தர்க்கசமானத் தன்மை (Logical Equivalence)

தர்க்கசமானத் தன்மை (Logical Equivalence)

வரையறை 12.20

A மற்றும் B என்கிற இரண்டு கூட்டுக் கூற்றுகளின் மெய்மை அட்டவணைகளின் கடைசி நிரல்கள் ஒரே மாதிரியான மெய் மதிப்புகளைப் பெற்றிருப்பின் அவை தர்க்க சமானமானவை எனப்படும். இதனை A = B அல்லது A ⇔ B என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவர்.

மேற்கண்ட வரையறையிலிருந்து A -ம் B -ம் தர்க்க சமானமானவை எனில் A ⇔ B கண்டிப்பாக ஒரு மெய்மம் என்பது தெளிவாகிறது.

சமானமானவைகளின் சில விதிகள் 

1. தன்னடக்க விதிகள் 

(i) p ∨ p ≡ p

(ii) p ∧ p ≡ p .

நிரூபணம்

மேற்கண்ட மெய்மை அட்டவணையில் p, p ∨ p மற்றும் p ∧ p ஆகியவைகள் ஒரே மெய் மதிப்புகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே, p ∨ p ≡ p மற்றும் p ∧ p ≡ p  

2. பரிமாற்று விதிகள்

(i) p ∨ q ≡ q ∨ p

(ii) p ∧ q ≡ q ∧ p .

நிரூபணம்

p ∨ q  மற்றும் q ∨ p களின் மெய் மதிப்புகள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே, p ∨ q ≡ q ∨ p. இதேபோல, (ii) p ∧ q ≡ q ∧ p  என நிரூபிக்கலாம்.

3. சேர்ப்பு விதிகள்

(i) p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r 

(ii) p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r . 

நிரூபணம் (i) 

சேர்ப்பு விதியை நிரூபிக்க ஏதுவாக மெய்மை அட்டவணை கீழே தரப்பட்டுள்ளது. 

மெய்மை அட்டவணையில் ( p ∨ q ) ∨ r மற்றும் p ∨ ( q ∨ r ) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.

எனவே, p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r . 

இதேபோல, (ii) p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r  என நிரூபிக்க முடியும்.

4. பங்கீட்டு விதிகள்

(i) p v (q∧r) ≡ (pvq) ∧ (p v r)

 (ii) p ∧ (q v r) ≡ (p∧q) v (p∧r)

 நிரூபணம் (i)

மெய்மை அட்டவணையில் p ∨ ( q ∧ r) மற்றும் ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள்ஒரே மாதிரியாக உள்ள ன. எனவே, p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) . 

இதேபோல, (ii) p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) என நிரூபிக்க முடியும்.

5. சமனி விதிகள்

(i) p ∨ T ≡ T மற்றும் p ∨ F ≡ p 

(ii) p ∧ T ≡ p மற்றும் p ∧ F ≡ F 

நிரூபணம்

(i) மெய்மை அட்டவணையில்  p ∨ T  மற்றும் T ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரேமாதிரியுள்ளதால் அவை இரண்டும் தர்க்க சமானமானவை. p ∨ F  மற்றும் p ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியுள்ளதால் அவை இரண்டும்தர்க்க சமானமானவை. 

(ii) p ∧ T ≡ p மற்றும் p ∧ F ≡ F என நிரூபிக்கமுடியும்.

6. நிரப்பு விதிகள்

(i) p ∨ ¬ p ≡ T  மற்றும் p ∧ ¬ p ≡ F 

(ii) ¬T ≡ F மற்றும் ¬F ≡ T

நிரூபணம்

 (i) மெய்மை அட்டவணையில் p ∨ ¬ p மற்றும் T தொடர்பான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியுள்ளதால்அவை தர்க்க சமானமானவை ஆகும். p ∧ ¬ p மற்றும் F தொடர்பான நிரல்கள் ஒரேமாதிரியுள்ளதால் அவை தர்க்க சமானமானவை ஆகும். 

(ii) மெய்மை அட்டவணையில் ¬T மற்றும் F தொடர்பான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது.எனவே அவை தர்க்க சமானமானவை ஆகும். இதேபோன்று ¬F மற்றும் T தொடர்பான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே, அவை தர்க்க சமானமானவை ஆகும்.

7. உட்சுழற்சி விதி அல்லது இரட்டை மறுப்பு விதி

¬(¬ p) ≡ p 

நிரூபணம்

மெய்மை அட்டவணையில் ¬ ( ¬p) மற்றும் p -ன் நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே அவை சமானமானவை ஆகும்.

8. டீ மார்கனின் விதிகள்

(i) ¬ ( p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬q

(ii) ¬ ( p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

நிரூபணம்

மெய்மை அட்டவணையில் ¬ ( p ∧ q ) மற்றும் ¬ p ∨ ¬q ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை. ¬ ( p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬q . இருமையாக (ii) ¬ ( p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q என்பதை நிரூபிக்க முடியும். 

9. ஈர்ப்பு விதிகள்

(i) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p

(ii) p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p

நிரூபணம் 

(i) மெய்மை அட்டவணையில் p ∨ ( p ∧ q ) மற்றும் p ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும்ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை. 

(ii) மெய்மை அட்டவணையில் p ∧ ( p ∨ q ) மற்றும் p ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும்ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை. 

எடுத்துக்காட்டு 12.17

p → q ≡ ¬ p ∨ q -க்கு சமானமானவை பண்பை நிறுவுக.

தீர்வு

மெய்மை அட்டவணையில் p → q மற்றும் ≡ ¬ p ∨ q ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே அவை சமானமானவை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.18 

இரு நிபந்தனைக் கூற்றை நிபந்தனைக் கூற்றுடன் இணைத்து

 p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p) என்ற சமானமானவை பண்பை நிரூபிக்க.

தீர்வு

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q  மற்றும் ( p → q ) ∧ (q → p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

எடுத்துக்காட்டு 12.19

சமானமானவை பண்புகளைப் பயன்படுத்தி p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q) . எனக் காட்டுக.

தீர்வு 

இக்கொள்கையை எடுத்துக்காட்டுகள் 12.17 மற்றும் 12.18ஐப் பயன்படுத்தி தருவிக்க முடியும். 

p ↔ q ≡ ( ¬ p ∨ q) ∧ ( ¬q ∨ p) ... (1) ≡ (¬ p ∨ q) ∧ ( p ∨ ¬ q) (பரிமாற்றுப் பண்பின்படி) …(2) ≡ ( ¬ p ∧ ( p ∨ ¬q )) ∨ ( q ∧ ( p ∨ ¬q)) (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி) ≡ ( ¬ p ∧ p) ∨ ( ¬p ∧ ¬q) ∨ ( q ∧ p) ∨ ( q ∧ ¬q) (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி) ≡ F ∨ ( ¬p ∧ ¬q) ∨ ( q ∧ p) ∨ F; (நிரப்பு விதிப்படி) ≡ ( ¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ p) ; (சமனி விதிப்படி) ≡ ( p ∧ q ) ∨(¬ ∧ p ¬q) ; (பரிமாற்று விதிப்படி) இறுதியாக, p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨(¬ p∧ ¬q) .