சில அடிப்படைக் கருத்துகள் (Some Fundamental Concepts)

சில அடிப்படைக் கருத்துகள் (Some Fundamental Concepts)

வரையறை 4.1 (காலவட்ட ஒழுங்குடைமை)

ஒரு மெய்மதிப்புடையச் சார்பு f − ன் சார்பகத்தில் உள்ள அனைத்து x−க்கும், ஒரு மிகை எண் p −ஐ, x + p ஆனது f −ன் சார்பகத்தில் இருக்குமாறும் f(x + p) = f(x) எனவும் காண இயலுமாமனால், f ஐ திரும்ப சார்பு அல்லது காலவட்டச் சார்பு என்போம்.

அவ்வாறான எண்களில் மிகச்சிறிய எண், f என்ற சார்பின் காலம் (period) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, sin x, cos x, cosec x, secx மற்றும் eix ஆகியவை காலம் 2π ஆரையன்கள் கொண்ட கால வட்டச் சார்புகளாகும். மாறாக tan x, cot x ஆகியவை π ஆரையன்கள் கொண்ட கால வட்டச் சார்புகளாகும்.

வரையறை 4.2 (ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்)

ஒரு மெய்மதிப்புடையச் சார்பு f−ன் சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், −x என்பதும் f − ன் சார்பகத்தில் இருந்து, f(−x) = f (x) என்றவாறு இருந்தால், f ஐ ஓர் இரட்டைச் சார்பு (even function) என்போம்.

ஒரு மெய்மதிப்புடையச் சார்பு f −ன் சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x−க்கும், −x என்பதும் f −ன் சார்பகத்தில் இருந்து, f (x) = −f (x) என்றவாறு இருந்தால், f ஐ ஓர் ஒற்றைச் சார்பு (odd function) என்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக, x3, sin x, cosec x, tan x மற்றும் cot x ஆகியவை ஒற்றைச் சார்புகளாகும். ஆனால், x2, cos x மற்றும் sec x ஆகியவை இரட்டைச்சார்புகளாகும்.

குறிப்புரை

g மற்றும் h க்கு காலம் இருந்து, f = g ± h என்றவாறு இருந்தால் f−ன் காலம் மி.சி.ம {காலம் g, காலம் h } என இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, y = cos6x + sin4x −ன் காலம் π மற்றும் y = cosx − sinx −ன் காலம் 2π ஆகும்.

1. முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் (Domain and Range of trigonometric functions)

முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்பகங்கள் மற்றும் வீச்சகங்கள் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

2. சார்புகளின் வரைபடங்கள் (Graphs of functions)

f : ℝ → ℝ என்பது ஒரு மெய்மதிப்புடையச் சார்பு என்க. அதன் சார்பகத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி x−ல் சார்பு f−ன் மதிப்பு  f (x) என்க. பின்னர், (x, f(x)), x ∈ ℝ என்ற புள்ளிகளின் தொகுப்புக் கணம், சார்பு f−ன் வரைபடத்தை தீர்மானிக்கிறது. பொதுவாக, xy −தளத்தில் உள்ள ஒரு வரைபடம், ஒரு சார்பினைக் குறிக்கும் என கூறமுடியாது. இருந்தபோதிலும், ஒரு வரைபடம் நிலைக் குத்துக் கோட்டுச் சோதனையை (ஒரு நிலைக்குத்துக்கோடு ஒரு வரைபடத்தை வெட்டுமானால், அக்கோடு அதிகபட்சமாக ஒரேயொரு புள்ளியில் மட்டும் வெட்டும்) நிறைவு செய்தால், அவ்வரைபடம் ஒரு சார்பினைக் குறிக்கும்.

நம் அன்றாட வாழ்வில், அலைகள், இரவு/பகல் சுழற்சி போன்று நேரத்தைப் பொறுத்து காலவட்டத்தினை உள்ளடக்கிய பல்வேறு நிகழ்வுகளைக் காண்கிறோம். முக்கோணவியல் சார்புகள் அனைத்தும் திரும்பச் சார்புகள் என்பதால், இத்தகைய நிகழ்வுகளை முக்கோணவியல் சார்புகள் மூலமாக அறிந்துணரலாகும். முக்கோணவியல் சார்புகளை அவைகளின் வரைபடங்கள் வாயிலாகப் பார்த்து அறிந்து கொள்வதின் மூலம், கால வட்ட ஒழுங்குடைமையுள்ள நிகழ்வுகளின் பண்புகளை ஆராய்ந்தறியலாம்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரைபடத்தை xy−தளத்தில் வரைய, சாரா மாறி x ஐ ஆரையனில் உள்ள கோண அளவுகளைக் குறிக்கும். சார்ந்த மாறியை y எனவும் குறிப்பிடுவோம். சைன் சார்பினை y = sinx என எழுதுகிறோம். இதைப்போலவே மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளையும் எழுதலாம். இனி வரும் பாடப்பகுதிகளில், முக்கோணவியல் சார்புகள் மற்றும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரைபடங்களை எவ்வாறு வரையலாம் எனவும் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் பற்றியும் படிக்க உள்ளோம்.

3. வரைபடத்தின் வீச்சு மற்றும் காலம் (Amplitude and Period of a graph)

x−அச்சிலிருந்து ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு உள்ள மீப்பெரு தூரம் அச்சார்பின் வீச்சு (amplitude) ஆகும். இவ்வாறாக ஒரு சார்பின் வீச்சு ஆனது x −அச்சிலிருந்து அதன் மீப்பெரு அல்லது மீச்சிறு மதிப்பிற்கு உள்ள உயரம் ஆகும். ஒரு முழுச்சுற்றினை பூர்த்தி செய்ய சார்புக்கு தேவைப்படும் தூரம் அச்சார்பின் காலம் (period) ஆகும்.

குறிப்புரை

(i) காலவட்டச் சார்பின் கால அளவிற்கு (period) சமமான நீளம் கொண்ட இடைவெளியில் வரையப்படும் வரைபடப்பகுதியே திரும்ப திரும்ப வரும் பல வரைபடப் பகுதிகளைக் கொண்டதாக அச்சார்பின் மொத்த வரைபடம் அமையும்.

(ii) ஒற்றைச் சார்பின் வரைபடம் ஆதியைப் பொறுத்து சமச்சீராகவும் மற்றும் இரட்டைச் சார்பின் வரைபடம் y –அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீராகவும் இருக்கும்.

4. நேர்மாறு சார்புகள் (Inverse functions)

உள்ளீடு செய்யப்படும் ஒரு மதிப்புக்கு எப்பொழுதும் ஒரேயொரு தனித்த மதிப்பினை விடையாகத் தரும் விதிமுறையே ஒரு சார்பாகும் என்பதை நினைவு கூர்வோம். சார்பின் நேர்மாறு இருத்தலுக்கு மேற்கண்ட சார்பிற்கான தேவையைப் பூர்த்தி செய்தல் அவசியமாகிறது. இதனை நாம் ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூலம் விளக்குவோம்.

இரட்டையர் அல்லாத அனைத்து மானிடர்களின் கணத்தினைக் கருதுவோம். அக்கணத்திலுள்ள ஒவ்வொருவரும் ஒரு இரத்த வகை மற்றும் ஒரு மரபணு (DNA) தொடர்ச்சியை பெற்றுள்ளார். மானிடரை உள்ளீடாகவும் இரத்த வகை அல்லது மரபணு தொடர்ச்சியை வெளியீடாகவும் இருப்பதால் இவை சார்புகளாகின்றன. ஒரே இரத்த வகை கொண்டுள்ள மனிதர் பலருண்டு என்பதனை நாம் அறிவோம். இருப்பினும் மரபணு தொடர்ச்சியை பொருத்தவரை ஒவ்வொரு தனி மனிதனுக்கும் மரப்பனு தொடர்ச்சி தனித்தனியே இருக்கும். இதனை பின்னோக்கி படிக்கும்போது இரத்த மாதிரியின் இரத்த வகை தெரிந்திருந்தால் அதன் மூலம் அம்மாதிரி இரத்த வகை குறிப்பாக யாரிடமிருந்து பெறப்பட்டது எனக் கூற முடியுமா? முடியாது என்பதே இதற்கு விடையாகும். மாறாக ஒரு மரபணு தொடர்ச்சியை தெரிந்திருந்தால் கணத்திலுள்ள அதற்குரிய மனிதரைக் கண்டறிய இயலும். இவ்வறாக மரபணு தொடர்ச்சி மூலம் மனிதரைக் கண்டறியும் பின்னோக்குதேலே நேர்மாறு சார்பின் இருத்தலுக்கான அடிப்படையாகிறது. இத்தகைய பின்நோக்கி கண்டறிதலே நேர்மாறு சார்பாகும். மரபணு தொடர்ச்சி எடுத்துகாட்டுப் போல், சார்பானது ஒன்றுக் கொன்று சார்பாக இருந்தால், அதற்கு நேர்மாறு சார்பு இருக்கும். தோராயமாக கூறும்போது சார்பு செய்யும் செயலை அதன் நேர்மாறு சார்பு அச்செயலை, செயலிழக்க வைக்கிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு குறுங்கோணமும் மற்றும் ஒரு பக்க நீளமும் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், பிற கோணங்களையும் மற்றும் பிற பக்க நீளங்களையும் கண்டறிவது எளிதாகும். ஆனால் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்கள் மட்டுமே தரப்பட்டிருந்தால், பக்கங்களின் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் காண்பதற்கு ஒரு வழிமுறை தேவைப்படுகிறது. இத்தகைய தருணத்தில்தான் முக்கோணவியல் சார்பின் நேர்மாறு சார்பு எனும் கருத்தாக்கம் முக்கியத்துவம் பெறுகிறது.

எந்தவொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் முழுமை சார்பகத்தின்மீது ஒன்றுக்கொன்று சார்பு அல்ல என்பதை நாம் அறிவோம். எடுத்துகாட்டாக, sin θ = 0.5 எனக் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், θ = π/6, 5π/6, 13π/6, −7π/6, −11π/6 , … ஆகிய எண்ணற்ற θ −வின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட sin θ −விற்கு ஏற்ப θ −க்கு தனித்த மதிப்பைக் காண இயலாது. இவ்வாறு ஒரே மதிப்பிற்கு பல கோணங்களை கோர்க்கும் நிலை ஏற்படுவதை தவிர்க்க, நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பினை வரையறுக்கும் முன்னரே, தக்க எல்லைக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டவாறு சார்பிற்கான சார்பகத்தை வரையறைச் செய்ய வேண்டும்.

முக்கோணவியல் சார்பின் நேர்மாறை உருவாக்கும்போது, கட்டுபடுத்தப்பட்ட இடைவெளியில் அச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்று சார்பாக அமையும்படி போதுமானதொரு சிறிய இடைவெளியைக் கருதுவோம். ஆனால், அவ்வாறு கட்டுபடுத்தப்பட்ட இடைவெளியைச் சார்பகமாகக் கொண்ட  சார்பின் வீச்சகம் அச்சார்பின் முழுமையான வீச்சகமாக இருக்கவேண்டும். இப்பாடப்பகுதியில் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சார்புகளின் நேர்மாறு சார்புகளை வரையறை செய்வோம்.

5. நேர்மாறு சார்புகளின் வரைபடங்கள் (Graph of inverse functions)

f என்பது ஒரு இருபுறச் சார்பாகவும் மற்றும் f−ன் நேர்மாறு f−1எனவும் கருதுவோம். ஆகவே y = f(x) எனில், எனில் மட்டுமே x = f−1(y) ஆகும். எனவே (a, b) என்பது, f−ன் வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியாக அமைவதற்குத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை அப்புள்ளிக்கு ஒத்த புள்ளியாக (b, a) எனும் புள்ளி f−1 −ன் வரைபடத்தில் அமையவேண்டும். இக்கருத்தின் வாயிலாக f−ன் வரைபடத்தில் உள்ள x மற்றும் y அச்சுகளை ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றம் செய்வதன்மூலம், f−1 ன் வரைபடத்தைப் பெறலாம் என்பது புலனாகின்றது. மாறாக y = x எனும் நேர்க்கோட்டின் ஊடாக f −ன் வரைபடத்தின் கண்ணாடி பிம்பமாக (mirror image) f−1−ன் வரைபடம் உள்ளது எனவும் கூறலாம் அல்லது y = x எனும் நேர்க்கோட்டின் ஊடாக f −ன் வரைபடத்தின் பிரதிபலிப்பாக (reflection) f−1 ன் வரைபடம் உள்ளது எனவும் கூறலாம்.