நிலையான அலைகள்

நிலையான அலைகள் (Stationary Waves)

நிலை அலைகளுக்கான விளக்கம்

அலை ஒன்று கடினமான ஒன்றின் மீது மோதும்போது, அது மீண்டெழுந்து வந்து அதே ஊடகத்தில் எதிர்த்திசையில், பழைய அலையுடன் (மோதிய அலை) மேற்பொருந்துவதால் கிடைக்கும் அலை வடிவமே நிலை அலைகள் அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படும். 

ஒரே வீச்சு, ஒரே திசைவேகம் கொண்ட இரு சீரிசை முன்னேறு அலைகள் (கம்பி ஒன்றில் உண்டான) எதிர் எதிர் திசையில் இயங்குகின்றன என்க.

முதல் அலையின் (படு அலை) இடப்பெயர்ச்சி,

இரண்டாவது அலையின் (எதிரொலிப்பு அலை) இடப்பெயர்ச்சி

மேற்பொருந்துதல் தத்துவப்படி, இரு அலைகளும் குறுக்கீடு அடைந்து, தொகுபயன் இடப்பெயர்ச்சி,

சமன்பாடு (11.59) , (11.60) யை (11.61) ல் பொருத்த,

திரிகோணமிதி விதிகளை பயன்படுத்தி (11.62) யை மாற்றி எழுத

இதுவே, நிலை அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படும். இது முன்னோக்கியோ அல்லது  பின்னோக்கியோ நகராது. ஆனால் முன்னேறு அலை அல்லது இயங்கு அலை முன்னோக்கியோ அல்லது பின்நோக்கியோ நகரும். சமன்பாடு (11.63) யை கீழ்க்கண்டவாறு சுருக்கமாக எழுதலாம்.

y(x,t) = Aʹ cos(ωt)

இங்கு, Aʹ = 2Asin(kx), இது அதிர்வுறுக்கம்பியின் குறிப்பிட்ட பகுதி A' வீச்சுடன் தனிச்சீரிசை இயக்கத்திலுள்ளதை குறிக்கிறது. sin(kx) பெருமமாக உள்ள நிலையில், Aʹ  பெரும மதிப்பில் இருக்கும்.

இங்கு m என்பது அரை முழு எண் அல்லது அரை எண் மதிப்புக்கள். வீச்சின் பெரும் மதிப்பு உள்ள நிலையை எதிர்க்கணு என்கிறோம். அலை எண்ணை அலை நீளத்தை பயன்படுத்தி குறிக்கும் போது m ஆவது எதிர் கணுவின் நிலையை கீழ்க்கண்டவாறு குறிக்கலாம்.

m = 0 எனில் பெருமத்தின் நிலை

m = 1 எனில், பெருமத்தின் நிலை

m = 2 எனில் பெருமத்தின் நிலை

என்றவாறு அமையும். 

அடுத்தடுத்த எதிர் கணுக்களுக்கிடையேயான தூரத்தை கீழ்க்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.

Aʹ  ன் பெரும் மதிப்பு வெளியின் சில புள்ளிகளிலும் சிறும மதிப்பு வெளியின் வேறு சில புள்ளிகளிலும் அமையும்.

இங்கு n ஒரு முழு எண் அல்லது முழு எண்மதிப்புகள். எந்தப் புள்ளிகளில் அதிர்வு இல்லையோ (இயக்கம் இல்லையோ) அப்புள்ளிகள் கணு எனப்படும். 

n ஆவது கணுவின் நிலை

n = 0 எனில் சிறுமம் ஏற்படும் நிலை

x0 = 0 

n = 1 எனில் சிறுமம் ஏற்படும் நிலை

x1 = λ /2 

n = 2 எனில் சிறுமம் ஏற்படும் நிலை

x2 = λ 

என்றவாறு அமையும். 

அடுத்தடுத்த கணுக்களுக்கிடையேயான தொலைவைக் கீழ்க்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 11.20

அடுத்தடுத்த எதிர்க்கணு, கணுவிற்கு இடைப்பட்ட தொலைவைக் கணக்கிடுக. 

தீர்வு :

nவது கணுவிற்கு, அடுத்தடுத்த எதிர்க்கணு, கணுவிற்கு இடையேயான தொலைவு

நிலை அலைகளின் பண்புகள்:

(1) இரு திடமான எல்லைகளுக்கிடையே கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அலை. எனவே இது ஊடகத்தில் முன்நோக்கியோ பின்னோக்கியோ நகராது. அதாவது அதனுடைய இடத்தில் நிலையாக இருக்கும். எனவே, இது நிலை அல்லது நிலையான அலைகள் எனப்படுகிறது.

(2) பெரும் வீச்சு நிலையிலுள்ள புள்ளிகள் எதிர்க்கணு எனவும், சுழி வீச்சு நிலையிலுள்ள புள்ளிகள் கணு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. 

(3) அடுத்தடுத்த இரு கணு அல்லது எதிர்க்கணுக்களுக்கிடையேயான தொலைவு λ/2.      

(4) ஒரு கணு, அதற்கு அடுத்த எதிர்க்க ணுவிற்கு இடையேயான தொலைவு λ/4.

(5) நிலையான அலைகளின் வழியே கடத்தப்படும் ஆற்றல் சுழியாகும்.

சுரமானியில் ஏற்படும் நிலைஅலைகள்

சுரம் என்பது ஒலியுடன் தொடர்புடையது. அதனால் சுரமானி என்பது ஒலி தொடர்பானவற்றை அளக்கப்பயன்படும் கருவி. கம்பிகளில் ஏற்படும் நிலையான குறுக்கலைகளின் அதிர்வெண், கம்பியின் இழுவிசை, அதிர்வு நீளம், ஓரலகு கம்பியின் நிறை ஆகியவற்றை காட்சி விளக்கம் செய்து அளக்க பயன்படுத்தும் கருவியாகும்.

எனவே, இக்கருவியை பயன்படுத்தி கீழ்க்கண்ட அளவுகளை அளக்கலாம்.

(a) இசைக்கவை அல்லது மாறு மின்னோட்டத்தின் அதிர்வெண்

(b) கம்பியின் இழுவிசை

(c) தொங்கவிடப்பட்ட பொருளின் நிறை

அமைப்பு: 

சுரமானி என்பது ஒரு மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு மரப்பெட்டி அதன் மீது சீரான உலோகக்கம்பி பொருத்தப்பட்டிருக்கும். கம்பியின் ஒரு முனை ஒரு கொக்கியுடனும், மறுமுனை ஓரு உருளை கப்பி வழியே ஓர் நிறைத்தாங்கியுடனும் படம் 11.34 ல் காட்டியவாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கம்பியின் இழுவிசையை அதிகரிக்க மறுமுனையில் நிறைகள் சேர்க்கப்படுகிறது. இரண்டு நகர்த்தக் கூடிய கூர் முனைகள் கம்பியை கீழே தொட்டவாறு சுரமானியின் பலகை மீது வைக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றிற்கிடையேயானத் தொலைவை மாற்றி அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளத்தை மாற்றலாம்.

செயல்பாடு :

நிலையான குறுக்கலைகள் கம்பியில் ஏற்படுத்தப்படுகிறது. எனவே கூர்முனை P, Q, வில் கணுக்களும், அவற்றிற்கிடையில் எதிர் கணுக்களும் உருவாகின்றன. அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளம் l என்க.

அதிர்வுறும் கம்பியின் அதிர்வெண் f என்க. T கம்பியின் இழுவிசை, μ என்பது ஓரலகு கம்பியின் நிறை எனில், சமன்பாடு (11.13) - லிருந்து நாம் பெறுவது

ρ என்பது கம்பிப் பொருளின் அடர்த்தி, d கம்பியின் விட்டம் எனில் ஓரலகு கம்பியின் நிறை,

எடுத்துக்காட்டு 11.21 

f என்பது கம்பியின் அடிப்படை அதிர்வெண் என்க. கம்பியை l1, l2, l3 நீளம் கொண்ட மூன்று | பகுதிகளாக பிரிக்கும்போது, f1, f2 மற்றும் f3, என்பன முறையே மூன்று பகுதிகளின் அடிப்படை அதிர்வெண்கள் என்க. எனில்

என நிறுவுக. 

தீர்வு: 

ஒரு குறிப்பிட்ட இழுவிசை T, நீள் நிறை µ (ஓரலகு நீளத்திற்கான நிறை)க்கு, அதிர்வெண், அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளத்திற்கு l எதிர்த்தகவில் இருக்கும்.

முதல் அதிர்வுறும் கம்பிக்கு,

இரண்டாவது அதிர்வுறும் கம்பிக்கு,

மூன்றாவது அதிர்வுறும் கம்பிக்கு

ஃமொத்த நீளம்

அடிப்படை அதிர்வெண் மற்றும் மேற்சுரங்கள்

திடமான எல்லைகளை x = 0 மற்றும் x = L ஆக கருதுவோம். கம்பியை மையத்தில் இருந்து ஆட்டி (கிதார் கம்பி) நிலை அலைகள் ஏற்படுத்துக. அந்த நிலை அலைகள் குறிப்பிட்ட அலைநீளத்தை பெற்றிருக்கிறது. எல்லைகளில் வீச்சு குறைந்து மறைவதால், இடப்பெயர்ச்சிகள் கீழ்க்கண்ட நிபந்தனைக்கு உட்பட வேண்டும்.

ஒவ்வொரு கணுவும் λn/2 இடைத்தொலைவில் அமைவதால் நமக்கு n(λn/2) = L, இங்கு n ஒரு முழு எண், L என்பது எல்லைகளின் இடைத்தொலைவு, λn என்பது எல்லைக்குட்பட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் குறிப்பிட்ட அலை நீளமாகும்.

n மதிப்பை சுழியாக கருதினால், அலைநீளம் என்னவாகும்? இது அனுமதிக்கப்படவில்லை ஏன்?

எனவே, குறிப்பிட்ட எல்லைக்கு அனைத்து அலை நீளங்களும் ஏற்படாது, குறிப்பிட்ட அலைநீளம் மட்டுமே ஏற்படும்.

n = 1, முதல் நிலை அதிர்வுக்கு, λn = 2L.

n = 2, 2ம் நிலை அதிர்வுக்கு,

n = 3, 3ம் நிலை அதிர்வுக்கு,

இவ்வாறாக மற்ற n. மதிப்புக்களுக்கும் அமையும். ஒவ்வொரு நிலை அதிர்வுக்குமான, அதிர்வெண் இயல்நிலை அதிவெண் (natural Frequency) எனப்படும். அதை கீழ்க்கண்டவாறு கணக்கிடலாம்.

இந்த இயல் அதிர்வெண்ணின், மிகக் குறைந்த மதிப்பு அடிப்படை அதிர்வெண் (fundamental Frequency) எனப்படும்.

இரண்டாவது இயல் அதிர்வெண் முதல் மேற்சுரம் எனப்படும்.

மூன்றாவது இயல் அதிர்வெண் 2 வது மேற்சுரம் எனப்படும்.

மேலும் இதுபோன்று அமையும் எனவே, n வது இயல் அதிர்வெண்.

இயல் அதிர்வெண்கள், அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் முழு எண் மடங்குகளாக அமையும்போது, அந்த அதிர்வெண்கள் சீரிசைகள் எனப்படும். எனவே, முதல் சீரிசை என்பது f1 = f1 (அடிப்படை அதிர்வெண் முதல் சீரிசை எனப்படும்),

2 வது சீரிசை, f2= 2f1, 3வது சீரிசை f3 = 3f1 மற்றும் பிற.

எடுத்துக்காட்டு 11.22

கிட்டார் இசைக்கருவியிலுள்ள கம்பியின் நீளம் 80 cm, நிறை 0.32 கிராம், இழுவிசை 80 N எனில், ஏற்படும் முதல் நான்கு குறைவான அதிர்வெண்களைக் காண்க. 

தீர்வு : 

அலையின் திசைவேகம்

கம்பியின் நீளம் L = 80 cm = 0.8m 

கம்பியின் நிறை, m = 0.32 g = 0.32 × 10-3kg

எனவே, நீள்நிறை

கம்பியின் இழுவிசை, T = 80 N

அடிப்படை அதிர்வெண் f1 க்கான அலைநீளம் λ1 = 2L = 2 × 0.8 = 1.6 m

அலைநீளம் λ1, விற்கான, அடிப்படை அதிர்வெண்

இதேபோல், இரண்டாவது சீரிசைக்கான, 3 வது 4 வது சீரிசைக்கான அதிர்வெண்கள்

f2 = 2f1 = 559 Hz

f3 = 3f1 = 838.5 Hz

f4 = 4f1 = 1118 Hz

இழுத்துக் கட்டப்பட்ட கம்பியில் ஏற்படும் குறுக்கலைக்கான விதிகள்:

மூன்று விதிகள்

(i) நீளத்திற்கான விதி :

கொடுக்கப்பட்ட கம்பியின், இழுவிசை T (நிலையானது) மற்றும் ஓரலகு நீளத்திற்கான நிறை  μ (நிலையானது) எனில், அதிர்வெண் அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளத்திற்கு எதிர்த்தகவில் அமையும்.

⇒l×f = C,  இங்கு C மாறிலி

(ii) இழு விசைக்கான விதி :

கொடுக்கப்பட்ட அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளம் l (நிலையானது) மற்றும் ஓரலகு நீளத்திற்கான நிறை μ (நிலையானது) எனில் அதிர்வெண் இழுவிசை T இன் இருமடி மூலத்திற்கு நேர்தகவில் அமையும்.

(iii) நிறைக்கான விதி: 

கொடுக்கப்பட்ட அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளம் l (நிலையானது) மற்றும் இழுவிசை T (நிலையானது) எனில் அதிர்வெண், ஓரலகு நீளத்திற்கான நிறை μ இன் இருமடிமூலத்திற்கு எதிர்த்தகவில் அமையும்.