விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் (Rational Root Theorem)

கூடுதல் விவரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகள் (Polynomial Equations with no Additional Information)

1. விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் (Rational Root Theorem)

சில பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களில் சிலவற்றை சோதித்தறிதல் முறையில் காணலாம். உதாரணமாக,

4x3 − 8x2 – x + 2 = 0      ……………(1)

எனும் சமன்பாட்டைக் கருதுக. இது இதுவரை நாம் ஆய்ந்த எந்தவொரு முறைகளிலும் தீர்க்க இயலாத ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும். (1)−இன் பல்லுறுப்புக்கோவையை P(x) எனக் குறிப்பிட்டால், P(2) = 0 என்பதிலிருந்து x − 2 என்பது ஒரு காரணியாகும். கணக்கின் மீதமுள்ள சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண்பது இனி எளிது என்பதால் பயிற்சிக்கு விடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3.25

x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

தீர்வு

சமன்பாட்டிலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையை P(x) எனக் குறிப்பிட்டால், P(2) = 0 ஆகும். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 2 ஆகும். பிற மூலங்களைக் கண்டறிய x3 − 5x2 − 4x + 20 −ஐ x – 2 −ஆல் வகுக்க, x2 − 3x – 10 என்பது ஈவாக கிடைக்கிறது. இதனைத் தீர்க்க, −2 மற்றும் 5 மூலங்களாகக் கிடைக்கிறது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் 2, −2, 5 ஆகும்.

சோதித்தறிதல் முறையின் மூலம் ஓர் எண்ணை மூலமாக ஊகிப்பது எளிதான செயலன்று. ஆனால் கெழுக்கள் முழுக்களாகும் எனில், தலைமைக்கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்பு இவற்றை பயன்படுத்தி சில விகிதமுறு எண்களை சாத்தியக்கூறுள்ள மூலங்களாகப் பட்டியலிட இயலும். விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அத்தகைய விகிதமுறு மூலங்களின் சாத்தியக்கூறுள்ள பட்டியலை நாம் உருவாக்க உதவுகின்றது. விகிதமுறு கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டை பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கும்போது அதே மூலங்களையுடைய முழுஎண்களை கெழுக்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டைப் பெறலாம் என்பதை நினைவு கூர்வோம். எனவே கீழே கொடுக்கப்படும் விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் விகிதமுறு எண்களை கெழுக்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் சில மூலங்களை ஊகிக்க பயன்படுத்துவோம். நிரூபணமின்றி அத்தேற்றத்தினைக் கூறுவோம்.

தேற்றம் 3.5 (விகிதமுறு மூலத்தேற்றம்) (Rational Root Theorem)

முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு anxn + ... + a1x + a0 = 0 என்க. (இங்கு an ≠ 0 மற்றும் a0 ≠ 0, பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் p/q (இங்கு (p, q) = 1 எனில், a0 −ன் காரணி p ஆகவும் an −ன் காரணி q ஆகவும் இருக்கும்.

an = 1 எனும்போது, p/q என்பது ஒரு விகிதமுறு மூலம் எனில் an −ன் காரணி q என்பதால் q = ±1 என்றிருக்க வேண்டும். எனவே p ஒரு முழு எண்ணாகத்தான் இருக்க வேண்டும். எனவே முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட ஓர் தலைஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் இல்லாத விகிதமுறு மூலங்கள் இருக்காது. எனவே an = 1 எனும்போது, ஒரு வேளை விகிதமுறு மூலம் என்று இருந்தால் அது முழு எண்ணாகவும் a0 −ஐ வகுக்கக்கூடிய எண்ணாகவும்தான் இருக்க வேண்டும். (ஒரு முழு எண் a என்பது b −ஐ மீதமின்றி வகுத்தால் ஏதேனும் ஒரு முழு எண்ணிற்கு b = ad ஆகும்).

உதாரணமாக x2 − 5x – 6 = 0 என்றசமன்பாட்டைக் கருதுவோம். விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி இச்சமன்பாட்டின் சாத்தியக்கூறு தீர்வுகளாக ±1, ±2, ±3, ±6 மட்டுமே இருக்கும். இதனால் இவை அனைத்தும் தீர்வுகளாக அமையும் எனக் கருத முடியாது. −1 மற்றும் 6 ஆகியவை மட்டுமே சமன்பாட்டைத் நிறைவு செய்யும் ஏனைய மதிப்புகள் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யாது.

மேலும், விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி x2 + 4 = 0 எனும் சமன்பாட்டிற்கு சாத்தியக்கூறு தீர்வுகளாக ±1, ±2, ±4 அமைந்தாலும் இவற்றுள் எதுவும் தீர்வாகாது. எனவே விகிதமுறு மூலத்தேற்றம் தீர்விற்கு ஊகத்தை மட்டுமே தரும். தீர்வினைத் தராது.

எடுத்துக்காட்டு 3.26

2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0 −ன் மூலங்களைக் காண்க.

தீர்வு

நமது குறியிடல் முறைப்படி an = 2 மற்றும் a0 = 3 ஆகும். பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் (p , q) = 1 எனும்படி ஒரு மூலம் p/q எனில், p மூன்றால் வகுபட வேண்டும் மற்றும் q இரண்டால் வகுபட வேண்டும். தெளிவாக p −ன் சாத்தியக்கூறுகளாக 1, −1, 3, −3 மற்றும் q −ன் சாத்தியக்கூறுகளாக 1, −1, 2, –2 இருக்கும். இதன் மூலம் ±1/1, ±1/2, ±3/2 , ±3/1 −எனும் பின்னங்களை உருவாக்கலாம். இந்த எட்டு சாத்தியக்கூறுகளில், சோதித்தறிதல் முறைப்படி, −3/2 என்பதுதான் ஒரே விகித மூலமாகின்றது. மற்ற மூலங்களைக் காண 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0 என்ற சமன்பாட்டை 2x + 3ஆல் வகுக்க x2 + 1 என்ற ஈவும் மீதி பூச்சியமும் கிடைக்கின்றது. x2 + 1 = 0 −ஐ தீர்க்க i மற்றும் −i மூலங்கள் கிடைக்கின்றது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் −3/2 , i, −iஆகும்.