வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் | கணிதவியல் - பல மாறிகளைக் கொண்ட சார்புகள் (Functions of several variables) | 12th Maths : UNIT 8 : Differentials and Partial Derivatives

12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 8 : வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

பல மாறிகளைக் கொண்ட சார்புகள் (Functions of several variables)

பொதுவாக y = f (x) என்ற சார்பின் வரைபடமானது xy - தளத்தில் அமைந்த ஒரு வளைவரை ஆகும்.

x என்ற மாறியாலான f என்ற சார்பை நினைவு கூர்வோம் ; y = f (x) என்ற சார்பின் தன்மையை நன்கு புரிந்து கொள்ள அதன் வரைபடத்தை வரைவோம். பொதுவாக y = f (x) என்ற சார்பின் வரைபடமானது xy - தளத்தில் அமைந்த ஒரு வளைவரை ஆகும். மேலும் x = a இல் f -ன் வகைக்கெழு f'(a) என்பது x = a இல் f -இன் வளைவரைக்கான தொடுகோட்டுச் சாய்வைக் குறிக்கிறது. அறிமுகத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளையுடைய சார்புகளின் தேவையைப் பற்றி பார்த்தோம். இங்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளையுடைய சார்புகளை அறிந்து கொள்ள சில கோட்பாடுகளை உருவாக்குவோம். முதலில் இரு மாறிகளையுடைய சார்புகளைக் காண்போம். x மற்றும் y இல் அமைந்த சார்பு F(x, y) என்க. F-ன் வரைபடம் வரைய முப்பரிமாணம் xyz இல் z = F(x,y) -ன் வரைபடம் வரைவோம். மேலும் இரு மாறிகள் உடைய சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மை, மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுவின் கோட்பாடுகளையும் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக g(x,y) = 30 – x2 - y2, x, y ∈ℝ என்பதைக் காண்போம். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி (x, y) ∈R2 எனில் z = 30 - x2 - y2 என்பது வரைபடத்தில் z அச்சு தூரத்தைத் குறிக்கிறது. எனவே (x, y,30-x2 - y2) என்ற புள்ளி xy - தளத்தில் (x,y) புள்ளிக்கு 30 - x2 - y2 உயரத்தில் உள்ளது. உதாரணமாக (2,3) ∈ R2 எனில் (2,3,30- 22 - 32) = (2,3,17) என்பது g-ன் வரைபடத்தின் மீதுள்ளது. நாம் y = 3 என எடுத்துக்கொண்டால் g(x,3)=-x2 + 21 என்ற சார்பு x-ஐ மட்டும் சார்ந்துள்ளது. எனவே அது ஒரு வளைவரையாக இருக்க வேண்டும்.

இதுபோல் x = 2 என எடுத்துக்கொண்டால் g(2,y) = 26 - y2 என்ற சார்பு y-ஐ மட்டும் சார்ந்துள்ளது. இந்த இரு நிலைகளிலும் கிடைக்கும் சார்புகள் இருபடிச் சார்புகளாக இருப்பதால் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாக இருக்கும். z = g(x,y) -இலிருந்து கிடைக்கும் வளைபரப்பு ஒரு பரவளையத் திண்மம் (paraboloid) எனப்படும்.

g(x,3) = 21 - x2 என்பது ஒரு பரவளையம், இது z = 30 - x2 - y2 என்ற வளைபரப்பும் y =3 என்ற தளமும் வெட்டும்போது கிடைப்பது ஆகும். (படம் 8.5-ஐக் காண்க). இதுபோல் g(2,y) = 26 - y2 என்பது ஒரு பரவளையம் ; இது z = 30 - x2 - y2 என்ற வளைபரப்பும் x = 2 என்ற தளமும் வெட்டும்போது கிடைக்கின்றது. (படம் 8.6-ஐக் காண்க). பின்வரும் வரைபடங்கள் மேற்கண்ட விவாதங்களை விவரிக்கின்றன.

x, y என்ற இரு மாறிகளில் அமைந்த சார்பு F-ஐப் போலவே z = F(x,y) என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்டு முப்பரிமாணம் R3-லும் காணலாம். இது ℝ3-ல் உள்ள வளைபரப்பைக் குறிக்கும்.

Tags : Differentials and Partial Derivatives | Mathematics வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் | கணிதவியல்.

12th Maths : UNIT 8 : Differentials and Partial Derivatives : Functions of Several Variables Differentials and Partial Derivatives | Mathematics in Tamil : 12th Standard TN Tamil Medium School Samacheer Book Back Questions and answers, Important Question with Answer. 12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 8 : வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் : பல மாறிகளைக் கொண்ட சார்புகள் (Functions of several variables) - வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் | கணிதவியல் : 12 ஆம் வகுப்பு தமிழ்நாடு பள்ளி சமசீர் புத்தகம் கேள்விகள் மற்றும் பதில்கள்.