கேள்விகளுக்கான பதில்கள், தீர்வுகள் - பகுதி காரணிபடுத்தப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (Partly Factored Polynomials) | 12th Maths : UNIT 3 : Theory of Equations
பகுதி காரணிபடுத்தப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (Partly Factored Polynomials)
(ax + b)(cx + d)(px + q)(rx + s) + k = 0, k ≠ 0 எனும் வகைக்கு மாற்றி எழுதக்கூடிய (αx2 + βx + λ) (αx2 + βx + μ) + k = 0
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளின் மூலம் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் வழிமுறையை விளக்குவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 3.23
தீர்க்க: (x − 2)(x − 7) (x − 3) (x + 2) + 19 = 0.
தீர்வு
இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2)(x − 3)(x − 7)(x + 2) + 19 = 0.
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x2 − 5x + 6) (x2 − 5x − 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x2 − 5x −ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y + 6) (y − 14) + 19 = 0; என மாறுகிறது.
அதாவது,
y2 − 8y − 65 = 0 .
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y = 13 மற்றும் y = −5 எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x2 − 5x – 13 = 0 மற்றும் x2 − 5x + 5 = 0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து [5±√77]/2, [5±√5]/2 என எழுதலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 3.24
(2x − 3)(6x − 1)(3x − 2)(x − 2) − 5 = 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்க,
(2x − 3)(3x − 2) (6x − 1)(x − 2) − 5 = 0.
சோடிகளாகப் பெருக்க,
(6x2 −13x + 6)(6x2 −13x + 2) −5 = 0.
இதில் y = 6x2 −13x எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு
(y + 6)(y + 2) − 5 = 0
என மாறுகிறது. அதாவது,
y2 + 8y + 7 = 0 .
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, y = −1 மற்றும் y = −7 எனக் கிடைக்கிறது.
y = 6x2 −13x −ல் y −ன் மதிப்புகளை பிரதியிட,
6x2 −13x + 1 = 0
6x2 −13x + 7 = 0
எனப் பெறுகிறோம். இவ்விரு சமன்பாட்டுகளையும் தீர்க்க,
x = 1, x = 7/6 , x = (13 + √145)/12 மற்றும் x =(13−√145)/12
என சமன்பாட்டின் மூலங்களைப் பெறுகிறோம்.