கொசைன் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு (The Cosine Function and Inverse Cosine Function)

கொசைன் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு (The Cosine Function and Inverse Cosine Function)

ℝ −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [−1,1]−ஐ வீச்சகமாகவும் கொண்ட சார்பே கொசைன் சார்பு ஆகும். கொசைன் சார்பை y = cos x எனவும் மற்றும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பினை y = cos−1 x அல்லது y = arccos(x) எனவும் குறிப்பிடப்படுகின்றன. அனைத்து மெய்யெண்கள் x−க்கு cos(x + 2π) = cosx என்பது மெய்யாகும். மேலும், 0 < p < 2π, x ∈ ℝ −க்கு cos(x + p) மற்றும் cos x ஆகியன சமமாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே y = cos x−ன் காலம் 2π ஆகும். 

1. கொசைன் சார்பின் வரைபடம் (Graph of cosine function)

கொசைன் சார்பின் வரைபடமானது y = cos x − ன் வரைபடமாகும். இங்கு x ஒரு மெய் எண்ணாகும். கொசைன் சார்பின் காலமுறை 2π என்பதால்… , [–4π, –2π], [–2π, 0], [0, 2π], [2π, 4π], [4π, 6π], ...  . ஆகிய இடைவெளிகளில் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் கொசைன் சார்பின் வரைபடம் ஒரே வடிவத்தினை திரும்பவும் பெறுகின்றது. எனவே x ∈ [0, 2π] −க்கு உரிய கொசைன் சார்பு வரைபடத்தின் பகுதியைத் தீர்மானித்தாலே போதுமானது. x ∈ [0, 2π] எனில் y = cos x − ன் வரைபடத்தில் உள்ள (x, y) புள்ளிகளில் அறிந்த சில புள்ளிகளை குறிப்பதற்கு கீழ்க்காணும் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.

y = cos x, 0 ≤ x ≤ 2π, ன் வரைபடம் (0,1) புள்ளியிலிருந்து தொடங்குகிறது என்பதை அட்டவனையிலிருந்து அறியலாம். x ன் மதிப்பு 0 முதல் π வரை அதிகரிக்கும்போது, y = cos x −ன் மதிப்பும் 1 முதல் −1 வரை குறைகின்றது. x ன் மதிப்பு π முதல் 2π வரை அதிகரிக்கும்போது, y −ன் மதிப்பும் −1 முதல் 1 வரை அதிகரிக்கின்றது. அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து அவற்றை இணைக்கும் இழைவான வளைவரையை வரைக. y = cos x −ன் வரைபடத்தின் ஒரு பகுதியினை படம். 4.10−ல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.

[0, 2π] இடைவெளியின் இருபுறமும் மேலே உள்ள வரைபடப் பகுதியை திரும்ப திரும்ப கொண்டிருக்கும் வகையில் y = cos x −ன் முழுவரைபடம் அமைந்திருக்கும். படம்.4.11−ல் கொசைன் சார்பின் முழு வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கொசைன் சார்பின் வரைபடத்திலிருந்து cosx−ன் மதிப்பு முதல் காற்பகுதியில் (0 ≤ x ≤ π/2) மிகையெண்ணாகவும், இரண்டாவது காற்பகுதியில் (π/2 < x ≤ π) மற்றும் மூன்றாவது காற்பகுதியில் (π < x < 3π/2) ஆகியவற்றில் குறையெண்ணாகவும், மீண்டும் நான்காவது காற்பகுதியில் (3π/2 < x <2π) மிகையெண்ணாகவும் உள்ளது என்பதை காண்கிறோம்.

குறிப்பு

வரைபடத்திலிருந்து, அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் cos(−x) = cos x என அறியலாம். இது y = cos x ஒரு இரட்டைச் சார்பு என்பதை உறுதி செய்கிறது.

2. கொசைன் சார்பின் பண்புகள் (Properties of the cosine function)

y = cos x ன் வரைபடத்திலிருந்து கொசைன் சார்பின் பின்வரும் பண்புகளைக் காணலாம்.

(i) வளைவரையில் எங்கும் முறிவோ அல்லது தொடர்ச்சியின்மையோ இல்லை. கொசைன் சார்பு தொடர்ச்சியானது.

(ii) y அச்சைப் பொறுத்து வரைபடம் சமச்சீராக இருப்பதால் கொசைன் சார்பு இரட்டைச் சார்பாகும்.

(iii) x =..., −2π , 0, 2π , … ஆகிய மதிப்புகளில் கொசைன் சார்பு மீப்பெரு மதிப்பு 1 ஐ அடைகிறது. x = ... −π, π, 3π, 5π, ... ஆகிய மதிப்புகளுக்கு கொசைன் சார்பு மீச்சிறு மதிப்பு −1 ஐ அடைகிறது. அதாவது, −1 ≤ cos x ≤1, x ∈ ℝ ஆகும்.

குறிப்புரை

(i) y = cos x ன் வரைபடத்தை π/2 ஆரையன்கள் அளவிற்கு வலப்புறம் நகர்த்த, y = cos (x – π/2) −ன் வரைபடமாகப் பெறலாம். இந்த வரைபடம் y = sin x −ன் வரைபடத்துக்கு ஒப்பாக அமைகிறது. இங்கு cos (x – π/2) = cos (π/2 – x) = sin x . என்பதை கவனிக்கவும்.

(ii) y = Asin αx மற்றும் y = B cos βx ஆகியன முறையே −|A| ≤ Asin αx ≤ |A| மற்றும் −|B| ≤ B cos βx ≤  |B| எனும் ஆகிய அசமன்பாடுகளைத் பூர்த்தி செய்கிறது. y = A sin αx −ன் வீச்சு மற்றும் காலம் முறையே |A| மற்றும் 2π/|α| ஆகும். y = B cos βx −ன் வீச்சு மற்றும் காலம் முறையே |B| மற்றும் 2π/|β| ஆகும். y = A sin αx மற்றும் y = B cos βx ஆகியன சைன் வளைகோட்டுச் (Sinusoidal) சார்புகளாகும்.

(iii) [0, 2π/|α|] மற்றும் [0, 2π/|β|] −ன் மீதான முறையே y = A sin αx மற்றும் y = B cos βx ஆகியவற்றின் பகுதி வரைபடங்களை நீட்டிக்க y = A sin αx மற்றும் y = B cos βx ஆகியவற்றின் முழு வரைப்படங்கள்பெறப்படுகின்றது.

பயன்பாடுகள்

காலச் சுழற்சியில் நிகழும் நிகழ்வுகளான, பருவ வெப்பநிலை, கடல் அலைகள் போன்ற இயற்கை நிகழ்வுகள் திரும்ப திரும்ப நேர்வதால், சைன் வளைகோட்டைப் பயன்படுத்தி மாதிரிகள் வடிவமைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் வளைகோட்டுச் சார்பு y = d + a cos(bt − c) −ஐ பயன்படுத்தி கடல் அலைகளை மாதிரியாக உருவாக்க கீழ்க்காணும் படிகள் தரப்படுகின்றன.

(i) சைன் வளைகோட்டு வரைபடத்தின் வீச்சு என்பது, வரைபடத்தில் y − ன் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு மதிப்புகளின் வேறுபாட்டின் எண் மதிப்பில் பாதியாகும்.

அதாவது, வீச்சு, a = 1/2 (மீப்பெரு மதிப்பு − மீச்சிறு மதிப்பு);

மையக்கோடு y = d, இங்கு d = 1/2 (மீப்பெரு மதிப்பு + மீச்சிறு மதிப்பு)

(ii) காலம் p = 2 × (மீப்பெரு மதிப்பிலிருந்து மீச்சிறு மதிப்பிற்கு இடையேயுள்ள கால அளவு) ;

(iii) c = b × (மீப்பெரு மதிப்பை அடையும் நேரம்).

மாதிரி−1

ஒரு கப்பல்துறையின் எல்லையில் கடல் அலைகளினால் ஆழம் மாறுபடுகின்றது. கீழ்க்காணும் அட்டவணையில் வெவ்வேறு நேரங்களில் நீரின் ஆழம் (மீட்டரில்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

t நேரத்தில் நீரின் ஆழத்தைக் காண y = d + acos(bt − c) எனும் வடிவில் ஒரு சைன் வளைகோட்டுச் சார்பினை கருதுவோம். இங்கு, a = 1.4 ; d = 2.8 ; p =12 ; b = π/6; c = π/3.

தேவைப்படும் சைன் வளைகோட்டுச் சார்பு y = 2.8 + 1.4 cos[π/6 t − π/3] என ஆகும்.

குறிப்பு

சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் உருமாற்றங்கள் எண்ணற்ற பயன்பாடுகளுக்குப் பயன்படுகின்றன. சைன் அல்லது கொசைன் சார்பினைப் பயன்படுத்தி ஒரு வட்ட இயக்க மாதிரி ஒன்றை உருவாக்க முடியும்.

மாதிரி−2

ஆதியை மையமாகவும் ஆரம் 4 ம் உள்ள ஒரு வட்டப்பாதையில் ஒரு புள்ளி நகர்கிறது. சுழலும் கோண சுழற்சியை சார்பாகக் கொண்டு அப்புள்ளியின் y −ஆயக்கூறை காணலாம்.

ஆதியை மையமாகக் கொண்டும் ஆரம் 4 ம் உள்ள ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளியின் y−ஆயக்கூறு, y = asin θ ஆகும், இங்கு θ என்பது சுழலும் கோண சுழற்சி. இங்கு y(θ) = 4sin θ எனும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. (இங்கு θ ஆரையன், வீச்சு 4 மற்றும் காலம் 2π ஆகும் ) வீச்சு 4 என்பதால் சைன் சார்பின் y மதிப்புகள் 4 காரணியாக செங்குத்தாக நீளத்தை நீள்கிறது.

3. நேர்மாறு கொசைன் சார்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் (The inverse cosine function and its properties)

கொசைன் சார்பு அதன் முழு சார்பகம் ℝ −ல் ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. எனினும் கட்டுபடுத்தப்பட்ட சார்பகம் [0, π] மீது கொசைன் சார்பு ஒன்றுக்கொன்று சார்பாகும் மற்றும் அதன் வீச்சகம் [−1, 1] ஆகும். தற்போது [−1, 1] −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [0, π] −ஐ வீச்சகமாகவும் கொண்டு நேர்மாறு கொசைன் சார்பை வரையறை செய்யலாம்.

வரையறை 4.4

−1 ≤ x ≤ 1, −ல் cos−1x ஆனது [0, π] −ல் தனித்த y −ஆக cos y = x எனுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது cos−1 : [−1,1] → [0, π] எனும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு, cos–l(x) = y என வரையறுக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை cos y = x மற்றும் y ∈ [0, π]. ஆகும்.

குறிப்பு

(i) cos–l x −ன் வீச்சகமான [0, π] எனும் இடைவெளியில் சைன் சார்பு குறையற்ற எண் மதிப்பைப் கொண்டுயிருக்கிறது. இந்த முடிவு, தொகை நுண்கணிதத்தில் சில முக்கோணவியல் பிரதியிடலுக்கு முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

(ii) நேர்மாறு கொசைன் சார்பைப் பற்றிக் குறிப்பிடும்போதெல்லாம் cos x : [0, π] → [−1,1] மற்றும் cos–l x : [−1, 1]→[0, π]  என நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

(iii) ... , [ −π , 0], [π , 2π) , ... , ஆகிய இடைவெளிகளில் ஏதேனும் ஒரு இடைவெளியை கொசைன் சார்பின் சார்பகமாக கட்டுப்படுத்தலாம். அவ்வாறாக இடைவெளிகளிலும் கொசைன்சார்பு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பாகவும் மற்றும் [−1, 1] என்பது அதன் வீச்சாகவும் இருக்கும். 

கட்டுபடுத்தப்பட்ட இடைவெளி [0, π]  ஆனது கொசைன் சார்பின் முதன்மை சார்பகம் எனவும், −1 ≤ x ≤ 1−ல் சார்பு y = cos–l x எனும் சார்பின் மதிப்புகள் முதன்மை மதிப்புகள் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

y = cos–l x எனும் வரையறையிலிருந்து பின்வரும் கருத்துக்களைக் கவனிக்கவும்.

(i) −1 ≤ x ≤ 1 மற்றும் 0 ≤  y ≤  π என்றிருக்கும்போது y = cos–l x  எனில், எனில் மட்டுமே x = cos y ஆகும்.

(ii) |x| ≤ 1 எனில் cos(cos–l x) = x ஆகும். |x| > 1 எனும்போது cos(cos–l x) = x என்பது அர்த்தமற்றதாகிறது.

(iii) cos–l x −ன் வீச்சகமான 0 ≤ x ≤ π ல் cos–l (cos x) = x என ஆகும். cos–l (cos3π) = π. என்பதனை கவனிக்கவும்.

4. நேர்மாறு கொசைன் சார்பின் வரைபடம் (Graph of the inverse cosine function) 

cos–l : [−1,1] → [0, π] எனும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு [−1,1] இடைவெளியில் x எனும் மெய்யெண்ணை உள்ளீடாகக் கொண்டு [0, π] இடைவெளியில் y (ஆரையன்களில்) எனும் மெய்யெண்ணை வெளியீடாக தருகிறது. y = cos–l x சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி (x, y) எனும் சில புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து xy தளத்தில் குறிப்போம். x−ன் மதிப்பு −1 லிருந்து 1 வரை அதிகரிக்கும்போது y−ன்மதிப்பு π– லிருந்து 0 வரை குறைகின்றது. நேர்மாறு கொசைன் சார்பு அதன் சார்பகத்தில் குறையும் சார்பாகவும் மற்றும் தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கிறது. இப்புள்ளிகளை இழைவான வளைவரையால் இணைக்கும்போது படம் 4.14−ல் காண்பதைப் போன்று y = cos–l x எனும் வரைபடம் நமக்கு கிடைக்கின்றது.

குறிப்பு

(i) y = cos–l x ன் வரைபடமானது, y = cos x ன் வரைபடத்தின் x மற்றும் y அச்சுகளை இடமாற்றுவதன் மூலமாகவும் பெறலாம்.

(ii) y = cos–l x எனும் சார்பின் x −வெட்டுத்துண்டு 1 மற்றும் y −வெட்டுத்துண்டு π/2 ஆகும்.

(iii) ஆதியைப் பொறுத்தோ அல்லது y−அச்சைப் பொறுத்தோ y = cos–l x −ன் வரைபடம் சமச்சீர் அல்ல. எனவே சார்பு y = cos–lx இரட்டைச் சார்போ அல்லது ஒற்றைச் சார்போ அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 4.5

cos–l [√3/2] −ன் முதன்மை மதிப்பைக் காண்க .

தீர்வு

cos–l [√3/2] = y என்க. எனவே, cos y = √3/2 ஆகும்.

y = cos–l x  −ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, π] என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = √3/2 எனும்படி y மதிப்பு [0, π] −ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos π/6 = √3/2 மற்றும் π/6 ∈ [0, π] என்பதால் y = π/6  ஆகும். எனவே, cos–l [√3/2] −ன் முதன்மை மதிப்பு π /6  ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.6 

மதிப்பு காண்க

தீர்வு

cos–l : [−1,1] → [0, π] எனும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு வரையறையின்படி, cos–l x = y எனில், எனில் மட்டுமே cos y = x . இங்கு −1 ≤x ≤ 1 மற்றும் 0 ≤ y ≤  π ஆகையால்,

எடுத்துக்காட்டு 4.7

−ன் சார்பகம் காண்க.

தீர்வு

y = cos–l x −ன் சார்பகம் −1 ≤ x ≤ 1 அதாவது |x| ≤ 1ஆகும்.

எனவே, −1 ≤  (2+sin x)/3 ≤ 1 என்பதை −3 ≤  2 + sin x ≤  3 எனலாம்.

எனவே, −5 ≤  sin x ≤  1 என்பதை சுருக்கி, −1 ≤  sin x ≤  1 எனப் பெறலாம்,

sin–l (l) ≤ x ≤ sin–l (1) அல்லது −π/2 ≤ x  ≤ π/2 எனப் பெறலாம்.         

ஆகையால்  −ன் சார்பகம் [−π/2, π/2] ஆகும்.