நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் முதன்மை மதிப்பு (Principal Value of Inverse Trigonometric Functions)

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் முதன்மை மதிப்பு (Principal Value of Inverse Trigonometric Functions)

x எனும் புள்ளியில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பின் முதன்மை மதிப்பானது, முதன்மை பகுதியின் வீச்சில் உள்ள x எனும் புள்ளியில் நேர்மாறு சார்பின் மதிப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக π/6 ∈ [0, π] என்பதால், cos−1 (√3/2) ன் முதன்மை மதிப்பு π/6 ஆகும். இரு மதிப்புகள் எண்மதிப்பில் சமமாகவும், ஒன்று குறையெண்ணாகவும் மற்றொன்று மிகையெண்ணாகவும் இருந்தால் முக்கோணவியல் சார்பின் முதன்மை மதிப்பு மிகை எண்ணாகவே அமையும். கீழ்க்காணும் அட்டவணையில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் முதன்மை சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம், நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் ஆகியவை பட்டியலிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 4.12

முதன்மை மதிப்பு காண்க

(i) cosec−1 (−1)

(ii) sec−1 (−2)

தீர்வு

(i) cosec−1 (−1) = y என்க. எனவே, cosec y = −1

y = cosec−1 x −ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம் [−π/2, π/2]\{0} ஆகும். மேலும்,

cosec(−π/2) = −1 என்பதால், y = −π/2 என்றிருக்க வேண்டும். இங்கு −π/2 ∈ [−π/2, π/2]\{0}

என்பதை கவனிக்க.

எனவே, cosec−1 (−1) −ன் முதன்மை மதிப்பு −π/2 ஆகும்.

(ii) y=sec−1 (−2) என்க. எனவே, sec y = −2 .

y = sec−1  x −ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம் [0, π]\ { π/2} ஆகும்.

sec y = −2 என்றிருக்குமாறு [0, π] − { π/2} −ல் y−ஐ காணவேண்டும்.

ஆனால் sec y = −2 ⇒ cos y = −1/2

இனி, cos y = −1/2 = −cos π/3 = cos [π − π/3] = cos 2π/3 . எனவே, y = 2π/3.

2π/3 ∈ [0, π] \ { π/2} என்பதால், sec−1 (−2) −ன் முதன்மை மதிப்பு 2π/3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.13

ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு

= θ என்க. எனவே, sec θ = −2/√3 இங்கு θ ∈ [0, π] \ { π/2} ஆகும்.

எனவே, cos θ = −√3/2 ஆகும். இனி, cos 5π/6 = cos [π − π/6] = −cos [π/6] = −√3/2 ஆகும்.

எனவே,  = 5π/6 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.14

cot−1 (1/7) = θ , எனில், cos θ மதிப்பு காண்க.

தீர்வு

வரையறைப்படி cot−1  x ∈ (0, π).

எனவே, cot−1 (1/7) = θ என்பதிலிருந்து θ ∈ (0, π).ஆகும்.

ஆனால் cot−1 (1/7) = θ என்பது cot θ = 1/7 ஆகும். எனவே tan θ = 7 மற்றும் θ ஒரு குறுங்கோணம் ஆகும்.

tan θ = 7/1 என்பதை பயன்படுத்தி, செங்கோண முக்கோணம் ஒன்றை உருவாக்குக. பின்னர்

cos θ = 1 / 5√2 என நமக்கு கிடைக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 4.15

= sec−1x, |x| > 1. எனக் காட்டுக

= α என்க. எனவே, cot α =1/(√[x2 – 1])

மற்றும் α ஒரு குறுங்கோணம் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உருவாக்குக. 

முக்கோணத்திலிருந்து, sec α = x/1 = x எனப் பெறலாம் . எனவே, α = sec−1 x ஆகும்.

எனவே = sec−1x, |x| > 1 ஆகும்.