ஒரு கோட்டிற்கும் மற்றும் ஒரு தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் (Angle between a line and a plane)

11. ஒரு கோட்டிற்கும் மற்றும் ஒரு தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் (Angle between a line and a plane)

ஒரு கோட்டிற்கும் மற்றும் ஒரு தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணமானது, தளத்தின் செங்கோட்டிற்கும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தின் நிரப்புக் கோணமாகும்.

என்பது கோட்டின் சமன்பாடு மற்றும் என்பது தளத்தின் சமன்பாடு என்க. எனவே, ஆனது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணையாகவும் என்பது கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்குச் செங்குத்தாகவும் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கும் மற்றும் தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் θ எனில், −க்கும் −க்கும் இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் ஆகும். எனவே, 

ஆகவே, கோட்டிற்கும் தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் 

மற்றும் ax + by + cz = p ஆகியன முறையே கோடு மற்றும் தளத்தின் சமன்பாடுகள் எனில், ஆகும். இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1)−ல் பிரதியிட, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கும் தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் θ கிடைக்கிறது. எனவே, 

குறிப்புரை

 (i) நேர்க்கோடு தளத்திற்குச் செங்குத்து எனில், இந்நேர்க்கோடு தளத்தின் செங்கோட்டிற்கு இணையாகும். ஆகவே, ஆனது −க்கு இணையாகும். எனவே,   இங்கு, λ ∈ ℝ ஆகும். இதிலிருந்து எனப் பெறுகிறோம்.

 (ii) ஒரு நேர்க்கோடு, தளத்திற்கு இணை எனில், இந்நேர்க்கோடு தளத்தின் செங்கோட்டிற்கு செங்குத்தாகும். எனவே,   =0 ⇒ aa1 + bb1 + cc1 = 0 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6.48

என்ற கோட்டிற்கும் 2x−y+z=5 என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.

தீர்வு

என்ற கோட்டிற்கும், செங்கோட்டு வெக்டர் கொண்ட தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ஆகும்.