ஒரு கலப்பெண்ணின் துருவ வடிவம் (Polar form of a complex number)

கலப்பு எண்களின் துருவ வடிவம் மற்றும் ஆய்லர் வடிவம் (Polar and Euler form of a Complex Number)

கலப்பெண்களை கூட்டும்போதும் கழிக்கும் போதும் நாம் கலப்பெண்களின் செவ்வக ஆயத்தொலைகளை பயன்படுத்துகிறோம். ஏனெனில் இங்கு மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை கூட்டவோ அல்லது கழிக்கவோ மட்டுமே செய்கிறோம். கலப்பெண்களின் பெருக்கும்போது அல்லது கலப்பெண்களின் அடுக்குகளை காணும் போது துருவ வடிவத்தை பயன்படுத்துகிறோம். ஏனெனில் இது செவ்வக ஆயத்தொலை முறையினைவிட துருவ வடிவில் எளிதாகக் காணலாம்.

1. ஒரு கலப்பெண்ணின் துருவ வடிவம் (Polar form of a complex number)

துருவ ஆயத்தொலை வடிவம் என்பது ஆதியிலிருந்து z = x + iy என்ற புள்ளிவரை உள்ள வெக்டரை அதன் எண் மதிப்பு மற்றும் திசையினை கொண்டு வகைப்படுத்தும் மற்றொரு வடிவம் ஆகும். துருவ ஆயத்தொலை முறையில் O என்ற நிலையான புள்ளியை துருவப் புள்ளி எனவும் துருவ புள்ளியிலிருந்து ஆரம்பிக்கும் கிடைமட்ட அரை கோட்டினை ஆரம்பக் கோடு (துருவ அச்சு) எனவும் அழைக்கின்றோம். r என்பது துருவப் புள்ளியிலிருந்து P உள்ள தூரம் மற்றும் θ என்பது ஆரம்பக் கோட்டிலிருந்து OP−ன் திசையில் கடிகார எதிர்திசையில் அளக்கப்பட்ட சாய்வுக் கோணம் எனவும் கொண்டால், (r , θ) வரிசையிட்ட ஜோடியினை P−ன் துருவ ஆயத்தொலைகள் எனலாம். துருவ ஆயத் தொலை முறையை செவ்வக ஆயத்தொலை முறையுடன் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக படத்தில் காட்டியவாறு வைத்தால்

x = r cos θ            ...(1)

y = r sin θ எனப்பெறலாம். ...(2)

எந்த ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற கலப்பெண் z = x + iy −யையும் z = r cos θ + i r sin θ என எழுதலாம்.

வரையறை 2.6

r மற்றும் θ ஆகியவை P(x, y) என்ற பூஜ்ஜியமற்ற கலப்பெண் z = x + iy −ன் துருவ  ஆயத்தொலைகள் என்க. P என்ற புள்ளியின் துருவ அல்லது முக்கோண வடிவம் என்பது 

z = r(cos θ + i sin θ).

துருவ வடிவினை வசதிக்காக நாம் z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = r cis θ என எழுதலாம். 

இதில் r என்பது கலப்பெண் z −ன் எண்ணளவு அல்லது மட்டு மதிப்பு ஆகும். θ என்பது கலப்பெண் z −ன் வீச்சு ஆகும். இதனை θ = arg (z) எனக்குறிப்போம்.

(i) z = 0 −வுக்கு வீச்சு θ வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே துருவ ஆயத்தொலை முறையில் z ≠ 0 என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

(ii) z = x + iy என்ற கலப்பெண்ணின் துருவ வடிவம் (r , θ)எனில் இதன் இணை கலப்பெண் = x − iy −ன் துருவ வடிவம் (r, − θ) ஆகும்.

(1) மற்றும் (2)−ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்டி வர்க்கமூலம் காண r கிடைக்கிறது r = |z| = √[x2 + y2].

(2) −ஐ (1) −ஆல் வகுக்க, rsinθ / rcosθ = y/x ⇒ tan θ = y /x .

நிலை (i)

z−ஐ வெக்டராகக் கருதும்போது மெய் எண் θ என்பது z ஆனது மிகை மெய் அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணத்தை ரேடியனில் குறிக்கும். கோணம் θ −விற்கு குறை மதிப்புகளையும் சேர்த்து முடிவுற்ற எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகள் 2π −ன் முழு எண் மடங்குகளாக இருக்கும். இம்மதிப்புகளை tan θ = y/x என்றசமன்பாட்டினைக் கொண்டு தீர்மானிக்கலாம். இந்த θ −ன் ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் z−ன் வீச்சுகள் என்கிறோம். மேலும் θ −வின் எந்த ஒரு மதிப்புடனும் 2π −ன் மடங்குகளை கூட்டுவதன் மூலம் θ −வின் எல்லா மதிப்புகளையும் அடங்கிய கணத்தைப் பெறலாம். இதனை arg z எனக் குறிப்பிடுகிறோம். arg z−ன் முதன்மை வீச்சினை Argz எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.

நிலை (ii)

− π < θ < π என்ற நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு θ விற்கு ஒரே ஒரு மதிப்புதான் இருக்கும். இந்த மதிப்பினை z−ன் முதன்மை வீச்சு என்கிறோம். இதனை Arg z என குறிப்பர்.

இங்கு − π < Arg(z) ≤ π அல்லது − π < θ ≤ π

இந்த முதன்மை வீச்சு − π < Arg(z) ≤ π அல்லது − π < θ ≤ π 

என்ற நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு ஒருமைத் தன்மையுடன் காணலாம்.

ஒரு கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு

இங்கு Arg z −ல் உள்ள A என்பது என்பது மிக முக்கியம் ஏனெனில் இதுவே முதன்மை வீச்சிற்கும் பொதுவான வீச்சிற்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை குறிக்கப் பயன்படுகின்றது.

முதன்மை வீச்சு θ −வை காண பொதுவாக நாம் α = tan−1| y/x | −ஐ கணக்கிட்டு கலப்பெண் எந்த கால்பகுதியில் அமைகின்றதோ அதற்கேற்றார் போல் α உடன் π −ஐ கூட்டியோ அல்லது கழித்தோ பெறலாம்.

arg z = Arg z + 2nπ , n ∈ ℤ.

வீச்சின் பண்புகள்

(1) arg(z1, z2 ) = arg z1 + arg z2

(2) arg(z1/z2 ) = arg z1 − arg z2

(3) arg (zn) = n arg z

(4) cos θ + i sin θ −ன் மற்றொரு வடிவம் cos(2kπ + θ) + isin(2kπ + θ), k ∈ ℤ ஆகும். 

1, i, −1, மற்றும் −i ஆகியவற்றின் முதன்மை வீச்சுகள் மற்றும் பொது வீச்சுகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது:−

விளக்க எடுத்துக்காட்டு

கலப்பெண் தளத்தில் கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களைக் குறிக்க.

2. கலப்பெண்ணின் ஆய்லரின் வடிவம் (Euler's Form of the complex number) 

ஆய்லரின் சூத்திரம் கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

eiθ = cos θ + i sin θ

ஆய்லரின் சூத்திரத்திலிருந்து துருவ வடிவத்தை z = r eiθ எனப் பெறலாம்.

குறிப்பு

கலப்பெண்களின் பெருக்கம் அல்லது கலப்பெண்களின் அடுக்குகளை காணும் போது துருவ வடிவத்தை நாம் பயன்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.22

பின்வரும் கலப்பெண்களுக்கு மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றைக் காண்க.

(i) √3 + i

(ii) −√3 + i

(iii) −√3 – i

(iv) √3 − i

தீர்வு

(i) √3 + i

√3 + i என்ற கலப்பெண்ணானது முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு

θ = α = π/6

ஆகவே, √3 + i −ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் π/6 ஆகும்.

(ii) −√3 + i

மட்டு = 2 மற்றும்

α = tan−1| y/x | = tan−1 1/√3 = π/6

−√3 + i, என்ற கலப்பெண்ணானது இரண்டாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு

θ = π − α = π − π/6 = 5π/6  

ஆகவே, − √3 + i −ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் 5π/6 ஆகும்.

(iii) −√3 – i

r = 2 மற்றும் α = π/6

−√3 – i என்ற கலப்பெண்ணானது மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு

θ = α − π =  π/6 − π = − 5π / 6  

ஆகவே, −√3 −i −ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் −5π/6 ஆகும்.

(iv) √3 – i

r = 2 மற்றும் α = π/6

√3 − i என்ற கலப்பெண்ணானது நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு

θ = −α =  − π/6 

ஆகவே, √3 − i  −ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் −π/6 ஆகும்.

இந்த நான்கிலும் மட்டு மதிப்புகள் சமம் ஆனால் அதன் வீச்சானது அக்கலப்பெண் அமையும் கால்பகுதியை பொருத்து அமைகின்றது.

எடுத்துக்காட்டு 2.23

(i) −1 −i 

(ii) 1 + i√3 என்ற கலப்பெண்களை துருவ வடிவில் காண்க.

தீர்வு

(i) −1− i = r(cos θ + isin θ) என்க.

 r = √[x2 + y2] = √[12 + 12] = √[1+1] = √2 மற்றும்

α = tan−1| y /x | = tan−11 = π/4 என கிடைக்கிறது.

−1− i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் அதன் முதன்மை வீச்சு,

குறிப்பு

k−ன் பல்வேறு மதிப்புகளைப் பொருத்து நமக்கு பல்வேறு மாறுபட்ட துருவ வடிவங்கள் கிடைக்கும்.

(ii) 1 + i√3

எடுத்துக்காட்டு 2.24

z = −2 / (1 + i√3) எனில் முதன்மை வீச்சு Arg z −ஐ காண்க.

தீர்வு

இதிலிருந்து 2π/3 என்பது arg z −ன் மதிப்புகளில் ஒன்று. 2π/3 ஆனது − π மற்றும் π −க்கு இடையில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு Arg z  = 2π/3 ஆகும்.

துருவ வடிவின் பண்புகள் (Properties of polar form)

பண்பு 1

z = r(cos θ + isin θ) , எனில் z−1 = 1/r (cos θ – isin θ) ஆகும்.

தீர்வு

பண்பு 2

z1 = r1 (cos θ1 + isin θ1) மற்றும் z2 = r2 (cos θ2 + isin θ2) எனில், z1z2 = r1r2 (cos (θ1 + θ2)  + isin (θ1 +  θ2))

தீர்வு

z1 = r1 (cos θ1 + isin θ1) மற்றும் 

z2 = r2 (cos θ2 + isin θ2)

⇒ z1z2 = r1 (cos θ1 + isin θ1) r2 (cos θ2 + isin θ2)

= r1r2((cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1))

z1z2 = r1r2(cos (θ1 + θ2)  + isin (θ1 +  θ2)).

குறிப்பு

arg(z1z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2)

பண்பு 3

z1 = r1 (cos θ1 + isin θ1) மற்றும் z2 = r2 (cos θ2 + isin θ2) எனில், z1/z2 = r1/r2 [cos (θ1 − θ2)  + isin (θ1 −  θ2)] 

தீர்வு

z1 மற்றும் z2 வின் துருவ வடிவங்களைப் பயன்படுத்த

குறிப்பு

arg(z1/z2) = θ1 − θ2 = arg(z1) − arg(z2)

எடுத்துக்காட்டு 2.25

என்ற பெருக்கத்தின் மதிப்பினை செவ்வக வடிவில் காண்க.

தீர்வு

இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.26

என்ற வகுத்தலின் மதிப்பினை செவ்வக வடிவில் காண்க.

தீர்வு

இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.27

z = x + iy மற்றும் arg[(z −1)/(z + 1)] = π/2 எனில், x2 + y2 = 1 எனக்காட்டுக.

தீர்வு

⇒ x2 + y2 = 1