பகுதி காரணிபடுத்தப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (Partly Factored Polynomials)

பகுதி காரணிபடுத்தப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (Partly Factored Polynomials)

(ax + b)(cx + d)(px + q)(rx + s) + k = 0, k ≠ 0 எனும் வகைக்கு மாற்றி எழுதக்கூடிய (αx2 + βx + λ) (αx2 + βx + μ) + k = 0

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளின் மூலம் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் வழிமுறையை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.23

தீர்க்க: (x − 2)(x − 7) (x − 3) (x + 2) + 19 = 0.

தீர்வு

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.

(x − 2)(x − 3)(x − 7)(x + 2) + 19 = 0.

எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,

(x2 − 5x + 6) (x2 − 5x − 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.

 x2 − 5x −ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y + 6) (y − 14) + 19 = 0; என மாறுகிறது.

அதாவது,

y2 − 8y − 65 = 0 .

இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y = 13 மற்றும் y = −5 எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x2 − 5x – 13 = 0 மற்றும் x2 − 5x + 5 = 0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து [5±√77]/2, [5±√5]/2 என எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.24

(2x − 3)(6x − 1)(3x − 2)(x − 2) − 5 = 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்க,

(2x − 3)(3x − 2) (6x − 1)(x − 2) − 5 = 0.

சோடிகளாகப் பெருக்க,

(6x2 −13x + 6)(6x2 −13x + 2) −5 = 0.

இதில் y = 6x2 −13x எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு

(y + 6)(y + 2) − 5 = 0

என மாறுகிறது. அதாவது,

y2 + 8y + 7 = 0 .

இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, y = −1 மற்றும் y = −7 எனக் கிடைக்கிறது.

y = 6x2 −13x −ல் y −ன் மதிப்புகளை பிரதியிட,

6x2 −13x + 1 = 0

6x2 −13x + 7 = 0

எனப் பெறுகிறோம். இவ்விரு சமன்பாட்டுகளையும் தீர்க்க,

x = 1, x = 7/6 , x = (13 + √145)/12 மற்றும் x =(13−√145)/12

என சமன்பாட்டின் மூலங்களைப் பெறுகிறோம்.