தனிநிலைக் கணிதம் | கணிதவியல் - பூலியன் அணிகள் மீது சில ஈருறுப்புச் செயல்கள் (Some binary operations on Boolean Matrices) | 12th Maths : UNIT 12 : Discrete Mathematics
பூலியன் அணிகள் மீது சில ஈருறுப்புச் செயல்கள் (Some binary operations on Boolean Matrices)
வரையறை 12.3
ஒரு மெய் அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் அத்தகைய அணி பூலியன் அணி எனப்படும்.
குறிப்பாக பூலியன் பதிவுகளான 0 மற்றும் 1, பல்வேறு விதங்களில் வரையறுக்கமுடியும். மின்சார ஓட்டத்தை நிறுத்த அல்லது ஓடச் செய்யும் சாதனத்தில் "ஓடச் செய்தல் மற்றும் நிறுத்துதல்" என்பதனையும், வரைக்கொள்கையில், சேர்ப்பு அணி போன்ற பல இடங்களில் பூலியன் பதிவுகள் 0 மற்றும் 1 பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நாம் அதே வகை பூலியன் அணிகளை விவாதத்திற்கு எடுத்துக் கொள்வோம்.
பூலியன் அணிகளின் தொகுப்பின் மீது பின்வரும் இரு வகையான செயற்பாடுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
A = [aij] மற்றும் B = [bij] என்ற ஒரே வகையான ஏதேனும் இரு பூலியன் அணிகள் என்க. அவைகளின் இணைப்பு v மற்றும் சந்திப்பு ∧ என்றுக் குறிக்கப்பட்டு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
வரையறை 12.4 A மற்றும் B-ன் இணைப்பு
A ∨ B = [aij] ∨ [bij] = [aij ∨ bij] = [cij]
வரையறை 12.5 A மற்றும் B-ன் சந்திப்பு
A ∧ B = [aij] ∧ [bij] = [aij ∧ bij] = [cij]
மேற்கூறியவற்றிலிருந்து , (avb) = {a,b} இல் பெரியது; (a ∧ b) = {a,b} இல் சிறியது என்பது விளங்கும் a,b∈{0,1}
எடுத்துக்காட்டு 12.8
ஆகிய இரண்டும் ஒரே வகையான பூலியன் அணிகள் எனில், A∨B மற்றும் A∧B ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு
B என்பது ஒரே வகையான பூலியன் அணிகளின் தொகுப்பு என்க. இணைப்பு மற்றும் சந்திப்பு B-ன் மீது நிறைவு செய்யக்கூடிய பண்புகளைக் காண்போம்
அடைவுப் பண்பு
A, B ∈ B, A ∨ B = [ aij ] ∨ [bij ] = [ aij ∨ bij ] ∈ B.
ஏனெனில், ( aij ∨ bij ) = 0 அல்லது 1 ∀i , j . எனவே V என்பது B -ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.
சேர்ப்புப் பண்பு
A∨(B∨C) = (A ∨ B) ∨ C, ∀A,B,C ∈ B. எனவே, V என்பது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
சமனிப் பண்பு
∀A ∈ B, ∃ பூச்சிய அணி 0 ∈ B ⋺ A ∨ 0 = 0 ∨ A = A .v-க்கு சமனி உறுப்பு பூச்சிய அணி ஆகும்.
எதிர்மறைப் பண்பு
எந்த ஓர் அணி A ∈ B,-க்கு, AV B = BV A = 0 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்படி B EB என்ற நேர்மாறு அணியைக் காணமுடியாது.
எனவே, எதிர்மறை உறுப்பு B -ல் இருக்காது. இதுபோலவே, சந்திப்பு ∧ என்ற செயலி ஆனது பின்வருபவைகளை நிறைவு செய்யும் என்பதை சரிபார்க்கமுடியும். (i) அடைவுப் பண்பு (ii) பரிமாற்றுப் பண்பு (iii) சேர்ப்புப் பண்பு (iv) சமனி உறுப்பு என்ற அணி ஆகும் (v) எதிர்மறை உறுப்பு இருப்பதை உறுதிப்படுத்த முடியாது.