பாடச்சுருக்கம்

பாடச்சுருக்கம்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் (Inverse Trigonometric Functions)

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் பண்புகள் (Properties of Inverse Trigonometric Functions)

பண்பு−I

(i) θ ∈ [−π/2, π/2] எனில், sin−1 (sin θ) = θ

(ii) θ ∈ [0, π] எனில், cos−1 (cos θ) = θ

(iii) θ ∈ [−π/2, π/2] எனில், tan−1 (tan θ) = θ

(iv) θ ∈ [−π/2, π/2] \ {0} எனில், cosec−1 (cosec θ) = θ

(v) θ ∈ [0, π] \ { π/2} எனில், sec−1 (sec θ) = θ

(vi) θ ∈ [0, π] எனில், cot−1 (cot θ) = θ

பண்பு−II

(i) x ∈ [−1,1] எனில், sin(sin−1 x) = x 

(ii) x ∈ [−1,1] எனில், cos(cos−1 x) = x

(iii) x ∈ ℝ எனில், tan(tan−1 x) = x

(iv)  x∈ ℝ \(−1,1) எனில், cosec(cosec−1 x) = x 

(v) x ∈ ℝ \(−1,1) எனில், sec(sec−1 x) = x 

(vi) x ∈ ℝ எனில், cot(cot−1 x) = x

பண்பு−III தலைகீழ் நேர்மாறு முற்றொருமைகள் (Reciprocal inverse identities)

(i) x ∈ ℝ \(−1,1) எனில், sin−1(1/x)  = cosec x 

(ii) x ∈ ℝ \(−1, 1) எனில், cos−1(1/x) = sec−1x

(iii)

பண்பு−IV பிரதிபலிப்பு முற்றொருமைகள் (Reflection identities)

(i) x ∈ [−1, 1] எனில், sin−1(−x) = − sin−1 x.

(ii) x ∈ ℝ எனில், tan−1(−x) = – tan−1x .

.(iii) |x| ≥ 1அல்லது x ∈ ℝ \(−1, 1) எனில், cosec−1(−x) = − cosec−1x

(iv) x ∈ [−1, 1] எனில், cos−1(−x) = π – cos−1x .

(v) |x| ≥ 1 அல்லது x ∈ ℝ \(−1, 1) எனில், sec−1(−x) = π – sec−1x .

(vi) x ∈ ℝ எனில், cot−1(−x) = π – cot−1 x .

பண்பு−V துணை நேர்மாறுச் சார்பு முற்றொருமைகள் (Cofunction inverse identities )

(i) sin−1x + cos−1 = π/2, x ∈ [−1, 1].

(ii) tan−1x + cot−1x = π/2, x ∈ ℝ .

(iii) cosec−1x + sec−1x = π/2, x ∈ ℝ \(−1, 1) அல்லது |x| ≥ 1.

பண்பு VI

(i) sin−1x + sin−1y = sin−1(x√[1 − y2] + y√[1 − x2]), இங்கு x2 + y2 ≤ 1 அல்லது xy < 0.

(ii) sin−1x − sin−1y = sin−1(x√[1 − y2] − y√[1 − x2]), இங்கு x2 + y2 ≤ 1 அல்லது xy > 0.

(iii) cos−1x + cos−1y = cos−1 [xy − √[1 − x2] √[1− y2]] , இங்கு x + y ≥ 0

(iv) x ≤  y  எனில், cos−1x − cos−1y = cos−1 [xy + √[1 − x2] √[1− y2] ] 

(v) xy < 1 எனில், tan−1x + tan−1y = tan−1 [(x + y) / (1 − x y)]  .

(vi) xy > −1 எனில், tan−1x − tan−1y = tan−1 [(x − y) / (1 + x y)].

பண்பு−VII

(i) 2 tan−1 x = tan−1 [2x / (1− x2)], |x| < 1

(ii) 2 tan−1 x = cos−1 [ (1− x2) / (1+ x2) ], x ≥ 0

(iii) 2 tan−1 x = sin−1 [ (2x) / (1+ x2) ], |x| ≤ 1.

பண்பு−VIII

(i) | x | ≤ 1/√2 அல்லது –1/√2 ≤ x ≤ 1/√2 எனில், sin−1 ( 2x / √[1− x2] ) = 2 sin−1 x

(ii) 1/√2 ≤ x ≤ 1 எனில், sin−1( 2x / √[1− x2] ) = 2 cos−1x

பண்பு−IX

(i) 0 ≤ x ≤ 1 எனில், sin−1 x = cos−1 √[1− x2]

(ii) −1 ≤ x ≤ 0 எனில், sin−1 x = −cos−1 √[1− x2]

(iii) −1 < x < 1 எனில், sin−1 x = tan−1 ( x / √[1− x2] )

(iv) 0 ≤ x ≤ 1 எனில், cos−1 x = sin−1 (√[1− x2])

(v) −1 ≤ x < 0 எனில், cos−1 x = π − sin−1 ( √[1− x2] )

(vi) x > 0 எனில், tan−1 x = sin−1 ( x / √[1+ x2] )  = cos−1 ( 1 / √[1+ x2] )

பண்பு−X

(i) 3 sin−1x = sin−1(3x − 4x3), x = ∈ [−1/2, 1/2].

(ii) 3 cos−1x = cos−1(4x3 − 3x), x = ∈ [1/2, 1].

இணையச் செயல்பாடு (ICT CORNER)

https://ggbm.at/vchq92pg அல்லது Scan the QR Code

இணைய உலாவியை திறக்கவும், கொடுக்கப்பட்டுள்ள உரலி/விரைவுக் குறியீட்டை தட்டச்சு செய்யவும். GeoGebra−வின் "12th Standard Mathematics" பக்கம் தோன்றும். இப்பணித்தாள் புத்தகத்தின் இடது பக்கம் உங்கள் பாடநூலுடன் தொடர்புடைய பல அத்தியாயங்கள் காணப்படும். அவற்றில் "Inverse Trigonometric Functions" எனும் அத்தியாயத்தைத் தேர்வு செய்க. இப்பொழுது இப்பாடம் தொடர்பான பல பணித்தாள்களை இப்பக்கத்தில் காண்பீர்கள். "Graph of Inverse Trigonometric Functions" பயிற்சித்தாளை தேர்வு செய்க.