பயிற்சி 12.1 : ஈருறுப்புச் செயல்கள்

பயிற்சி 12.1 

1. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் * ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியா எனத் தீர்மானிக்க.

(i) ℝ -ன் மீது a*b = a.|b|

(ii) A = {1,2,3,4,5}-ன் மீது a*b = (a,b)-ல் சிறியது, 

(iii) ℝ -ன் மீது (a*b) = a√b 

2. ℤ -ன் மீது  * என்ற செயலி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ( m ∗ n)= mn + nm : ∀ m, n ∈ ℤ. ஆனது ℤ -ன் மீது அடைவுப் பண்பை பெற்றுள்ளதா?

3.  ℝ -ன் மீது * ஆனது (a* b) = a+b+ab - 7 என வரையறுக்கப்பட்டால் * , ℝ -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், 3*(-7/15)காண்க.

4. A = {a + √5b : a, b ∈ ℤ } என்க. வழக்கமான பெருக்கல் A-ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல்ஆகுமா என பரிசோதிக்க

5. (i) * என்ற ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ℚ-ன் மீது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது இந்த * ஆனது, அடைவுப் பண்பு, பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு ஆகியவற்றை நிறைவு செய்கிறதா எனச் சோதிக்க a ∗ b =  ( a+b / 2); a , b ∈ ℚ

(ii) * ஆனது, சமனிப் பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்பு ஆகியவை, Q-ன் மீதுஉண்மையாகுமா எனச் சோதிக்க. a ∗ b =  ( a+b / 2); a , b ∈ ℚ

6. *என்ற ஈருறுப்புச் செயலி ஆனது A = {a,b,c} என்ற கணத்தின் மீது பரிமாற்று விதிக்கு கட்டுப்பட்டால் பின்வரும் பட்டியலைப் பூர்த்தி செய்க.

7. A = {a, b,c, d} என்ற கணத்தின் மீது * என்ற ஈருறுப்புச் செயலியை பின்வரும் பட்டியலுடன் கருதுக.

இது மாற்றுப்பண்பு மற்றும் சேர்ப்புப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளதா?

8.   என்பவைகள் ஒரே மாதிரியான வகையினை உடைய ஏதேனும் மூன்று பூலியன் அணிகள் எனில்,(i) A ∨ B (ii) A ∧ B (iii) ( A ∨ B)∧ C (iv) ( A ∧ B)∨ C . ஆகியவைகளைக் காண்க .

9.  என்க. * என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க.

* ஆனது M -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில், 

* ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

(ii)   * என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M-ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில், 

* ஆனது M -ன் மீது சமனிப்பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனவும்சோதிக்க. 

10. (i) A = ℚ\{1} என்க. A -ன் மீது * பின்வ ருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. x* y = x + y - xy* ஆனது A-ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A-ன் மீது * ஆனது பரிமாற்று விதி மற்றும் சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க 

(ii) A = ℚ\{1} என்க. A -ன் மீது * பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

x* y = x + y - xy * ஆனது A -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா? அவ்வாறெனில், A -ன் மீது * ஆனது சமனிப்பண்பு மற்றும் எதிர்மறைப் பண்புகளை நிறைவு செய்யுமா எனச்சோதிக்க.