பாடச்சுருக்கம்

பாடச்சுருக்கம் 

(1) S என்பது வெற்றற்ற கணம் என்க. S-ன் மீது வரையறுக்கப்படும் * என்ற ஈருறுப்புச்செயலியானது S-ல் உள்ள உறுப்புகளின் ஒவ்வொரு வரிசையிட்ட சோடி (a,b)-யுடனும் - S -ல் a* b என்ற ஒரே ஒரு உறுப்பை தொடர்புபடுத்தும் ஒரு விதி ஆகும். 

(2) பரிமாற்றுப் பண்பு: ஒரு வெற்றற்ற கணம் S-ன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி * ஆனது பரிமாற்றுத்தன்மையுடையதாயின் a ∗ b = b ∗ a, ∀a , b ∈ S  என்பது உண்மையாக வேண்டும்.

(3) சேர்ப்புப் பண்பு: ஒரு வெற்றற்ற கணம் S -ன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி * ஆனது சேர்ப்புப் பண்புடையதாயின்,  a ∗ (b ∗c ) = ( a ∗b ) ∗ c , ∀a , b, c ∈ S . 

(4) சமனிப் பண்பு: ∀a ∈ S Ǝ e ∈S E S Ǝ a*e = a = e*a = a இங்கு e என்பது S-ன் சமனி உறுப்பாகும். 

(5) எதிர்மறைப் பண்பு: ∀a ∈ S Ǝ b ∈ S Ǝ S ∈a*b = e மற்றும் b*a = e . இங்கு b ஆனது a-ன்எதிர்மறை உறுப்பு எனப்படும். b = a-1 என நாம் எழுதலாம். 

(6) சமனியின் ஒருமைத்தன்மை (uniqueness) : இயற்கணித அமைப்பில் சமனி உறுப்பு (இருப்பின்) ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்த்து. 

(7) எதிர்மறையின் ஒருமைத்தன்மை (uniqueness) : இயற்கணித அமைப்பில் ஓர் உறுப்பின்எதிர்மறை (இருப்பின்) ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்த்து. 

(8) 0 அல்லது 1 ஐ உறுப்பாக கொண்ட ஒரு மெய் அணிக்கு பூலியன் அணி (Boolean Matrix) என்று பெயர்.

(9) மட்டு எண்கணிதம் : n ஒரு மிகை முழு எண் > 1 என்க. இங்கு n என்பது மட்டு எண்' என அழைக்கப்படும். மற்றும் 6 ஆகிய இரண்டு முழுக்களுக்கு இடையேயுள்ள வித்தியாசம் n-ன் மடங்கு எனில், மட்டு n -ன் அடிப்படையில் a -ம் b -ம் ஒருங்கிசைவு உடையதாகும். வேறுவிதமாகச் கூறினால் a = b (மட்டு n) என்பதன் பொருள் a-b = n k, k ∈ ℤ மற்றும் a ஐ n ஆல் வகுக்கும்பொழுது கிடைக்கும் மீதி 5 ஆனது மிகக் குறைந்த மிகை முழு எண் ஆகும். (0 ≤  b ≤  n - 1)

(10) தர்க்கக் கணிதம் என்பது கணிதக் குறியீடுகள் மூலம் தர்க்க கல்வி அறிவை கற்றல் ஆகும். 

(11) p ஒரு தனிக் கூற்று என்க. p -ன் மறுப்பு என்பது p -ன் மெய் மதிப்பின் எதிர்மறை உடையகூற்றாகும். இதை ¬ p என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். p -ன் மெய்மதிப்பு F எனில், p¬  ன்மெய்மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது F ஆகும். 

(12) p, q ஏதேனும் இரு தனிக் கூற்றுகள் என்க. இவற்றை ‘மற்றும் (and)' என்ற வார்த்தையால்இணைக்கப்படும்பொழுது p மற்றும் q' என்ற கூட்டுக் கூற்றை அடைகிறோம். இதனை p Λ q என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். இதனை p இணையல் (conjunction) q அல்லது p தொப்பி (hat) q எனப் படிக்கலாம். p-ம், ஏ-ம் T ஆக இருக்கும்பொழுது p Λ q -ன் மெய் மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில் அது F ஆகும். 

(13) இரண்டு தனிக் கூற்றுகள் p மற்றும் q-ஐ அல்லது (or) என்ற வார்த்தையால் இணைத்தலால்பெறப்படும் கூட்டுக் கூற்று. p, q -ன் பிரிப்பிணைவு (disjunction) எனப்படும். இதனை p ∨ q என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர். இதனை p பிரிப்பிணைவு (disjunction) q அல்லது p கிண்ணம் (cup)q எனப் படிக்கலாம். p -ம், q-ம் F ஆக இருக்கும்பொழுது p ∨ q -ன் மெய் மதிப்பு F ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது T ஆகும். 

(14) ஏதேனும் p, q என்ற இரு கூற்றுகளின் நிபந்தனைக் கூற்றானது p எனில், q-வை p → q எனக் குறிப்பிடுவர். p-ன் மெய் மதிப்பு T ஆக இருந்து q -ன் மெய் மதிப்பு F ஆகவும் இருந்தால் p → q என்ற கூற்றின் மெய் மதிப்பு F ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது T ஆகும். 

(15) p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் என்க. p → q மற்றும் q → p -ன் கூட்டுக் கூற்று இருநிபந்தனைக் கூற்று என அழைக்கப்படும். இதனை p ↔ q எனக் குறிப்பிடுவர். p மற்றும் q -க்கு ஒரே மாதிரியான மெய் மதிப்புகள் இருந்தால் மட்டுமே p ↔ q -ன் மெய் மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அதன் மெய் மதிப்பு F ஆகும். 

(16) ஒரு கூற்றை அதன் கூட்டுக் கூற்றுகளின் மெய் மதிப்பை பொருட்படுத்தாமல் மெய்மம்(tautology) எனக் கூறவேண்டுமானால் அதன் மெய் மதிப்பு எப்பொழுதும் T ஆகஇருக்கவேண்டும். இதை T எனக் குறிப்பிடுவர். 

(17) ஒரு கூற்றை அதன் கூட்டுக் கூற்றுகளின் மெய் மதிப்பை பொருட்படுத்தாமல் முரண்பாடு(contradiction) எனக் கூறவேண்டுமானால் அதன் மெய் மதிப்பு எப்பொழுதும் F ஆகஇருக்க வேண்டும். இதை F எனக் குறிப்பிடுவர். 

(18) ஒரு கூற்று, மெய்மமும் அல்ல முரண்பாடும் அல்ல எனில், அதற்கு நிச்சயமின்மை(contingency) என்று பெயர். 

(19) A மற்றும் B என்கிற இரண்டு கூட்டுக் கூற்றுகளின் மெய்மை அட்டவணைகளின் கடைசிநிரல்கள் ஒரே மாதிரியான மெய் மதிப்புகளைப் பெற்றிருப்பின் அவை தர்க்க சமானமானவை அல்லது சுருக்கமாக சமானமானவை எனப்படும். இதனை A ≡ B அல்லது A ⇔ B எனக் குறிப்பிடுவர். மேலும் குறிப்பாக A -ம் B -ம் தர்க்க சமானமானவை எனில், A ↔ B கண்டிப்பாக ஒரு மெய்மமாக இருக்கும்.

(20) சமானமானவைக்குரிய சில விதிகள் :

 தன்னடக்க விதிகள்

 Idempotent Laws :

(i) p ∨ p ≡ p 

(ii) p ∧ p ≡ p .

பரிமாற்று விதிகள் 

Commutative Laws: 

(i) p ∨ q ≡ q ∨ p

(ii) p ∧ q ≡ q ∧ p .

சேர்ப்பு விதிகள்

 Associative Laws:

(i) p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r 

(ii) p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r .

பங்கீட்டு விதிகள் 

Distributive Laws:

(i) p ∨ ( q ∧ r) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

 (ii) p ∧ ( q ∨ r) ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

சமனி விதிகள் 

Identity Laws:

(i) p ∨ T ≡ T மற்றும் p ∨ F ≡ p

(ii) p ∧ T ≡ p மற்றும் p ∧ F ≡ F

நிரப்பு விதிகள் 

Complement Laws : 

(i) p ∨ ¬p ≡ T மற்றும் p ∧ ¬ p ≡ F 

(ii) ¬ T ≡ F மற்றும் ¬ F ≡ T

உட்சுழற்சி விதி (அ) இரட்டை மறுப்பு விதி

 Involution Law or Double Negation Law: ¬(¬p) p

டீ மார்கன் விதிகள் 

de Morgan's Laws:

 ஈர்ப்பு விதிகள்

(i) ¬( p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q 

(ii) ¬( p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

Absorption Laws:

(i) p ∨ ( p ∧ q) ≡ p 

(ii) p ∧ ( p ∨ q) ≡ p