சீகண்ட் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு (The Secant Function and Inverse Secant Function)

சீகண்ட் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு (The Secant Function and Inverse Secant Function)

சீகண்ட் சார்பு என்பது கொசைன் சார்பின் தலைகீழ்ச்சார்பு என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, y = sec x = 1/cos x என்பது cos x = 0 எனும்போது தவிர ஏனைய x மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆகையால், y = sec x −ன் சார்பகம் ℝ \{(2n + 1) π/2 : n ∈ ℤ } ஆகும். −1 ≤ cos x ≤ 1 என்பதால், y = sec x என்பது (−1, 1) −ல் எம்மதிப்புகளையும் பெறாது. எனவே, சீகண்ட் சார்பின் வீச்சகம் (−∞,1] ∪ [1,∞) ஆகும். சீகண்ட் சார்பிற்கு மீப்பெருமமோ அன்றி மீச்சிறுமமோ இல்லை. y = sec x என்பது 2π கொண்ட காலம் சார்பு மற்றும் இரட்டைச் சார்பாகவும் அமைகிறது.

1. சீகண்ட் சார்பின் வளைவரை (The graph of the secant function)

0 ≤ x  ≤ 2π , x ≠ π/2 , 3π/2 −ல் சீகண்ட் சார்பின் வளைவரை படம் 4.23−ல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் மற்றும் நான்காம் காற்பகுதிகளில் அதாவது −π/2 < x  < π/2 இடைவெளியில், y = sec x மிகையெண் மதிப்புகளை மட்டுமே பெறுகிறது. அதே சமயம் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது காற்பகுதிகளில் அதாவது π/2 < x  < 3π/2  இடைவெளியில் குறையெண் மதிப்புகளையே பெறுகிறது.

0 ≤ x  ≤ 2π , x ≠ π/2 , 3π/2, எனும்போது சீகண்ட் சார்பு தொடர்ச்சியாக இருக்கும். x ∈ [0, π/2) எனும்போது சீகண்ட் சார்பின் மதிப்பு 1 முதல் ∞ வரை உயரும். மேலும், x ∈ (π/2, π] எனும்போது சீகண்ட் சார்பின் மதிப்பு −∞ முதல் −1 வரை உயரும். x ∈ [π, 3π/2) எனும்போது −1 முதல் – ∞ வரை இறங்கும். x ∈ (3π/2, 2π] எனும்போது ∞ முதல் 1 வரை இறங்கும். y = sec x ஒரு 2π −காலம் கொண்ட சார்பாகும், எனவே 0 ≤ x  ≤ 2π , x ≠ π/2 , 3π/2 க்கான வளைவரைப் பகுதியே, [2π, 4π]\{5π/2, 7π/2}, [4π, 6π]\ {9π/2, 11π/2}, … மற்றும், …  [−4π, −2π]\ {−7π/2, −5π/2}, [−2π, 0]\ {−3π/2, − π/2},  ஆகிய இடைவெளிகளில் திரும்ப, திரும்ப அமைகின்றது. தற்போது y = sec x −ன் முழுவரைபடமும் படம் 4.24−ல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.

2. நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு (Inverse secant function)

sec x : [0, π]\{ π /2} → ℝ \(−1,1)  எனும் சீகண்ட் சார்பு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகமான [0, π]\{ π /2} −ல் ஓர் இருபுறச் சார்பு ஆகும். எனவே நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு என்பது ℝ \(−1,1) என்பதை சார்பகமாகவும் மற்றும் [0,π]\{π/2} வீச்சகமாகவும் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

வரையறை 4.7

sec y = x மற்றும் y ∈ [0, π]\{ π /2} எனும்போது நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு sec−1 ℝ \(−1,1) → [0, π]\{ π /2} ஐ sec−1 (x) = y என வரையறுக்கப்படுகிறது.

3. நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பின் வரைபடம் (Graph of the inverse secant function) 

நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பு, y = sec−1 x என்பது ℝ \(−1,1) −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [0, π]\{ π /2} −ஐ வீச்சாகவும் கொண்ட சார்பாகும். அதாவது, sec−1 : ℝ \(−1,1) → [0, π]\{ π /2}.

படம் 4.25 மற்றும் படம் 4.26 ஆகியவற்றில், முறையே முதன்மை சார்பகத்தில் சீகண்ட் சார்பின் வரைபடமும் மற்றும் நேர்மாறு சீகண்ட் சார்பின் வரைபடம் அதற்குறிய சார்பகத்தில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.

குறிப்புரை

y = sec x அல்லது cosec x எனும் வரைபடத்தை எளிதாக வரைய கீழ்க்காணும் வழிமுறையைப் பின்பற்றவும்.

(i) y = cos x அல்லது sin x வரைபடத்தை வரையவும்.

(ii) x வெட்டுத்துண்டுகள் சந்திக்கும் புள்ளிகளில் செங்குத்து தொலைத் தொடுகோடுகளை வரையவும். y மதிப்புகளின் தலைகீழியாக எடுத்துக் கொள்ளவும்.