கணித தர்க்கவியல் (Mathematical Logic) : தர்க்க இணைப்புகள் மற்றும் அதன் மெய்மை அட்டவணைகள் (Logical Connectives and their Truth Tables)

கணித தர்க்கவியல் (Mathematical Logic)

தர்க்க இணைப்புகள் மற்றும் அதன் மெய்மை அட்டவணைகள் (Logical Connectives and their Truth Tables) 

(1) அல்ல NOT [¬ ] என்பதற்குரிய மறுப்பின் மெய்மை அட்டவணை

 (2) மற்றும் AND [Λ] என்பதற்குரிய இணையலின் மெய்மை அட்டவணை

 (3) அல்லது OR [v] என்பதற்குரிய பிரிப்பிணைவின் மெய்மை அட்டவணை

எடுத்துக்காட்டு 12.12

p 'குளிராக இருக்கிறது', q:. 'மழை பெய்கிறது' என்ற கூற்றுகளுக்கு ¬ p, p ∧ q , p∨q மற்றும் q ∨ ¬p, ஆகிய வார்த்தைகளுடன் கூடிய வாக்கியங்களை அமைக்க (எழுதுக). 

தீர்வு

(1) ¬p :  குளிராக இல்லை 

(2) p ∧ q :  குளிராக இருக்கிறது மற்றும் மழை பெய்கிறது 

(3) p ∨ q :  குளிராக இருக்கிறது அல்லது மழை பெய்கிறது 

(4) q ∨ ¬p :  மழை பெய்கிறது அல்லது குளிராக இல்லை

¬p என்ற கூற்றில் ஒரே ஒரு தனிக்கூற்று p மட்டும் உள்ளதால் அதற்குரிய மெய்மை அட்டவணையில் 2 = (21) நிரைகள் இருக்கும். p ∧ q மற்றும் p ∨  q என்கிற கூட்டுக் கூற்றுகள், p மற்றும் q ஆகிய இரண்டு தனிக் கூற்றுகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே அவைகளுக்குரிய மெய்மை அட்டவணைகளில் 4 = (22) நிரைகள் இருக்கும். எனவே, இதேபோல் ஒரு கூட்டுக் கூற்றில் ம வெவ்வேறான உள் கூற்றுகள் இடம்பெறின் மெய்மை அட்டவணையானது 2n நிரைகளைக் கொண்டிருக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு 12.13 

பின்வரும் கூற்றின் வாய்ப்பாடுகளுக்கு எத்தனை நிரைகள் தேவைப்படும்?

(i) p ∨ ¬t ∧ ( p ∨ ¬s ) (ii) ( ( p ∧ q ) ∨ ( ¬r ∨ ¬s )) ∧ ( ¬t ∧ v)

 தீர்வு 

(i) ( p ∨ ¬t ) ∧ ( p ∨ ¬s ) என்ற கூற்றில் p,s, t என்ற மாறிகள் அதாவது 3 உள் கூற்றுகள்

இடம்பெறுகின்றன. எனவே, இதன் மெய்மை அட்டவணையில் 23 = 8 நிரைகள்இடம்பெறும. 

(ii) ( ( p ∧ q) ∨ ( ¬ r ∨ ¬ s )) ∧ ( ¬ t ∧ v) என்ற கூற்றில் p,q,r,s, t , v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 26 = 64 நிரைகள் இடம்பெறும. 

நிபந்தனைக் கூற்று

வரையறை 12.13

p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகளின் நிபந்தனைக் கூற்றானது, “p எனில் q” என்ற கூற்றைக் குறிக்கும். இதை p → q எனக் குறிப்பிடுவர். இங்கு p ஐக் கருதுகோள் அல்லது முன்உதாரணம் என்றும் q ஐ முடிவு அல்லது விளைவு என்றும் அழைப்பார்கள். p-ன் மெய் மதிப்பு உண்மையாக இருந்து q -ன் மெய்மதிப்பு தவறாக இருப்பின் p → q -ன் மெய் மதிப்பு தவறாகும். அவ்வாறில்லை எனில் அது உண்மையாகும்.

p → q -ன் மெய்மை அட்டவணை

எடுத்துக்காட்டு 12.14

இன்று திங்கள் எனில், பிறகு 4 + 4 = 8, என்பதனை p → q -ஆகக் கருதுக, இங்கு உள்கூற்றுகள் p மற்றும் q பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது.

 p: இன்று திங்கள் கிழமை, q: 4 + 4 = 8. 

q -ன் முடிவானது T என்பதால் p → q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகிறது.

ஒரு முக்கியமான கருத்து என்னவென்றால் p மற்றும் q-ன் வாக்கியங்களின் அர்த்தங்களை கருத்தில் கொண்டு p → q ஐ செயல்படுத்தக்கூடாது. மேலும் p என்பது qவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.

விளைவுகள்

p → q என்ற நிபந்தனைக் கூற்றிலிருந்து மேலும் மூன்று நிபந்தனைக் கூற்றுகள் வருவிக்கப்படுகின்றன. அவைகள் கீழே பட்டியலிடப்படுகிறது.

(i) மறுதலைக் கூற்று (Converse statement) q → p 

(ii) எதிர்ம றைக் கூற்று (Inverse statement) ¬ p →¬q . 

(iii) நேர்மாறுக் கூற்று (Contrapositive statement) ¬ q →¬p .

எடுத்துக்காட்டு 12.15

கீழே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரண்டு கூற்றுகள் p மற்றும் q -க்கு பின்வருபவைகளை எழுதுக. (i) நிபந்தனைக் கூற்று (ii) மறுதலைக் கூற்று (iii) எதிர்மறைக் கூற்று (iv) நேர்மாறுக் கூற்று 

p: பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது

q: ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது 

தீர்வு :

p மற்றும் q சம்பந்தப்பட்ட நான்கு விதமான நிபந்தனைக் கூற்றுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 

(i) p → q: (நிபந்தனைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது எனில் பின்னர் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது" 

(ii) q → p - (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது” 

(iii) ¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை " 

(iv) ¬ q → ¬p  (நேர்மாறுக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை எனில், பின்னர் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல"

இரு நிபந்தனைக் கூற்று

வரையறை 12.14

p மற்றும் q என்ற ஏதேனும் இரு கூற்றுகளின் இரு நிபந்தனைக் கூற்று “p இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே q” என்ற கூற்றாகும். இதனை p ↔  q எனக் குறிப்பிடுவர். p மற்றும் q-க்கு ஒரே மாதிரியான மெய் மதிப்புகள் இருந்தால் மட்டுமே p ↔ q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது F ஆகும்.

p ↔ q-ன் மெய்மை அட்டவணை 

விலக்கி வைத்தல் (Exclusive OR (EOR)[ ⊽]) (OR (XOR)) 

வரையறை 12.15

p மற்றும் q ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் என்க. p EOR q என்பது ஒரு கூட்டுக் கூற்று ஆகும். இதன் மெய்மதிப்பை p அல்லது q சரியாக இருக்கையில் 'சரி' என்றும் அவ்வாறு இல்லையேல் 'தவறு' என்றும் தீர்மானிக்கப்படும். p ⊽ q என இது குறிக்கப்படும். p அல்லது q -ன் மெய் மதிப்பு T எனும்பொழுது p⊽q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகும். அவ்வாறில்லை எனில், அது F ஆகும். p⊽q -ன் மெய்மை அட்டவணை கீழே தரப்பட்டுள்ளது.

p⊽q-ன் மெய்மை அட்டவணை

எடுத்துக்காட்டு 12.16

(p⊽q) Λ (p⊽¬q)-ன் மெய்மை அட்டவணையைத் தருக.

மேற்காணும் முடிவை மெய்மை அட்டவணைகளை பயன்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடியும். இதனைத் தர்க்க சமானமானவை பற்றி அறிந்த பிறகே வழங்க முடியும்.