இணைக் கலப்பெண் மூலத் தேற்றம் (Complex Conjugate Root Theorem), நிரூபணம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் - கற்பனை மூலங்கள் (Imaginary Roots) | 12th Maths : UNIT 3 : Theory of Equations

12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 3 : சமன்பாட்டியல்

கற்பனை மூலங்கள் (Imaginary Roots)

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்க்கு α + iβ என்பது ஒரு மூலம் எனில், α − iβ என்பதும் ஒரு மூலமாகும். இப்பாடப்பகுதியில் உயர்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் இது பொருந்தும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

1. கற்பனை மூலங்கள் (Imaginary Roots)

இனி சமன்பாட்டியியலிலுள்ள மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்த தேற்றங்களில் ஒன்றை நிரூபிப்போம்.

தேற்றம் 3.2 இணைக் கலப்பெண் மூலத் தேற்றம் (Complex Conjugate Root Theorem)

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு z0 ஒரு கலப்பெண் மூலம் எனில், அதன் இணைக் கலப்பெண் அதாவது, −ம் மூலமாக இருக்கும்.

நிரூபணம்

P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = 0 என்பது மெய்யெண் கெழுக்களுடைய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு என்க. இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு z0 என்பது ஒரு மூலம் என்க. எனவே, P(z0) = 0 ஆகும். இனி

அதாவது P() = 0; இதிலிருந்து எப்போதெல்லாம் z0 மூலமாக இருக்கிறதோ, அப்போதெல்லாம் அதன் இணைக் கலப்பெண் மூலமாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது.

எவரேனும் 2 ஒரு கலப்பெண்ணாகுமா என வினவினால், "ஆம்" எனும் விடையளிக்க சில மாணவர்கள் தயங்குவார்கள். ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் ஒரு விகிதமுறு எண் என்பதால் ஒவ்வொரு மெய் எண்ணும் ஒரு கலப்பெண் ஆகும். எனவே மெய் எண் இல்லாத ஒரு கலப்பெண்ணை அதாவது β ≠ 0 எனும்படி உள்ள α + iβ எனும் அமைப்பில் உள்ள எண்களைக் குறிப்பிட "மெய்யற்ற கலப்பெண்" எனத் தெளிவாக குறிப்பிடுவோம். சில நூலாசிரியர்கள் இத்தகைய எண்ணைக் கற்பனை எண் எனக் குறிப்பிடுவதுண்டு.

குறிப்புரை 1

z0 = α + i β என்க. இங்கு β ≠ 0 ஆகும். எனவே = a − iβ ஆகும். P(x) = 0 எனும் மெய்யெண் கெழுக்கள் உடைய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் α + iβ எனில், இணைக்கலப்பெண் மூலத்தேற்றத்தின்படி a − iβ என்பதும் P(x) = 0 −ன் ஒரு மூலமாகும். வழக்கமாக மேற்கண்ட வாக்கியத்தினை 'கலப்பெண் மூலங்கள் சோடி மூலங்களாகத்தான் அமையும்' என்பர். ஆனால் உண்மையில் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் மெய்யெண்களாக இருப்பின், மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்கள் இணைக்கலப்பெண் சோடி மூலங்களாக அமையும் எனப் பொருள் கொள்ள வேண்டும்.

குறிப்புரை 2

இதிலிருந்து எந்தவொரு ஒற்றை எண்படி மெய்யெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு மெய்யெண் மூலம் இருக்கும்; உண்மையில் மெய்யெண் கெழுக்களுடைய ஒற்றையெண்படி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படை எண்ணாகத்தான் இருக்கும். அதேபோன்று மெய்யெண் கெழுக்களுடைய இரட்டையெண்படி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படை எண்ணாகத்தான் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.8

2 − √3i −ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தலைஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை காண்க.

தீர்வு

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 2 − √3i என்பதால், 2 + √3i என்பதும் ஒரு மூலமாகும். எனவே, மூலங்களின் கூடுதல் 4 மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை 7 ஆகும். ஆகையால் x2 − 4x + 7 = 0 என்பது ஒரு மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவைப்படும் தலைஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

Tags : Complex Conjugate Root Theorem, Formulas, Solved Example Problems இணைக் கலப்பெண் மூலத் தேற்றம் (Complex Conjugate Root Theorem), நிரூபணம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள்.

12th Maths : UNIT 3 : Theory of Equations : Imaginary Roots Complex Conjugate Root Theorem, Formulas, Solved Example Problems in Tamil : 12th Standard TN Tamil Medium School Samacheer Book Back Questions and answers, Important Question with Answer. 12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 3 : சமன்பாட்டியல் : கற்பனை மூலங்கள் (Imaginary Roots) - இணைக் கலப்பெண் மூலத் தேற்றம் (Complex Conjugate Root Theorem), நிரூபணம், எடுத்துக்காட்டு கணக்குகள் : 12 ஆம் வகுப்பு தமிழ்நாடு பள்ளி சமசீர் புத்தகம் கேள்விகள் மற்றும் பதில்கள்.