கொசீகண்ட் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பு (The Cosecant Function and the Inverse Cosecant Function)

கொசீகண்ட் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பு (The Cosecant Function and the Inverse Cosecant Function)

சைன் சார்பினைப் போன்றே, கொசீகண்ட் சார்பும் ஓர் ஒற்றைச் சார்பாகும் மற்றும் அதன் காலம் 2π ஆகும். கொசீகண்ட் சார்பு y = cosec x −ன் மதிப்புகள் 2π அளவுக்குப் பிறகு திரும்பவும் அதே மதிப்புகளைப் பெறுகிறது. Sin x = 0 எனும்போது, y = cosec x =1/sin x ஐ வரையறுக்க இயலாது. 

ஆதலால் கொசீகண்ட் சார்பின் சார்பகம் ℝ \{n π : n ∈ ℤ } ஆகும். −1 ≤ sin x ≤ 1 என்பதால் y = cosec x ஆனது −1 மற்றும் 1−க்கும் இடையே எம்மதிப்பையும் பெறுவதில்லை. எனவே, கொசீகண்ட் சார்பின் வீச்சகம் (−∞,1] ∪ [1, ∞) ஆகும்.

1. கொசீகண்ட் சார்பின் வரைபடம் (Graph of the cosecant function)

(0, 2π) இடைவெளியில், கொசீகண்ட் சார்பானது x = π எனும் புள்ளியைத் தவிர்த்து ஏனைய புள்ளிகளில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். இதற்கு மீப்பெருமமோ அல்லது மீச்சிறுமமோ இல்லை. பொதுவாக, x ∈ (0, π/2] மதிப்புகளுக்கு y = cosec x −ன் மதிப்பு, ∞ முதல் 1 வரை குறையும். x ∈ [π/2, π) மதிப்புகளுக்கு, y = cosec x −ன் மதிப்புகள் 1 முதல்  ∞ வரை அதிகரிக்கும். x ∈ (π, 3π/2] மதிப்புகளுக்கு, y = cosec x −ன் மதிப்புகள் −∞ முதல் −1 வரை அதிகரிக்கும். x ∈ [3π/2, 2π) மதிப்புகளுக்கு, y = cosec x −ன் மதிப்புகள் −1 முதல் −∞ வரை குறையும். y = cosec x, x ∈ (0, 2π)\{π} −ன் வரைபடத்தினை படம் 4.19 −ல் காண்க.

…, (–4π, −2π)\{−3π }, (−2π, 0)\{−π }, (2π, 4π)\{3π}, (4π, 6π)\{5π }, ... .

ஆகிய இடைவெளிகளில் (0, 2π)ல் y = cosec x ன் வரைபடத்தின் இப்பகுதியே திரும்ப அமைகின்றது.

y = cosec x −ன் முழு வரைபடம் ஆனது படம் 4.20−ல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.

2. நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பு (The inverse cosecant function)

cosec : [−π/2, 0) ∪ (0, π/2] → (−∞,1] ∪ [1, ∞) எனும் கொசீகண்ட் சார்பானது [−π/2, 0) ∪ (0, π/2] எனும் கட்டுபடுத்தப்பட்ட சார்பகத்தில் இருபுறச்சார்பாக உள்ளது. எனவே, (−∞,−1] ∪ [1, ∞) −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [−π/2, 0) ∪ (0, π/2] வீச்சகமாகவும் கொண்டு நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரையறை 4.6

cosec−1 : (−∞,−1] ∪ [1,∞) → [−π/2, 0) ∪ (0, π/2] எனும் நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பை, cosec−1(x) = y என வரையறுக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை cosee y = x மற்றும் y ∈ [−π/2, 0) ∪ (0, π/2]  ஆகும்.

3. நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பின் வரைபடம் (Graph of the inverse cosecant function)

y = cosec−1x எனும் நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பின் சார்பகம் ℝ \(− 1, 1) மற்றும் வீச்சகம் [−π/2, π/2] \{0}. ஆகும். அதாவது, cosec−1  : (−∞,−1] ∪ [1,∞) → [−π/2, 0) ∪ (0, π/2]  ஆகும்.

படம் 4.21 மற்றும் படம் 4.22 −ல் முதன்மை சார்பகத்தில் கொசீகண்ட் சார்பின் வரைபடம் மற்றும் நேர்மாறு கொசீகண்ட் சார்பின் சார்பகத்தில் அதன் வரைபடம் ஆகியவை முறையே காண்பிக்கப்பட்டுள்ளன.