ஒரு கலப்பெண்ணின் n−ஆம் படிமூலங்களைக் காணல் (Finding nth roots of a complex number)

2. ஒரு கலப்பெண்ணின் n−ஆம் படிமூலங்களைக் காணல் (Finding nth roots of a complex number)

கலப்பெண்களின் மூலங்களைக் காண டி மாய்வரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். n ஒரு முழு எண் மற்றும் ω ஒரு கலப்பெண் ஆனது z−ன் n −ஆம் படிமூலம் z1/n எனக்கொண்டால்

ωn = z எனப்பெறலாம்.          …………….(1)

ω = ρ(cos ∅ + i sin∅)

மேலும் z = r(cos θ + isin θ) = r(cos(θ + 2kπ) + isin(θ + 2kπ))  , k ∈ ℤ என்க.

z −ன் n−ஆம் படிமூலம் ω எனில்

ωn = z 

⇒ ρn (cos ∅ + i sin∅) n  = r(cos(θ + 2kπ) + i sin (θ + 2kπ)), k ∈ ℤ

டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,

ρn (cos n∅ + i sin n∅) =  r(cos(θ + 2kπ) + i sin (θ + 2kπ)), k ∈ ℤ 

மட்டுக்களையும் வீச்சுகளையும் சமப்படுத்த

ρn = r மற்றும் n∅ = θ + 2kπ , k ∈ ℤ எனப்பெறலாம்.          

ρ = r1/n மற்றும் ∅ = (θ + 2kπ) / n , k ∈ ℤ 

ஆகவே. ω −ன் மதிப்புகள்

k −விற்கு எண்ணிக்கையற்ற மதிப்புகள் இருந்தாலும் ω −விற்கு வெவ்வேறான மதிப்புகளைப் பெற k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1 எனப்பிரதியிட வேண்டும். k = n, n + 1, n + 2, ... என பிரதியிட்டால் கிடைத்த மூலங்களே (சுற்றுவட்ட முறையில்) சீரான இடைவெளியில் கிடைக்கும். ஆகவே  z = r(cos θ + isin θ)  என்ற கலப்பெண்ணின் n−ஆம் படிமூலங்கள்

ஒரு கலப்பெண்ணின் n−ஆம் மூலத்தினை எனக்கொள்வதன் மூலமும் படத்தில் காட்டியுள்ளது போன்ற ஒரு அழகிய வடிவியல் விளக்கத்தினைப் பெறலாம். இந்த n மூலங்களுக்கும், | ω | = n√r அதாவது மட்டு மதிப்பு n√r எனவே இவை ஆதியை மையமாக n√r ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மீது அமையும். மேலும் இந்த n மூலங்களில் அடுத்தடுத்த மூலங்களின் வீச்சுகள் 2π/n என்ற வித்தியாசத்தில் வேறுபடுவதால் இந்த n மூலங்களும் வட்டத்தின் மேல் சீரான இடைவெளிகளில் அமையும். 

மேற்குறிப்பு

(1) டி மாய்வர் தேற்றத்தின் பொது வடிவம் (General form of de Moivre's Theorem)

x ஒரு விகிதமுறு எண் எனில் cos xθ + isin xθ என்பது (cos θ + isin θ)x −ன் மதிப்புகளில் ஒன்றாகும்.

(2) அலகு வட்டத்தின் துருவ வடிவம் (Polar form of unit circle)

z = eiθ = cos θ + isin θ என்க.

எனவே, |z|2 = | cos θ + isin θ |2 எனப்பெறலாம்.

⇒ |x + iy|2 = cos2 θ + sin2 θ = 1

⇒ x2 + y2 = 1.

எனவே, |z| = 1 ஆனது ஆதியை மையமாகக் கொண்ட அலகு வட்டத்தை (ஓரலகு வட்டத்தை) குறிக்கிறது.