கலப்பெண்ணின் மட்டுக்கான பண்புகள் (Properties of Modulus of a complex number): எடுத்துக்காட்டு கணக்கு

எடுத்துக்காட்டு 2.9

z1 = 3 + 4i, z2 = 5 – 12i, மற்றும் z3 = 6 + 8i எனில் | z1|, | z2|, | z3|, |z1 + z2|, | z1 – z3|, மற்றும் |z1 + z3| ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு

|z1| = |3 + 4i| = √[32 + 42] = 5

|z2| = |5 − 12i|= √[52 + (−12)2] = 13

|z3| = |6 + 8i| = √[62 +82] =10

|z1 + z2| = |(3 + 4i) + (5 – 12i)| = |8 – 8i| = √128 = 8√2

|z2 – z3| = |(5 – 12i) – (6 +8i)| = |−1 – 20i| = √401

|z1 + z3| = |(3 + 4i) + (6 + 8i)| = |9 + 12i| = √225 =15

எல்லா வகைகளிலும் முக்கோணச் சமனிலி நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காண்க. 

|z1 + z3| = |z1| + |z3| = 15 (ஏன்?)

எடுத்துக்காட்டு 2.10

கீழ்க்காண்பவைகளின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 2.11

i, −2 + i, மற்றும் 3 ஆகியவற்றில் எந்த கலப்பெண் ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ளது?

தீர்வு

z = i, −2 + i, மற்றும் 3 ஆகியவற்றிற்கும் ஆதிக்கும் உள்ள தொலைவுகள்

|z| = |i| =1

| z | = |−2 + i| = √[(−2)2 + 12] = √5

| z| < |3| < 3 ஆகும்.

1< √5 < 3 எனவே, ஆதியிலிருந்து அதிக தொலைவில் உள்ள கலப்பெண் 3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.12

z1, z2, மற்றும் z3 ஆகிய கலப்பெண்கள் |z1| = |z2| = |z3| = |z1 + z2 + z3| = 1 என்றவாறு இருந்தால், |1/z1 + 1/z2 + 1/z3| −ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு

|z1| = |z2| = |z3| = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.13

 |z| = 2 எனில் 3 ≤ |z + 3 + 4i| ≤ 7 எனக்காட்டுக.

தீர்வு

|z + 3 + 4i| ≤ |z| + |3+ 4i| = 2 + 5 = 7 

|z + 3 + 4i|  ≤ 7      …………(1)

|z + 3+ 4i| ≥ | | z | − |3 + 4i| | = |2 – 5| = 3

|z + 3 + 4i| ≥ 3      …………(2)

(1) மற்றும் (2)−லிருந்து 3 ≤ |z + 3 + 4i| ≤ 7.

குறிப்பு

கீழ் மற்றும் மேல் எல்லை மதிப்புகளைக் காண | |z1|−|z2| | ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| என்ற பண்பை பயன்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.14

1, −1/2 + i √3/2 , மற்றும் −1/2  − i √3/2 என்ற புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகளாக அமையும் என நிறுவுக.

தீர்வு

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.

z1 =1, z2 = −1/2 + i √3/2  ,மற்றும் z3 = −1/2  − i √3/2 என்க.

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்

பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.15

z1, z2, மற்றும் z3 என்ற கலப்பெண்கள் |z1| = |z2| = |z3| = r > 0 மற்றும் z1 + z2 + z3 ≠ 0 எனவும் இருந்தால்  என நிறுவுக.

தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 2.16

z2 = என்ற சமன்பாட்டிற்கு நான்கு மூலங்கள் இருக்கும் என நிறுவுக.

தீர்வு

கொள்கை z2 =

⇒  |z|2 = |z|

⇒ |z| (|z|−1) = 0,

⇒ |z| = 0, அல்லது | z | = 1.

|z| = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு, |z| = 1 ⇒ z =1⇒ = 1/z

கொள்கையிலிருந்து z2 = ⇒ z2 = 1/ z ⇒ z3 = 1

இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.