனது பூச்சியமற்ற உறுப்பு எனில் படி 2 −ஐ பயன்படுத்த வேண்டும். அப்படி இல்லையெனில் முதல் நிரையை அதற்கு கீழே உள்ள ஏதேனும் ஒரு நிரலில் உள்ள இரண்டாவது நிரலில் பூச்சியமற்ற உறுப்பாக உள்ள நிரையுடன் இடமாற்ற வேண்டும். முதல் நிரைக்கு கீழே வரும் எந்த ஒரு நிரையிலும் இரண்டாவது நிரலில் பூச்சியமற்ற உறுப்பு இல்லை எனில் a13 பூச்சியமற்றதா என ஆராய வேண்டும். இதே முறையைப் பின்பற்றி முதல் நிரையில் பூச்சியமற்ற உறுப்பு கிடைக்கும் வரை தொடர வேண்டும். இம்முறையினை சுழுமுனையாக்கல் (pivoting) என்போம். முதல் நிரையில் உள்ள முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பு முதல் நிரையின் சுழுமுனை (pivot) எனப்படும்.

படி 2

முதல் நிரையிலுள்ள சுழுமுனைக்குக் கீழ்வரும் அனைத்து உறுப்புகளையும் தொடக்கநிலை உறுமாற்றங்கள் கொண்டு பூச்சியமாக்க வேண்டும்.

படி 3

அடுத்த நிரையினை முதல் நிரையாகக் கொண்டு படி : 1 மற்றும் படி :2 இவற்றை அதன் கீழ் உள்ள நிரைகளைக் கொண்டு செயற்படுத்தவும். அனைத்து நிரைகளும் முடியும் வரை இச்செயல்முறை மீண்டும் மீண்டும் செயற்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.13

என்ற அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

தீர்வு

குறிப்பு

இதுவும் கொடுத்துள்ள அணிக்கு நிரை−ஏறுபடி வடிவமாகும். எனவே நிரை−ஏறுபடி வடிவமானது ஒருமை தன்மையற்றது.

எடுத்துக்காட்டு 1.14

என்ற அணியை நிரை−ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

தீர்வு