தொடுகோட்டுச் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு (The Tangent Function and the Inverse Tangent Function)

தொடுகோட்டுச் சார்பு மற்றும் நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு (The Tangent Function and the Inverse Tangent Function)

கட்டிடம், மலை அல்லது கொடிகம்பம் போன்றவற்றின் உயரம் அல்லது தூரத்தை கண்டறிவதற்கு y = tan x எனும் தொடுகோட்டுச் சார்பை பயன்படுத்துகிறோம். y = tan x = sinx/cosx −ன் சார்பகத்தில் பகுதியை பூஜ்ஜியமாக்கும் x−ன் மதிப்புகள் நீக்கப்படுகிறது. எனவே x = … , −3π/2 , −π/2 , π/2 , 3π/2 , … ஆகிய மதிப்புகளுக்கு தொடுகோட்டுச் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை . ஆகையால் y = tan x −ன் சார்பகமானது ஆகும். அதன் வீச்சகம் (−∞, ∞) ஆகும். y = tan x எனும் தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் π ஆகும்.

1. தொடுகோட்டுச் சார்பின் வரைபடம் (The graph of tangent function)

மீள்நிகழ் காலமுறையுள்ள இடைவெளிகளில் சார்பின் மதிப்பை காண்பதற்கு தொடுகோட்டுச் சார்பு பயனுள்ளதாக இருக்கும். தொடுகோட்டுச் சார்பு ஒற்றைச் சார்பாகும். ஆகையால் y = tan x –ன் வளைவரை ஆதியைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும். தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் π என்பதால் π நீளமுள்ள ஏதேனும் ஒரு இடைவெளியில் y = tan x ன் வரைபடத்தை வரையலாம். [−π/2, π/2] எனும் இடைவெளியைக் கருதுக. x ∈ [−π/2, π/2] எனும்படி y = tan x ன் வளைவரை  வரைய கீழ்க்காணும் அட்டவணையை அமைப்போம்.

இப்போது அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து, அவைகளை இழைவான வளைவரையில் இணைத்து y = tan x, −π/2 < x  < π/2    , ன் வரைபடத்தை வரையலாம். π/2 மதிப்பை x நெருங்கும்போது அதே சமயம் π/2 −ஐ விட குறைவான மதிப்பைப் பெறும்போது sin x மதிப்பு 1 −ஐ நெருங்கும் மற்றும் cos x மிகை எண்மதிப்பாகவும் 0−ஐ நெருங்கியும் இருக்கும். ஆதலால் x, π/2 −ஐ நெருங்கும்போது sinx/cos x  எனும் விகிதம் மிகையெண் மதிப்பாகவும் மற்றும் அதன் மதிப்பு அதிகரித்தும் ∞ −ஐ நெருங்குகிறது. எனவே x, π/2 எனும் நேர்க்கோடு வரைபடத்திற்கு செங்குத்து தொலைத் தொடுகோடாக  இருக்கும். அதேபோல் x, −π/2 –ஐ நெருங்கும்போது sin x/cos x எனும் விகிதம் குறையெண் மதிப்பாகவும் மற்றும் எண்ணளவு அதிகரித்தும் −∞ −ஐ நெருங்கும். எனவே x = −π/2 எனும் நேர்க்கோடும் வரைபடத்திற்கு செங்குத்து தொலைத் தொடுகோடாக இருக்கும். எனவே, படம் 4.15 ல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது போல் −π/2 < x  < π/2   −க்கு, y = tan x இன் வரைபடத்தின் ஒரு கிளை கிடைக்கும். y = tan x −ன் முதன்மை சார்பகம் [−π/2, π/2] ஆகும்.

x = (2n+1) π/2, n ∈ ℤ மதிப்புகளைத் தவிர ஏனைய மெய்யெண்கள்களுக்கு தொடுகோட்டுச்சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் அதிகரிக்கும் சார்பாக இருக்கிறது. x = (2n+1) π/2, n ∈ ℤ −ல் செங்குத்து தொலைத் தொடுகோடுகள் உள்ளது. x = nπ, n ∈ ℤ −ஐப் பொறுத்து y = tan x ன் கிளைகள் சமச்சீராக உள்ளது. y = tan x ன் முழு வரைபடம் படம் 4.16−இல் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.

குறிப்பு

வரைபடத்திலிருந்து y = tan x எனும் வளைவரையானது,  0 < x < π/2 −ல் மற்றும் π < x < 3π/2 −ல் மிகையெண் மதிப்பாக இருக்கிறது; π/2 < x < π −ல் மற்றும் 3π/2 < x < 2π −ல் குறையெண் மதிப்பாகவும் இருக்கிறது.

2. தொடுகோட்டுச் சார்பின் பண்புகள் (Properties of the tangent function) 

y = tan x ன் வளைவரையிலிருந்து கீழ்க்காணும் தொடுகோட்டுச் சார்பின் பண்புகளை அறியலாம்.

(i) தொடுகோட்டுச் சார்பின் வளைவரை தொடர்ச்சியற்றது.

மேலும் x = (2n + 1) π/2, n ∈ ℤ எனும் புள்ளிகளில் y = tan x தொடர்ச்சியற்றதாக உள்ளது.

(ii) −π/2 < x  < π/2   −க்கு y = tanx எனும் வளைவரையின் ஒரு பகுதி ஆதியைப் பொறுத்து சமச்சீராக உள்ளது.

(iii) x = (2n + 1) π/2, n ∈ ℤ ஆகிய இடங்களில், எண்ணற்ற தொலைத் தொடுகோடுகள் உள்ளது.

(iv) தொடுகோட்டுச் சார்பிற்கு மீப்பெருமமோ அல்லது மீச்சிறுமமோ இல்லை.

குறிப்புரை

(i) y = a tan bx −ன் வளைவரை = −π/2|b|  < x < π/2|b| எனும் இடைவெளியில் ஒரு முழுமையான சுழற்சியில் பெற்றுள்ளது மற்றும் அதன் காலம் π/|b| ஆகும்.

(ii) y = a tan bx −க்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் x = [ π / 2|b| ]  + [ π / |b| ] k, k ∈ ℤ ஆகும்.

(iii) தொடுகோட்டுச் சார்பிற்கு மீப்பெருமமோ அல்லது மீச்சிறுமமோ இல்லை என்பதால் tan x க்கான வீச்சு வரையறுக்க முடியாது.

3. நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு மற்றும் அதன் பண்புகள் (The inverse tangent function and its properties)

தொடுகோட்டுச் சார்பனது அதன் முழுசார்பகம் ℝ \{ π/2 + kπ , k ∈ ℤ} −ல் ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு அல்ல ஆயினும், tan x : [−π/2, π/2] → ℝ என்பது இருபுறச் சார்பு. ℝ −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [−π/2, π/2] வீச்சகமாகவும் கொண்டு நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பை வரையறை செய்வோம்.

வரையறை 4.5

எவ்வொரு மெய்யெண் x −க்கும், tan y = x என்றவாறு [−π/2, π/2] −ல் உள்ள தனித்த எண் y ஐ tan–l x என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு tan–l : (−∞, ∞) → [−π/2, π/2] ஐ tan–l (x) = y என வறையறுக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை tan y = x மற்றும் y ∈ ℤ [−π/2, π/2] ஆகும்.

y = tan–l x  வரையறையிலிருந்து பின்வருவனவற்றை அறியலாம்.

(i) y = tan–l x என்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை அனைத்து x ∈ ℝ மற்றும் −π/2 ≤  y  ≤  π/2  ற்கு  x = tan y ஆகும்.

(ii) ஒவ்வொரு மெய்யெண் x−க்கும் tan (tan–lx) = x ஆகும். மேலும் y = tan–lx ஒரு ஒற்றைச் சார்பு ஆகும்.

(iii) tan–l (tan x) = x என இருக்கத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை −π/2 ≤  x  ≤  π/2   ஆகும்.

இங்கு tan–l (tan π) = 0 ஆகுமே தவிர π ஆகாது என்பதனைக் கவனிக்கவும்.

குறிப்பு

(i) நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு பற்றிக் குறிப்பிடும் போதெல்லாம், tan : [−π/2, π/2] → ℝ மற்றும்  tan–l : ℝ → [−π/2, π/2] என்பதை நினைவில் கொள்ளவேண்டும்.

(ii) கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகமான [−π/2, π/2] என்பது தொடுகோட்டுச் சார்பின் முதன்மை சார்பகமாகும். y = tan–l x,  x ∈ ℝ, எனும் மதிப்புகள் y = tan–l x வின் முதன்மை மதிப்புகளாகும்.

4. நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பின் வரைபடம் (Graph of the inverse tangent function)

y = tan–l x  ன் சார்பு மெய்யெண் கோட்டின் முழுவதுமான (−∞, ∞) −ஐ சார்பகமாகவும் மற்றும் [−π/2, π/2] −ஐ வீச்சகமாகவும் கொண்டுள்ளது. இங்கு −π/2 மற்றும் π/2 ஆகிய இடங்களில் தொடுகோட்டுச் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. எனவே y = tan–l x வரைபடமானது y = −π/2  மற்றும் y = π/2  ஆகிய இரு கோடுகளுக்கிடையே மட்டும்தான் அமையப்பெற்றிருக்கும் மற்றும் அவ்விரு கோடுகளையும் எவ்விடத்திலும் தொடுவதில்லை. மாறாக, y = −π/2  மற்றும் y = π/2  ஆகிய இவ்விரு கோடுகளும் y = tan–l x−க்கு கிடைமட்ட தொலைத் தொடுகோடுகளாக இருக்கின்றன.

படம் 4.17 மற்றும் படம் 4.18 ஆகிய இரு படங்களும் முறையே [−π/2, π/2]  எனும் சார்பகத்தைக் கொண்ட y = tan x ன் வரைபடத்தையும் மற்றும் (−∞, ∞) எனும் சார்பகத்தைக் கொண்ட y = tan–l x ன் வரைபடத்தையும் சித்தரிக்கிறது.

குறிப்பு

(i) நேர்மாறு தொடுகோட்டுச் சார்பு திடமாக ஏறும் சார்பு மற்றும் (−∞, ∞) எனும் சார்பகத்தில் தொடர்ச்சியானது.

(ii) y = tan–l x −ன் வரைபடம் ஆதி வழியாகச் செல்கிறது.

(iii) ஆதியைப் பொறுத்து வளைவரை சமச்சீராக இருப்பதால் சார்பு y = tan–l x ஆனது ஒரு ஒற்றைச் சார்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.8

முதன்மை மதிப்பு காண்க: tan–l (√3).

தீர்வு

tan–l (√3) = y என்க. எனவே, tan y = √3. ஆகையால்,  y =  π/3 ஏனெனில் π/3 ∈ [−π/2, π/2] எனவே, tan–l (√3) ன் முதன்மை மதிப்பு π/3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.9

மதிப்பு காண்க 

(i) tan–l (−√3) 

(ii) tan–l[tan(3π/5)]

(iii) tan(tan–l (2019))

தீர்வு

(i) tan–l (−√3) = tan–l[tan(−π/3)] = −π/3 , ஏனெனில் −π/3 ∈ [−π/2, π/2].

(ii) tan–l[tan(3π/5)]

tan θ = tan(3π/5) எனுமாறு θ ∈ [−π/2, π/2]. ஐ நாம் கண்டறிய வேண்டும்.

தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் π  என்பதால், tan(3π/5) = tan(3π/5 −π) = tan(−2π/5)  

எனவே, tan–l[tan(3π/5)] = tan–l[tan(−2π/5)]  = −2π/5 , ஏனெனில் −2π/5 ∈ [−π/2, π/2].

(iii) tan(tan–l x) = x, x ∈ ℝ என்பதால், tan(tan–l (2019)) = 2019 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.10

மதிப்பு காண்க tan–l(−1) + cos–l(1/2) + sin–l(−1/2).

தீர்வு

tan–l (−1) = y என்க. எனவே, tan y = −1 = − tan(π/4) = tan(−π/4). 

இங்கு −π/4 ∈ [−π/2, π/2] என்பது குறிப்பிடதக்கது. எனவே, tan–l (−1) = −π/4 .

இனி, cos–l (1/2) =  y எனில் cos y = 1/2 = cos π/3 .

π/3 ∈ [0, π] என்பதால் cos–l (1/2) = π/3

மேலும், sin–l(−1/2) = y எனில் sin y = −1/2 = sin(−π/6)

−π/6 ∈ [−π/2, π/2] என்பதால் sin–l(−1/2) = −π/6 .

எனவே , tan–l(−1) + cos–l(1/2) + sin–l(−1/2) =  −π/4 + π/3 − π/6 = − π/12 .

எடுத்துக்காட்டு 4.11

நிரூபி tan(sin–l x) =

தீர்வு

x = 0 எனில், இருபுறமும் 0 ஆகும். 

0 < x < 1. என்க.

θ = sin–l x என்க. எனவே 0 < θ < π/2 ஆகும். தற்போது sin θ = x /1 என்பதால்,.

எனவே tan (sin–l x) =

அடுத்தாக −1 < x < 0 என்க. எனவே, θ = sin–l x என்பதிலிருந்து −π/2 < θ < 0.

sin θ = x /1 என்பதால், tan θ =

இம்முறையிலும் tan (sin–l x) = என கிடைக்கின்றது.

சமன்பாடுகள் (1), (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றிலிருந்து tan (sin–l x) =   , −1 < x < 1 என நிறுவப்படுகின்றது.